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初中数学竞赛辅导资料—非负数

发布时间:2013-10-01 12:26:07  

初中数学竞赛辅导资料—非负数

一、内容提要

1. 非负数的意义:在实数集合里,正数和零称为非负数.

a是非负数,可记作a≥0,读作a大于或等于零,即a不小于零.

2. 初中学过的几种非负数:

⑴实数的绝对值是非负数. 若a是实数,则a≥0.

⑵实数的偶数次幂是非负数. 若a是实数,则a2n≥0(n是正整数).

⑶算术平方根是非负数,且被开方数也是非负数. 若a是二次根式,则a≥0, a≥0.

⑷一元二次方程有实数根时,根的判别式是非负数,反过来也成立.

若二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 有两个实数根, 则b2-4ac≥0.

若b2-4ac≥0 (a≠0), 则二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根.

⑸数轴上,原点和它的右边所表示的数是非负数,几何中的距离,图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.

3. 非负数的性质:

⑴非负数集合里,有一个最小值,它就是零.

例如:a2有最小值0(当a=0时), x?1也有最小值0(当x=-1时). ⑵如果一个数和它的相反数都是非负数,则这个数就是零.

若a≥0且-a ≥0, 则a=0;

如果a-b≥0且b-a≥0,那么a-b=0.

⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.

例如:若a,b,x都是实数数,则a2+b2≥0, a×b≥0, a2x≥0. ⑷若几个非负数的和等于零,则每一个非负数也都只能是零.

例如 若a?1?(b+3)2+2c?1=0

?a?1?0?a?1?0?a?1????2 那么?(b?3)?0 即?b?3?0 ∴?b??3.

?2c?1?0?c??0.5?2c?1?0????

二、例题

例1. 求证:方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根

证明:把方程左边分组配方,得

(x4+2x2+1)+(x2+2x+1)+4=0

即(x2+1)2+(x+1)2=-4

∵(x2+1)2>0,(x+1)2≥0,

∴(x2+1)2+(x+1)2≥0.

但右边是-4.

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