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五年级奥数高等难度练习题一

发布时间:2013-10-02 12:07:31  

五年级奥数高等难度练习题一

平均数问题:(高等难度)

幼儿园有三个班,甲班比乙班多4人,乙班比丙班多4人,老师给小孩分枣,甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣,乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣,结果甲班比乙班共多分3个枣,乙班比丙班总共多分5个枣。问:三个班总共分了多少个枣?

平均数问题答案:

设丙班有x个小孩,那么乙班就有(x+4)个小孩,甲班有(x+8)个小孩。

乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣,那么x个小孩就少分5x个枣,而乙班比丙班总共多分5个枣,所以多出来的那4个小孩分了(5x+5)个枣。

同理:甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣,那么(x+4)个小孩就少分(3x+12)个枣。而甲班比乙班共多分3个枣,所以多出来的那4个小孩分了 (3x+12+3)即(3x+15)个枣。

甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣,4个小孩就少3×4=12个枣,因此我们得到:

5x+5=3x+15+12, 解得 x=11.

所以,丙班有11个小孩,乙班有15个小孩,甲班有19个小孩,甲班每人分12个枣,乙班每人分15个枣,丙班每人分20个枣。一共分了12×19+15×15+20×11=673个枣。

【小结】通过方程解决问题是常用的方法。

最值问题:(高等难度)

N是一个各位数字互不相等的自然数,它能被它的每个数字整除。N的最大值是。

最值问题答案:

N不能含有0,因为不能被0除。N不能同时含有5和偶数,因为此时N的个位将是0。如果含有5,则2,4,6,8都不能有,此时位数不会多。如果N只缺少5,则含有1,2,3,4,6,7,8,9,但是数字和为40,不能被9整除。所以必须再去掉一位,为了最大,应该保留9放到最高位,为了使数字和被9整除,还需要去掉4。此时由1,2,3,6,7,8,9组成,肯定被9整除,还需要考虑被7和8整除。前四位最大为9876,剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312,9876312被7除余5;前四位如果取9873,剩下三个数字组成的被8整除的三位数为216,9873216被7除余3;前四位如果取9872,剩下三个数字组成的被8整除的三位数为136,9872136被7除余1;前四位如果取9871,剩下三个数字组成的被8整除的三位数为632,9871632被7除余1;前四位如果取9867,剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312,9867312被7整除。

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行程问题:(高等难度)

(2010年IMC 6年级复赛第22题,10分)"有的母牛比一般人具有更健全的头脑,"有一位农夫就曾这样认为,"瞧!有一天我的那头老家伙,有着斑纹的母牛正站在距离桥梁中心点5英尺远的地方,平静地注视着河水发呆,突然,他发现一列特别快车以每小时90英里的速度向它奔驰而来,此时,火车已经到达靠近母牛一端的桥头附近,只有两座桥长的距离了。母牛毫不犹豫,马上不失时机地迎着飞奔而来的火车作了一次猛烈冲刺,终于得救了。此时距离火车头只剩1英尺了,如果母牛按照人的本能,以同样的速度离开火车逃跑,那么母牛的屁股将有3英寸要留在桥上!"试问:桥梁的长度是多少?这只母牛狂奔的速度是多少?(1英尺=12英寸)

圆柱体答案:

观察可知,老母牛一开始在火车的中心的左端。在相遇过程中,火车走了:2个桥长-1英尺;母牛走了:0.5个桥长-5英尺;在追及过程中:火车走了:3个桥长-0.25英尺;母牛走了:0.5个桥长+4.75英尺。则在相遇和追及过程中:火车共走了5个桥长-1.25英尺;同样的时间,母牛走了1个桥长-0.25英尺。所以火车的速度是母牛狂奔时的5倍。母牛的速度为90÷5=18英里/小时。又根据2个桥长-1英尺=2.5个桥长-25英尺所以0.5个桥长=24英尺。1个桥长=48英尺。

圆柱体:(高等难度)

如图,一个有底无盖圆柱体容器,从里面量直径为10厘米,高为15厘米在侧面距离底面9厘米的地方有个洞.这个容器最多能装毫升水(π取3.14)

圆柱体答案:

解答:942

现在要求这个容器尽可能的多装一些水,则将圆柱适当的倾斜,可得新的圆柱的体积为:

毫升水。

约数倍数:(高等难度)

若 a , b , c 是三个互不相等的大于0的自然数,且a + b + c = 1155 ,则它们的最大公约数的最大值为,最小公倍数的最小值为,最小公倍数的最大值为

约数倍数答案:

解答:165、660、57065085

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1) 由于a + b + c = 1155,而1155=3×5×7×11。令a=mp,b=mq,c=ms.m为a,b,c的最大公约数,则p+q+s最小取7。此时m=165.

