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初中数学竞赛辅导资料—未知数比方程个数多的方程组解法

发布时间:2013-10-01 18:31:33  

初中数学竞赛辅导资料—未知数比方程个数多的方程组解法

一、内容提要

在一般情况下,解方程或方程组,未知数的个数总是与方程的个数相同的,但也有一些方程或方程组,所含的未知数的个数多于方程的个数,包括在列方程解应用题时,引入的辅助未知数.

解这类方程或方程组,一般有两种情况:

一是依题意只求其特殊解,如整数解,或几个未知数的和(积)等,无需求出所有的解; 二是在实数范围内,可运用其性质,增加方程或不等式的个数. 例如,利用取值范围,非负数的性质等.

二、例题

例1. 在实数范围内,解下列方程或方程组: x2?1??x2

?2?y?0; ②x2+xy+y2-3x-3y+3=0; ①x?1

③??x?y?z?2

?2xy?z?42

解:① 根据在实数范围内,二次根式被开方数是非负数,分母不等于零.

?x2?1?0?2得不等式组 ?1?x?0

?x?1?0?

解得x2=1而x≠1, ∴??x??1 y??2?

② 整理为关于x的二次方程,利用方程有实数根,则判别式 △≥0.

x2+(y-3)x+(y2-3y+3)=0.

∵x是实数, ∴△≥0.

即( y-3)2-4(y2-3y+3)≥0 .

解得 (y-1)2≤0 .

而(y-1)2≥0. ∴y=1.

?x?1∴?是原方程的解. y?1?

③消去一元后,利用实数平方是非负数性质.

由①得z=2-x-y .

代入②得2xy-(2-x-y)2-4=0.

整理配方,得(x-2)2+(y-2)2=0.

∵相加得0的两个数,只有是互为相反数.

而 x, y 是实数,

∴(x-2)2≥0,(y-2)2≥0.

∴满足等式的条件只能是:??x?2?0. y?2?0?

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