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初中数学竞赛辅导资料—逆推法

发布时间:2013-10-01 12:26:06  

初中数学竞赛辅导资料—逆推法

一、内容提要

1. 如果把探求问题的常规方法叫做顺向推理,那么与习惯方法相反的逆向推理方法,就可以叫做逆推法.顺与逆是相对而言,没有绝对的界限.

2. 逆向推理包括了公式、法则、定义 、定理的逆向应用. 例如:

① 乘法公式的逆向应用之一,就是因式分解. 还有其他变形的应用,如: (x+y)2=x2+xy+y2,以x, y的基本对称式,表示x, y的平方和、立方和(差): x2+y2=(x+y)2-2xy , x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y).

② 分数的加减法则的逆向应用,可把一个分数(或整数)化为几个分数的和(差): 1=111ab, . ???n(n?1)nn?1a?ba?b

③ “互为相反数相加得零”的逆向应用:0=a+(-a).

在因式分解中折项,添项,配方都用到它,在证明恒等式或化简、计算中也常用它. ④ 公式的逆向应用要注意公式成立的前提.例如:

?a(a?0)a2?a??的逆向应用是: ?a(a?0)?

当a≥0时,a=a;当a<0 时,a= -a;

如 x<y<0时, 则x-y=-(x?y).

⑤ 因为定义可以反叙,所以定义既是判定又是性质. 例如: 222

对应边成比?例相似多边形的定义: . ??相似多边形对应角相等?

方程解的定义:若m 是方程ax2+bx+c=0的解,则 am2+bm+c=0;

反过来,若an2+bn+c=0,则n是方程ax2+bx+c=0的解.

⑥ 对于定理的逆用,当然要先判断定理的逆命题为真.

一个定理的题设和结论不只一项时,交换题设和结论中的一项,就组成一个逆命题,故逆命题有多个,有真,有假.

一般地,若题设和结论都是唯一对象的定理,它有逆定理;

对于分段式的定理也有逆定理.

3. 解答数学题通常是:在顺向推理有困难时用反向推理;在正面探求有困难时用反面探求;直接解答有困难时用简接解答.顺、逆两种方法都能熟练掌握,灵活应用,那么解题能力就能较大地提高.

二、例题

例1解方程(a2-12112222?c)x+(x+c-a=0 . (a-)?0). 222bbb

分析:由观察法,可得到一个根为1 (∵方程各系数的和是0). 再用韦达定理来解:

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