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初中数学竞赛辅导资料—二元一次方程组解的讨论

发布时间:2013-10-01 12:26:09  

初中数学竞赛辅导资料—二元一次方程组解的讨论

一、内容提要:

1、二元一次方程组??a1x?b1y?c1的解的情况有以下三种: ax?by?c22?2

① 当a1b1c1??时,方程组有无数多解。(∵两个方程等效) a2b2c2

a1b1c1??时,方程组无解。(∵两个方程是矛盾的) a2b2c2

a1b1?(即a1b2-a2b1≠0)时,方程组有唯一的解: a2b2② 当③ 当

c1b2?c2b1?x??a1b2?a2b1? ? (这个解可用加减消元法求得)

?y?c2a1?c1a2

?a1b2?a2b1?

2、 方程的个数少于未知数的个数时,一般是不定解,即有无数多解,若要求整数解,可按

二元一次方程整数解的求法进行。

3、 求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解(把待定系数当己知数),再解

含待定系数的不等式或加以讨论。(见例2、3)

二、例题:

?5x?y?7例1. 选择一组a,c值使方程组? ax?2y?c?

1, 有无数多解, ②无解, ③有唯一的解

解: ①当 5∶a=1∶2=7∶c时,方程组有无数多解

解比例得a=10, c=14。

2, 当 5∶a=1∶2≠7∶c时,方程组无解。

解得a=10, c≠14。

③当 5∶a≠1∶2时,方程组有唯一的解,

即当a≠10时,c不论取什么值,原方程组都有唯一的解。

例2. a取什么值时,方程组??x?y?a 的解是正数? ?5x?3y?31

解:把a作为已知数,解这个方程组 31?3a??31?3ax??0???x?0??22得? ∵? ∴? ?y?0?y?5a?31?5a?31?0??2??2

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