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初中数学竞赛辅导资料—整数解

发布时间:2013-10-02 18:02:50  

初中数学竞赛辅导资料—整数解

一、内容提要

1. 求方程或不等式的整数解,就是求适合等式或不等式的未知数的整数值,包括判断无整数解.

2. 求整数解常用的性质、法则:

①.数的运.算性质:

整数+整数=整数, 整数-整数=整数,

整数×整数=整数, 整数的自然数次幂=整数,

整数÷(这个整数的约数)=整数.

②.整系数的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)只有当b2-4ac是完全平方数时,才有整数根. 有时用韦达定理x1+x2与x1x1 都是整数,来确定整数解,但必须检验(因为它们只是整数解必要条件).

③.运用二元一次方程求整数解(见第10讲).

④.用列举法.

3. 判定方程或不等式没有整数解,常用反证法.即设有整数解之后,把整数按某一模m分类,逐一推出矛盾.

二、例题

例1.求下列方程的正整数解:

① xy+x+y=5; ② x2+y2=1991.

解:①先写成关于x的方程,

(y+1)x=5-y.

x=5?y?y?1?66. ???1?y?1y?1y?1

当y+1取6的约数±1,±2,±3,±6时,x的值是整数.

∵-1+6>0, 且x>0, y>0, y?1

∴ 1<y+1<6 . ∴ y=1或y=2.

∴原方程有正整数解??x?2?x?1; 或?. y?1y?2??

① 又解:把左边写成积的形式:

x(y+1)+y+1=5+1, (y+1)(x+1)=6.

∵6=1×6=2×3, 而正整数y+1>1, x+1>1.

∴??x?1?2?x?1?3 或? y?1?3y?1?2??

?x?1?x?2解得 ?;或?. y?2y?1??

②要等式成立,x, y必须是一奇一偶,设x=2a, y=2b-1 (a,b都是正整数).

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