2) 为了使最小公倍数尽量小,应使三个数的最大公约数m尽量大,并且使A,B,C的最小公倍数尽量小,所以应使m=165,A=1,B=2,C=4,此时三个数分别为165,330,660,它们的最小公倍数为660,所以最小公倍数的最小值为660。

3) 为了使最小公倍数尽量小,应使三个数两两互质且乘积尽量大。当三个数的和一定时,为了使它们的乘积尽量大,应使它们尽量接近。由于相邻的自然数是互质的,所以可以令1155=384+385+386,但是在这种情况下384和386有公约数2,而当1155=383+385+387时,三个数两两互质,它们的最小公倍数为383×385×387=57065085,即最小公倍数的最大值为57065085。

定义新运算:(高等难度)

规定:A○B表示A、B中较大的数,A△B表示A、B中较小的数.

若(A○5+B△3)×(B○5+ A△3)=96,且A、B均为大于0的自然数

A×B的所有取值有个。

定义新运算答案:

共5种;

分类讨论,由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数,则对于A或者B有3类不同的范围,A小于3,A大于等于3,小于5,A大于等于5。对于B也有类似,两者合起来共有3×3=9种不同的组合,我们分别讨论。

1) 当A<3,B<3,则(5+B) ×(5+A)=96=6×16=8×12,无解;

2) 当3≤A<5,B<3时,则有(5+B)×(5+3)=96,显然无解;

3) 当A≥5,B<3时,则有(A+B)×(5+3)=96,则A+B=12.

所以有A=10,B=2,此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。

4) 当A<3,3≤B<5,有(5+3)×(5+A)=96,无解;

5) 当3≤A<5,3≤B<5,有(5+3)×(5+3)=96,无解;

6) 当A≥5,3≤B<5,有(A+3)×(5+3)=27,则A=9.此时B=3后者B=4。则他们的乘积有27与36两种;

7) 当A<3,B≥5时,有(5+3)×(B+A)=96。此时A+B=12。A与B的乘积有11与20两种;

8) 当3≤A<5,B≥5,有(5+3)×(B+3)=96。此时有B=9.不符;

9) 当A≥5,B≥5,有(A+3)×(B+3)=96=8×12。则A=5,B=9,乘积为45。

所以A与B的乘积有11,20,27,36,45共五种。

行程:(高等难度)

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甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走60米,乙每分钟走67.5米,丙每分钟走75米,甲乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发,丙与乙相遇后,又经过2分钟与甲相遇,求东西两镇间的路程有多少米?

行程答案:

①乙丙相遇时间:

(60+75)×2÷(67.5-60)=36(分钟)。

②东西两镇之间相距多少米?

(67.5+75)×36=5130(米)

钢筋截法:(高等难度)

把长239米的钢筋截成17米和24米长的钢筋,如何截法最省材料?

钢筋截法答案:

设截成17米长的钢筋x根,截成24米长的钢筋y根。则有17x+24y=239,可得非负整数解为x=7,y=5。

乘积相等:(高等难度)

把5、6、7、14、15这五个数分成两组,使每组数的乘积相等。

乘积相等答案:

∵5=5,7=7,6=2×3,14=2×7,15=3×5,

这些数中质因数2、3、5、7各共有2个,所以如把14

(=2×7)放在第一组,那么7和6(=2×3)只能放在第二组,继而15(=3×5)只能放在第一组,则5必须放在第二组。

这样14×15=210=5×6×7。

这五个数可以分为14和15,5、6和7两组。

平方差:(高等难度)

有这样一类数,它们可以写作两个自然数的平方差,如 3=22-12,被称作智慧树,那么从1开始,第1993个智慧数是多少?

平方差答案:

对于任意奇数2k+1=(k+1)2-k2 ,但1不符合要求,舍去 2,对于所有能被4整除的数,

4k=(k+1)2-(k-1)2,但4不符合要求,舍去 3,对于被4除余2的数,假设4k+2=x2-y2=(x-y)(x+y),当 奇偶性相同时,(x-y)(x+y)可被4整除,与提设矛盾,舍去;当xy 奇偶性不同时,(x-y)(x+y) 为奇数,与提设矛盾,舍去. 显然,从5开始每4个数中有3个是智慧数,而1到4中只有3只智慧数,第1993个智慧数为(1993-1)÷3×4+4=2660。

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行程:(高等难度)

甲,乙两站相距300千米,每30千米设一路标,早上8点开始,每5分钟从甲站发一辆客车开往乙站,车速为60千米每小时,早上9点30分从乙站开出一辆小汽车往甲站,车速每小时100千米,已知小汽车第一次在某两相邻路标之间(不包括路标处)遇见迎面开来的10辆客车,问:从出发到现在为止,小汽车遇见了多少辆客车?

