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初中数学竞赛辅导资料—换元法

发布时间:2013-10-01 12:26:08  

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初中数学竞赛辅导资料—换元法

一、内容提要

1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换,这种解题方法,叫做换元法,又称变量代换法.

2. 换元的目的是化繁为简,化难为易,沟通已知和未知的联系.

例如通过换元来降次,或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.

3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的取值范围扩大了,则在求解之后要加以检验.

4. 解二元对称方程组,常用二元基本对称式代换.

5. 倒数方程的特点是:按未知数降幂排列后,与首、末等距离的项的系数相等.

例如:一元四次的倒数方程ax4+bx3+cx2+bx+a=0.

11)+b(x+)+c=0. xx2

11设x+=y, 那么x2+2= y2-2, xx两边都除以x2,得a(x2+

原方程可化为ay2+by+c-2=0.

对于一元五次倒数方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0, 必有一个根是-1.

原方程可化为 (x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0.

ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ,这是四次倒数方程.

形如 ax4-bx3+cx2+bx+a=0 的方程,其特点是:

与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等,奇数次幂的系数是互为相反数.

两边都除以x2, 可化为a(x2+

设x-)-b(x-1)+c=0. x1=y, 则x2+x=y2+2,

原方程可化为 ay2-by+c+2=0.

二、例题

例1. 解方程x?1?

解:设x?1?x?1?x2?1=x. x?1=y, 那么y2=2x+2x2?1.

原方程化为: y-12y=0 . 2

解得 y=0;或y=2.

当y=0时,

当y=2时, x?1?x?1=0 (无解) x?1?x?1=2,

解得,x=5. 检验(略). 4

例2. 解方程:x4+(x-4)4=626.

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