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初中数学竞赛辅导资料—函数的图象

发布时间:2013-10-01 12:26:06  

初中数学竞赛辅导资料—函数的图象

甲内容提要

1. 函数的图象定义:在直角坐标系中,以自变量x为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵坐标的点的集合,叫做函数y=f(x)的图象.

例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数,k ≠0)的图象是一条直线l.

① l 上的任一点p0(x0,y0) 的坐标,适合等式y=kx+b, 即y0=kx0+b;

② 若y1=kx1+b,则点p1(x1,y1) 在直线l 上.

2. 方程的图象:我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元

一次方程kx-y+b=0, 那么直线l就是以这个方程的解为坐标

的点的集合,我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.

二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c是常数,a≠0,b≠0) 叫做 直线方程.

一般地,在直角坐标系中,如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的

点的集合,那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如:

二元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0) (即二次函数)的图象是抛物线;

二元分式方程y=k(k≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. x

3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律. 例如:

① 由图象的最高,最低点可看函数的最大,最小值;

② 由图象的上升,下降反映函数 y是随x的增大而增大(或减小);

③ 函数y=f(x)的图象在横轴的上方,下方或轴上,分别表示y>0,y<0,y=0. 图象所对应的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解.

④ 两个函数图象的交点坐标,就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公共解.等等

4. 画函数图象一般是:

①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义,并使代数式所表示的实际问题有意义,还要注意是否连续,是否有界.

②一般用描点法,但对一次函数(二元一次方程)的图象,因它是直线(包括射线、线段),所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).

③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ,应按定义对自变量分区讨论,写成几个解析式.

乙例题

例1. 右图是二次函数y=ax2+bx+c (a≠0),

试决定a, b, c 及b2-4ac的符号.

解:∵抛物线开口向下, ∴a<0.

∵对称轴在原点右边,∴x=-b>0且a<0, ∴b>0. 2a

∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上, ∴截距c>0.

∵抛物线与横轴有两个交点, ∴b2-4ac>0.

例2. 已知:抛物线f:y=-(x-2)2+5.

试写出把f向左平行移动2个单位后,所得的曲线f1的方程;以及f 关于x 轴对称的曲线f2 的方程. 画出f1和f2的略图,并求:

(1) x的值什么范围,曲线f1和f2都是下降的;

(2) x的值在什么范围,曲线f1和f2围成一个封闭图形;

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