行程答案:

小汽车出发遇到第一辆客车是在(300-60×1.5)÷(100+60)=21/16小时,小汽车每行一段需要30÷100=3/10小时,此时在(21/16)÷(3/10)=4又3/8段的地方相遇。遇到第一辆客车后,每隔5÷(100+60)=5/160小时遇到一辆客车,当在端点遇到客车时,每断路只能再遇到9辆车[(3/10)÷(5/160)=9.6],因此过路标少于3/10-9×(5/160)=3/160小时遇到客车时,才能满足条件。当小汽车行完5段,就刚好在路标处遇到第7辆,因此这段只能遇到9辆,下一次刚好能遇到10辆,所以共遇到了7+9+10=26辆。

正方形:(高等难度)

右图是由16个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是400平方厘米,那么它的周长是多少厘米?

正方形答案:

每个正方形的面积为400÷16=25(平方厘米),所以每个正方形的边长是5厘米。观察右图,这个图形的周长从上下方向来看是由7×2=14条正方形的边组成,从左右方向来看是由4×2+3×4=20条正方形的边组成,所以其周长为5×14+5×20=170厘米。

答题:(高等难度)

100个人回答五道题,有81人答对第一题,91人答对第二题,85人答对第三题,79人答对第四题,74人答对第五题,答对三道题或三道题以上的人算及格,那么,在这100人中,至少有多少人及格。 答题答案:

答对三道题或三道题以上的人算及格,要使100人中,及格人数尽可能少 则需使每人首先都答对其中的两题,余下 (81+91+85+79+74)-2×100=410-200=210道 尽量分配给少数人,这少数人中每人最多再对3道 所以210÷(5-2)=70(人) 即在这100人中,至少有70人及格。

最大值:(高等难度)

把1、2、3、4、5、6、7、8填入下面算式中,使得数最大。□□□□-□□×□□这个最大得数是多少?

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最大值答案:

要使得数最大,被减数(四位数)应当尽可能大,减数(□□×□□)应当尽可能小。由例[1]的原则,可知被减数为8765。下面要做的是把1、2、3、4分别填入□□×□□的4个"□"中,使乘积最小。要使乘积最小,乘数和被乘数都应当尽可能小。也就是说,它们的十位数都要尽可能小。因为:12×34=408而14×23=322,13×24=312(最小)8765-13×24=8453。

数字:(高等难度)

2008年第29届奥运会将在北京举办.则 20082008的个位数字是多少?

数字答案:

算式中每个乘数的个位数字都是 ,8×8×8×L 的个位数字周期性出现:8、4、2、6、8、4、2、6……,周期为4, 2008÷4=502,所以 的个位数字是6.

自然数:(高等难度)

对任意两个不同的自然数,将其中较大的数换成这两数之差,称为一次变换。如对18和42可进行这样的连续变换:18,42→18,24→18,6→12,6→6,6。直到两数相同为止。问:对12345和54321进行这样的连续变换,最后得到的两个相同的数是几?为什么?

自然数答案:

如果两个数的最大公约数是a,那么这两个数之差与这两个数中的任何一个数的最大公约数也是a。因此在每次变换的过程中,所得两数的最大公约数始终不变,所以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为12345和54321的最大约数是3,所以最后得到的两个相同的数是3。

约数:(高等难度)

100以内约数个数最多的自然数有五个,它们分别是几?

约数答案:

如果恰有一个质因数,那么约数最多的是=64,有7个约数;

如果恰有两个不同质因数,那么约数最多的是×=72和×3=96,各有12个约数;

如果恰有三个不同质因数,那么约数最多的是×3×5=60,×3×7=84和2××5=90,各有12个约数。

所以100以内约数最多的自然数是60,72,84,90和96。

座位:(高等难度)

一排椅子只有15个座位,部分座位已有人就座,乐乐来后一看,他无论坐在哪个座位,都将与已就座的人相邻。问:在乐乐之前已就座的最少有几人?

座位答案:

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将15个座位顺次编为1:15号。如果2号位、5号位已有人就座,那么就座1号位、3号位、4号位、6号位的人就必然与2号位或5号位的人相邻。根据这一想法,让2号位、5号位、8号位、11号位、14号位都有人就座,也就是说,预先让这5个座位有人就座,那么乐乐无论坐在哪个座位,必将与已就座的人相邻。因此所求的答案为5人。

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