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初中数学竞赛辅导资料—二元一次方程的整数解

发布时间:2013-10-01 12:26:08  

初中数学竞赛辅导资料—二元一次方程的整数解

一、内容提要:

1、二元一次方程整数解存在的条件:在整系数方程ax+by=c中,若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果(a,b)|c 则方程ax+by=c有整数解。

显然a,b互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1、5x-2y=7、9x+3y=6都有整数解。

反过来也成立,方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解,∵(9,3)=3,而3不能整除10;(4,2)=2,而2不能整除1。

一般我们在正整数集合里研究公约数,(a,b)中的a,b实为它们的绝对值。

2、二元一次方程整数解的求法:

若方程ax+by=c有整数解,一般都有无数多个,常引入整数k来表示它的通解(即所有的解)。k叫做参变数。

方法一:整除法。求方程5x+11y=1的整数解。

1?11y1?y?10y1?y=??2y (1) , 555

1?y 设,则y=1-5k (2) ,把(2)代入(1)得x=k-2(1-5k)=11k?k(k是整数)5解:x=

-2,

?x?11k?2∴原方程所有的整数解是?(k是整数)。 y?1?5k?

方法二:公式法。

?x?x0?x?x0?bk设ax+by=c有整数解:?则通解是?(x0、y0可用观察法)。 y?yy?y?ak00??

3、求二元一次方程的正整数解:

1)求出整数解的通解,再解x,y的不等式组,确定k值。2)用观察法直接写出。

二、例题:

例1:求方程5x-9y=18整数解的通解。

解:x=18?9y15?10y?3?y3?y3?y,设,y=3?k(k为整数)??3?2y?5555

?x?9?9k-5k,代入得x=9-9k , ∴原方程整数解是:?(k为整数)。 y?3?5k?

k ?x?0?x??9k又解:当x=0时,y=-2,∴方程有一个整数解?,它的通解是?(k

?y??2?y??2?5k

为整数)。

从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。

例2:求方程5x+6y=100的正整数解。

解:x=100?6yyy?20?y?(1),设?k(k为整数),则y=5k,(2) 555

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