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启未教育 五升六奥数讲义 2

发布时间:2013-10-03 09:32:14  

启未教育——扬帆启航,引领未来! 小升初专用培优教材(数学)

第1讲 小数的巧算与速算

.?068. 【 例1】. 简算:(1)9.9?68

思路导航:题中,9.9接近10,且6.8和0.68都是有6、8这两个数字。 解法一: 解法二:

9.9?68.?068. 9.9?68.?068.

=99×0.68+1×0.68 =9.9×6.8+0.1×6.8

=(99+1) ×0.68 =(9.9+0.1) ×6.8

=100×0.68 =10×6.8

=68 =68

想想还有别的解法吗?

同步导练一:

(1)272.4×6.2+2724×0.38 (2)1.25×6.3+37×0.125

(3)7.24×0.1+0.5×72.4+0.049×724

(4)6.49×0.22+258×0.0649+5.3×6.49+64.9×0.19

1

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【例2】:(2+0.48+0.82)×(0.48+0.82+0.56)-(2+0.48+0.82+0.56) ×(0.48+0.82) 思路导航:整个式子是乘积之差的形式,它们构成很有规律,如果把2+0.48+0.82 用A表示,把0.48+0.82用B表示,则原式化为A×(B+0.56)-(A+0.56) ×B,再利用乘法分配律计算,大大简化了计算过程.

解: 设A=2+0.48+0.82 B=0.48+0.82,

原式=A×(B+0.56)-(A+0.56) ×B

=A×B+A×0.56-(A×B+0.56×B)

= A×B+A×0.56- A×B-0.56×B

=0.56×(A-B)

=0.56×2

=1.12

同步导练二:

(1)(3.7+4.8+5.9) ×(4.8+5.9+7)-(3.7+4.8+5.9+7) ×(4.8+5.9)

(2) (4.6+4.8+7.1) ×(4.8+7.1+6)-( 4.6 +4.8+7.1+6) ×(4.8+7.1)

【例三】:计算76.8÷56×14

思路导航:括号,括号里面要变号,“×”变“÷”,“÷”变“×”适用于乘、除同级运算。 2

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解: 76.8÷56×14

=76.8÷(56÷14)

=76.8÷4

=19.2

同步导练三:

(1) 144÷15.6×13 (2) 63?55?7?11

(3) (48?75?81)?(24?25?27)

【 例四】: 0.999×0.7+0.111×3.7

思路导航:本类题可以将原式进行合理的等值变形后,再运用适当的方法进行简便运算

=0.111×9×0.7+0.111×3.7

=0.111×6.3+0.111×3.7

=0.111×(6.3+3.7)

=0.111×10

=1.11

同步导练四:

(1) 0.999×0.6+0.111×3.6

3

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(3) 0.888×0.9+0.222×6.4 (4)0.111×5.5+0.555×0.9

5. 下面有两个小数:

a=0.00…0125 b=0.00…08

1996个0 2000个0

试求a+b, a-b, a?b, a?b.

第2讲 用等量代换求面积

一个量可以用它的等量来代替;被减数和减数都增加(或减少)同一个数,它们的差不变。前者是等量公理,后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用,它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积,或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差,从而使隐蔽的关系明朗化,找到解题思路。

例1两个相同的直角三角形如下图所示(单位:厘米)重叠在一起,求阴影部分的面积。

分析与解:阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形,然而它的上底与下底都不知道,因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同,都减去三角形DOC后,根据差不变性质,差应相等,

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面积相等,所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7(厘米),面积为(7+10)×2÷2=17(厘米2)。 所以,阴影部分的面积是17厘米2。

例2 在右图中,平行四边形ABCD的边BC长10厘米,直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2,求平行四边形ABCD的面积。

分析与解:因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后,根据差不变性质,所得的两个新图形的面积差不变,即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2,所以平行四边形ABCD的面积等于

10×8÷2+10=50(厘米2)。

例3 在右图中,AB=8厘米,CD=4厘米,BC=6厘米,三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。

5

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分析与解:求ED的长,需求出EC的长;求EC的长,需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2,这两个三角形都加上四边形FDCB后,其差不变,所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。也就是说,只要求出梯形ABCD的面积,就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长,从而求出ED的长。

例4 下页上图中,ABCD是7×4的长方形,DEFG是10×2的长方形,求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。

分析:直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差,不太容易做到。如果利用差不变性质,将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差,而这两个图形的面积之差容易求出,那么问题就解决了。

解法一:连结B,E(见左下图)。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO,则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4×(10-7)÷2-2×(10-7)÷2=3。

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解法二:连结C,F(见右上图)。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO,则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4×(10-7)÷2-2×(10-7)÷2=3。

