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初中数学竞赛辅导资料—一元二次方程的根

发布时间:2013-10-02 09:02:23  

初中数学竞赛辅导资料—一元二次方程的根

一、内容提要

1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根,是由它的系数a, b, c的值确定的.

-b?b2?4ac 根公式是:x=. (b2-4ac≥0) 2a

2. 根的判别式

① 实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充分必要条件是:

b2-4ac≥0.

② 有理系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根的判定是:

b2-4ac是完全平方式?方程有有理数根.

③整系数方程x2+px+q=0有两个整数根?p2-4q是整数的平方数.

3. 设x1, x2 是ax2+bx+c=0的两个实数根,那么

① ax12+bx1+c=0 (a≠0,b2-4ac≥0), ax22+bx2+c=0 (a≠0, b2-4ac≥0);

-b+b2?4ac-bb2?4ac② x1=, x2= (a≠0, b2-4ac≥0); 2a2a

③ 韦达定理:x1+x2= -bc (a≠0, b2-4ac≥0). , x1x2=aa

4. 方程整数根的其他条件

整系数方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个整数根x1的必要条件是:x1是c的因数. 特殊的例子有:

C=0?x1=0 , a+b+c=0?x1=1 , a-b+c=0?x1=-1.

二、例题

例1. 已知:a, b, c是实数,且a=b+c+1.

求证:两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中,至少有一个方程有两个不相等的实数根.

(2006年泉州市初二数学双基赛题)

证明 (用反证法)

设 两个方程都没有两个不相等的实数根,

那么△1≤0和△2≤0.

?1-4b?0   ①?即?a2?4c?0  ②

?a?b?c?1  ③?

15,b+1 ≥代入③,得 44

5a-c=b+1≥, 4c≤4a-5 ④ 4由①得b ≥

②+④:a2-4a+5≤0,

即(a-2)2+1≤0,这是不能成立的.

既然△1≤0和△2≤0不能成立的,那么必有一个是大于0.

∴方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中,至少有一个方程有两个不相等的实数根.

本题也可用直接证法:当△1+△2>0时,则△1和△2中至少有一个是正数.

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