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初中数学竞赛辅导资料—条件等式的证明

发布时间:2013-10-01 18:31:35  

初中数学竞赛辅导资料—条件等式的证明

一、内容提要

1. 恒等式:如果等式中所含的字母在允许值范围内,用任何实数值代替它,等式都能成立,那么这个等式叫做恒等式.

4x2?4例如: ①a+b=b+a, ②(a+b)=a+2ab+b , ③ x-=(x≠0), xx222

④ (a)2=a (在实数范围内a≥0), ⑤a=a(在实数范围内n为正奇数). n

都是恒等式.

只含常数的等式是恒等式的特例. 如:3-2=1, 1

2?3?2?.

2. 条件等式:满足一定条件下的等式,称为条件等式. 方程是条件等式,解方程就是求出能满足等式的条件(未知数的值).

3. 证明条件等式就是在题设的条件下,判断恒等式.

4. 证明条件等式的方法,除和证明恒等式的一般方法(见第20讲)以外,要特别注意如何把已知的条件用上. 一般有以下几种:

① 用已知的条件直接代入(即等量代换).

② 变形后代入(包括把已知变形,或把结论变形).

③ 引入参数后代入(包括换元).

5. 分式,根式在恒等变形时,要注意字母保持允许值的范围不变.

二、例题

例1. 已知:xzy?a, ?c且x+y+z≠0. ?b, y?zx?yz?x

求证:abc???1. 1?a1?b1?c

分析:①设法化为同分母, ②轮换式可先代入一式,其余的可用同型式

③用已知直接代入.

x

axy?z??证明 :∵. x1?ax?y?z1?y?z

根据 轮换式的性质,得

∴xyzabc???1. =??1?a1?b1?cx?y?zx?y?zx?y?z

例2. 已知:1111. ???abca?b?c

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