解法三:延长BC交GF于H(见下页左上图)。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH,则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为(4+2)×(10-7)÷2-2×(10-7)=3。

解法四:延长AB,FE交于H(见右上图)。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO,则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。所求为4×(10-7)-(10-7)×(4+2)÷2=3。

例5左下图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米,求三角形ABC的面积

分析与解:这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件,实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结AD(见右上图),可以看出,三角形ABD与三角形ACD因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分,7

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分,根据差不变性质,剩下的两个部分,即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换,求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积,等于4×4÷2=8(厘米2)。

练习:

1.左下图(单位:厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起,求阴影部分的面积。

2.下页左上图中,矩形ABCD的边AB为4厘米,BC为6厘米,三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2,求ED的长。

6.右上图中,CA=AB=4厘米,三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2,求CD的长。

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分的面积和。

影部

第3讲 逻辑问题

从广义上说,任何一道数学题,任何一个思维过程,都需要逻辑分析、判断和推理。我们这里所说的逻辑问题,是指那些主要不是通过计算,而是通过逻辑分析、判断和推理,得出正确结论的问题。

逻辑推理必须遵守四条基本规律:

(1)同一律。在同一推理过程中,每个概念的含义,每个判断都应从始至终保持一致,不能改变。

(2)矛盾律。在同一推理过程中,对同一对象的两个互相矛盾的判断,至少有一个是错误的。例如,“这个数大于8”和“这个数小于5”是两个互相矛盾的判断,其中至少有一个是错的,甚至两个都是错的。

(3)排中律。在同一推理过程中,对同一对象的两个恰好相反的判断必有一个是对的,它们不能同时都错。例如“这个数大于8”和“这个数不大于8”是两个恰好相反的判断,其中必有一个是对的,一个是错的。

(4)理由充足律。在一个推理过程中,要确认某一判断是对的或不对的,必须有充足的理由。

我们在日常生活和学习中,在思考、分析问题时,都自觉或不自觉地使用着上面的规则,只是没有加以总结。例如假设法,根据假设推出与已知条件矛盾,从而否定假设,就是利用了矛盾律。在列表法中,对同一事件“√”与“×”只有一个成立,就是利用了排中律。

例1 张聪、王仁、陈来三位老师担任五(2)班的语文、数学、英语、音乐、美术、体育六门课的教学,每人教两门。现知道:

(1)英语老师和数学老师是邻居;

(2)王仁年纪最小; 9

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(3)张聪喜欢和体育老师、数学老师来往;

(4)体育老师比语文老师年龄大;

(5)王仁、语文老师、音乐老师三人经常一起做操。

请判断各人分别教的是哪两门课程。

分析与解:题中给出的已知条件较复杂,我们用列表法求解。先设计出下图的表格,表内用“√”表示肯定,用“×”表示否定。因为题目说“每人教两门”,所以每一横行都应有2个“√”;因为每门课只有一人教,所以每一竖列都只有1个“√”,其余均为“×”。

由(3)知,张聪不是体育、数学老师;由(5)知,王仁不是语文、音乐老师; 由(2)(4)知,王仁不是体育老师,推知陈来是体育老师。至此,得到右上表

由(3)知,体育老师与数学老师不是一个人,即陈来不是数学老师,推知王仁是数学老师;由(1)知,数学老师王仁不是英语老师,推知王仁是美术老师。至此,得到左下表。

由(4)知,体育老师陈来与语文老师不是一个人,即陈来不是语文老师,推知张聪是语文老师;由(5)知,语文老师张聪不是音乐老师,推知陈来是音乐老师;最后得到张聪是英语老师,见右上表。

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以上推理过程中,除充分利用已知条件外,还将前面已经推出的正确结果作为后面推理的已知条件,充分加以利用。另外,还充分利用了表格中每行只有两个“√”,每列只有一个“√”,其余都是“×”这个隐含条件。

例1的推理方法是不断排斥不可能的情况,选取符合条件的结论,这种方法叫做排他法。

例2 小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项,并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道:

(1)小明不在一小;

(2)小芳不在二小;

(3)爱好乒乓球的不在三小;

(4)爱好游泳的在一小;

(5)爱好游泳的不是小芳。

问:三人上各爱好什么运动?各上哪所小学?

