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初中数学竞赛辅导资料—观察法

发布时间:2013-10-01 12:26:08  

初中数学竞赛辅导资料—观察法

一、内容提要

数学题可以猜测它的结论(包括经验归纳法),但都要经过严谨的论证,才能确定是否正确.

观察是思维的起点,直觉是正确思维的基础.

观察法解题就是用清晰的概念,直觉的思维,根据题型的特点,得出题解或猜测其结论,再加以论证.

敏锐的洞察力来自对概念明晰的理解和熟练的掌握.

例如:用观察法写出方程的解,必须明确方程的解的定义,掌握方程的解与方程的系数这间的关系. 一元方程各系数的和等于零时,必有一个解是1;而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时,则有一个根是-1;n次方程有n个根,这样才能判断是否已求出全部的根,当根的个数超过方程次数时,可判定它是恒等式.

对题型的特点的观察一般是注意已知数据,式子或图形的特征,分析题设与结论,已知与未知这间的联系,再联想学过的定理,公式,类比所做过的题型,试验以简单的特例推导一般的结论,并探求特殊的解法.

选择题和填空题可不写解题步骤,用观察法解答更能显出优势.

二、例题

例1. 解方程:x+11=a+. xa

1. a解:方程去分母后,是二次的整式方程,所以最多只有两个实数根. 根据方程解的定义,易知 x=a;或x=

观察本题的特点是:左边x?

可推广到:若方程f(x)+11?1, 右边a??1. (常数1相同). xamm, ?a?(am≠0)f(x)a

则f(x)=a; f(x)=

如:方程x2+m. a55202022, x+3x- (∵8=10-). ?a??822210xax?3x

都可以用上述方法解.

例2. 分解因式 a3+b3+c3-3abc.

分析:观察题目的特点,它是a, b, c的齐三次对称式.

若有一次因式,最可能的是a+b+c;若有因式a+b-c,必有b+c-a, c+a-b; 若有因式a+b, 必有b+c, c+a; 若有因式b-c,必有c-a, a-b.

解:∵用a=-b-c 代入原式的值为零, ∴有因式a+b+c.

故可设 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)[m(a2+b2+c2)+n(ab+bc+ca)].

比较左右两边a3的系数,得m=1,

比较abc的系数, 得 n=-1.

∴a3+b3+c3-3abc=(a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)

例3. 解方程3?3?3??x?x.

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