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初中数学竞赛辅导资料—平行和垂直

发布时间:2013-10-01 11:42:17  

初中数学竞赛辅导资料—平行和垂直

甲内容提要

一.证明两直线互相平行常用的定理

① 利用角 同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,两直线平行。

② 利用第三线 都平行或都垂直于第三线的两直线平行。

③ 利用比例式 △ABC中,如果ADAE ?

DBEC

那么DE∥BC

④ 其他 三角形中位线平行于第三边 梯形中位线平行于两底 平行四边形对边平行

二.证明两直线互相垂直常用的定理

1. 按垂直定义 即证明两直线相交所成的四个角中,有一个是直角。

直角是180的一半,常见的180有:平角,邻补角,平行线的同旁内角,三角形内角和。

2. 在三角形中证明直角

① 如果一个角等于其他两个角的和,那么这个角是直角。

② 若一边平方等于其他两边的平方和,则这边所对的角是直角。

③ 若一边中线等于这边的一半,则这边所对的角是直角。

④ 等腰三角形顶角平分线(或底边中线)是底边上的高。

⑤ 和直角三角形全等或相似的三角形也是直角三角形。

3. 菱形对角线互相垂直

乙例题

例1.从三角形的一个顶点向其他的两个角的平分线引垂线,两个垂足的连线平行于这个角的

对边。

已知:△ABC中,BD,CE是角平分线,AM⊥BD,AN⊥CE

求证:MN∥BC

证明:分别延长AM,AN交BC于F 则∠AMB=∠BMF=Rt∠ ∵∠1=∠2,BM=BM ∴△AMB≌△FMB ∴AM=MF 同理可证AN=NG∴MN是△AFG的中位线, CB∴MN∥FG,即MN∥BC

例2.已知:AD是Rt△ABC斜边上的高,角平分线BE交AD于F,

EG⊥BC交BC于G A

求证:FG∥AC,AG⊥BE

证明的要点: E

∵BE是角平分线, F

∴点E到∠ABC的两边距离相等,

即EA=EG B D G C ??

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