分析与解:这道题比例1复杂,因为要判断人、学校和爱好三个内容。与四年级第26讲例4类似,先将题目条件中给出的关系用下面的表1、表2、表3表示:

因为各表中,每行每列只能有一个“√”,所以表3可补全为表4。

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由表4、表2知道,爱好游泳的在一小,小芳不爱游泳,所以小芳不在一小。于是可将表1补全为表5。对照表5和表4,得到:小明在二小上学,爱好打乒乓球;小芳在三小上学,爱好打羽毛球;小花在一小上学,爱好游泳。

例1、例2用列表法求解。下面,我们用分析推理的方法解例3、例4。

例3 小说《镜花缘》中有一段林之祥与多久公飘洋过海的故事。有一天他们来到了“两面国”,却忘记了这一天是星期几。迎面见了“两面国”里的牛头和马面。他们知道,牛头在星期一、二、三说假话,在星期四、五、六、日说真话;马面在星期四、五、六说假话,在星期一、二、三、日说真话。牛头说:“昨天是我说假话的日子。”马面说:“真巧,昨天也是我说假话的日子。”

请判断这一天是星期几。

分析与解:因为牛头、马面只有星期日都说真话,其它时间总是一个说真话,另一个说假话,所以这一天不是星期日,否则星期六都说假话,与题意不符。

由题意知,这一天说真话的,前一天必说假话;这一天说假话的,前一天必说真话。推知这一天同时是牛头、马面说假话与说真话转换的日子。因为星期二、三、五、六都不是说假话与说真话转换的日子,所以这一天不是星期二、三、五、六;星期一是牛头由说真话变为说假话的日子,但不是马面由说假话变为说真话的日子,所以这一天也不是星期一;星期四是牛头由说假话变为说真话的日子,也是马面由说真话变为说假话的日子,所以这天是星期四。

例4 A,B,C,D四个同学中有两个同学在假日为街道做好事,班主任把这四人找来了解情况,四人分别回答如下。

A:“C,D两人中有人做了好事。”

B:“C做了好事,我没做。”

C:“A,D中只有一人做了好事。”

D:“B说的是事实。”

最后通过仔细分析调查,发现四人中有两人说的是事实,另两人说的与事实有出入。到底是谁做了好事?

分析与解:我们用假设法来解决。题目说四人中有两人说的是事实,另两人说的与事实有出入。注意,此处的“与事实有出入”表示不完全与事实相符,比如,当,都做了好事,或B,C都没做好事,或B做了好事而C没做好事时,出入。 12

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因为B与D说的是一样的,所以只有两种可能,要么B与D正确,A与C错;要么B与D错,A与C正确。(1)假设B与D说的话正确。这时C做了好事,A说C,D两人中有人做了好事,A说的话也正确,这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾。所以假设不对。

(2)假设A与C说的话正确。那么做好事的是A与C,或B与D,或C与D。若做好事的是A与C,或C与D,则B说的话也正确,与题意不符;若做好事的是B与D,则B说的话与事实不符,符合题意。

综上所述,做好事的是B与D。

练习

1.A,B,C,D,E五个好朋友曾在一张圆桌上讨论过一个复杂的问题。今天他们又聚在了一起,回忆当时的情景。

A说:“我坐在B的旁边。”

B说:“坐在我左边的不是C就是D。”

C说:“我挨着D。”

D说:“C坐在B的右边。”

实际上他们都记错了。你能说出当时他们是怎样坐的吗?没有发言的E的左边是谁?

2.从A,B,C,D,E,F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。根据挑选规则,参展产品满足下列要求:

(1)A,B两种产品中至少选一种;

(2)A,D两种产品不能同时入选;

(3)A,E,F三种产品中要选两种;

(4)B,C两种产品都入选或都不能入选;

(5)C,D两种产品中选一种;

(6)若D种产品不入选,则E种也不能入选。 13

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问:哪几种产品被选中参展?

3.三户人家每家有一个孩子,分别是小平(女)、小红(女)和小虎(男),孩子的爸爸是老王、老张和老陈,妈妈是刘英、李玲和方丽。

(1)老王和李玲的孩子都参加了少年女子体操队;

(2)老张的女儿不是小红;

(3)老陈和方丽不是一家人。

请你将三户人家区分开。

4.甲、乙、丙三人,他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东,他们的职业分别是教师、工人、演员。已知:

(1)甲不是辽宁人,乙不是广西人;

(2)辽宁人不是演员,广西人是教师;

(3)乙不是工人。

求这三人各自的籍贯和职业。

5.甲说:“乙和丙都说谎。”乙说:“甲和丙都说谎。”丙说:“甲和乙都说谎。”根据三人所说,你判断一下,下面的结论哪一个正确:

(1)三人都说谎;

(2)三人都不说谎;

(3)三人中只有一人说谎;

(4)三人中只有一人不说谎。

6.五号楼住着四个女孩和两个男孩,他们的年龄各不相同,最大的10岁,最小的4岁,最大的女孩比最小的男孩大4岁,最大的男孩比最小的女孩也大4岁,求最大的男孩的岁数。

第4讲:分解质因数

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专题分析:

一个自然数的因数中,为质数的因数叫做质因数。可以通过分解质因数的方法来启发我们的思维。

【例1】 把18个苹果平均分成若干份,每份大于1,小于18。一共有多少种不

同分法?

