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初中数学竞赛辅导资料—基本对称式

发布时间:2013-10-01 12:26:07  

初中数学竞赛辅导资料—基本对称式

一、内容提要

1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质. 形如x+y和xy是两个变量x, y的基本对称式.

2. 含两个变量的所有对称式,都可以用相同变量的基本对称式来表示.

例如x2+y2, x3+y3, (2x-5)(2y-5), -22yx, ?……都是含两个变量?xy3x3y

的对称式,它们都可以用相同变量x,y的基本对称式来表示:

x2+y2=(x+y)2-2xy, x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),

(2x-5)(2y-5)=4xy-10(x+y)+25, -22(2x?y)=-, ?3x3y3xy

yxy2?x2(x?y)2?2xy?==. xyxyxy

3. 设x+y=m, xy=n.

则x2+y2=(x+y)2-2xy=m2-2n;

x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=m3-3mn;

x4+y4=(x2+y2)2-2x2y2=m4-4m2n+2n2;

x5+y5=(x2+y2)(x3+y3)-x2y2(x+y)=m5-5m3n+5mn2;

………

一般地,xn+yn(n为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式:

--xk+1+yk+1=( xk+yk)(x+y)-xy(xk1+yk1) (k 为正整数).

4. 含x, y的对称式,x+y, xy这三个代数式之间,任意知道两式,可求第三式.

二、例题

例1. 已知x=11(3+1), y=3- 求下列代数式的值: 1)22

①x3+x2y+xy2+y3 ; ②x2 (2y+3)+y2(2x+3).

解:∵含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示.

∴先求出 x+y=, xy=1. 2

1 2① x3+x2y+xy2+y3 =(x+y)3-2xy(x+y) =(3)3-2×

=2;

② x2 (2y+3)+y2(2x+3)=2x2y+3x2+2xy2+3y2

=3(x2+y2)+2xy(x+y)

=3[(x+y)2-2xy]+2xy(x+y)

=3[()-2?

=-6. 211)2×22

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