练习:

1、有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔,每组不少于6人,不多余15人,有哪几种分法?

2、195个同学排成长方形队伍做早操,行数和列数都大于1,一共有几种分发?

3、甲数比乙数大9,两个数的积是792,求甲、乙两数各是多少?

【例2】、写出若干个连续的自然数,使它的积是15120。

练习:

1、有一个长方体,它的长宽高是一个连续的自然数,且体积是39270立方厘米,求这个长方体的表面积。

2、有4个孩子,恰好一个比一个大1岁,4人的年龄积是各是多少岁? 15

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3、四个连续的奇数的积是19305。这四个数各是多少?

【例3】、将下列八个数平均分成两组,使这两组数的乘积相等。

2、5、14、24、27、55、56、99

练习:

把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组,使两组四个数的乘积相等。

【例4】、王老师带领同学去植树,如果王老师和学生每人植树一样多,那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生?每人植树多少棵?

练习:

1、植树节,老师带领同学去植树,已知老师和学生每人植树的棵数相等,一共植了111棵。求有多少个同学?

2、小青去看电影,他买的票的排数与座位号数的积是391数大6,小青买的电影票是几排几号?

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3、把一篮苹果分给4人,使4人的苹果数一个比一个多2,且他们的苹果个数的乘积是1920。这篮苹果有多少个?

第5讲:最小公倍数

专题分析:

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个公倍数,叫做这几个数的最小公倍数。记住以下公式:最大公因数×最小公倍数=这两个数的积。

【例1】、两个数的最大公约数是15,最小公倍数是90。求这两个数分别是多少?

练习:

1、两个数的最大公约数是9,最小公倍数是90。求这两个数分别是多少?

2、两个数的最大公约数是12,最小公倍数是60。求这两个数的和是多少?

3、两个数的和是52,它们的最大公约数是4,最小公倍数是144。求这两个数分别是多少?

【例2】:甲乙丙三人是朋友,他们每隔不同天数到图书馆去一次,甲3天去1次,乙4天去1次,丙5天去1过多少天他们又在图书馆相会?

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针对练习:

1、1路、2路和5路车都从东站发车,1路车每隔10分钟发一辆,2路车每隔15分钟发一辆,而5路车每隔20分钟发一辆。当这三路车同时发车后,至少要过多少分钟又有这三条线路的车同时发车?

2、甲乙丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步,甲跑一圈用120秒,乙跑一圈用80秒,丙跑一圈用100秒。问:再过多少时间三人第二次同时从起点出发?

3、五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷。二班的同学每隔6天去看一次,三班的同学每两周去看一次。如果“六、一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷,那么,再过多少天他们三个班的同学再次同一天去看张爷爷

第6讲:裂项法(一)

专题简析

同学们知道,在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通分化成同分母分数后再计算。

例如111??,这里分母3、4是相邻的两个自然数,公分母正好是它们的乘积,把3412

这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式:

11n?1n???nn?1n(n?1)n(n?1) n?1?n1??n(n?1)n(n?1)

即111?? nn?1n(n?1)

18

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或111 ??n(n?1)nn?1

下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。

【例1】. 计算:1111 ?1985?19861986?19871987?19881994?1995

111 ???1995?19961996?19971997

像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法。

【课堂随练】 求

【例2】. 计算:111的和。 ??......?10?1111?1259?601111 ?11?21?2?31?2?3?…?100

【例3】. 请在( )、< >里填上适当的自然数,使得算式111成立 ??6()??

【例4】.

11111? 1?33?55?71993?19951995?1997

19

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11111????【课堂随练】计算5?77?99?1111?1313?15

【例5】. 计算:11111 ?22?32?3?42?3?4?52?3?4?…?200

裂 项 法(一) 练习

1.

2. 计算:

3.

1111=_________; ?????1?33?55?799?1011111=_________; ?????1?22?33?449?5011111111111111 3610152128364555667891105120

4. 求和:11111 ?33?43?4?53?4?5?63?4?5?…?20

5. 求和: 111111104088154238340

20

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裂 项 法(一) 作业

1. 计算:

2. 1?

1111=_________; ?????1?21?2?31?2?3?41?2?3?4???5011111 ???…??1?22?33?498?9999?100

3. 求出一对自然数x与y,使得等式111??成立。 18xy

4.

1111=_________; ?????1?44?77?1049?52

第7讲:裂项法(二)

【例1】

【例2】

【例3】

求2222的和 ???......?1?33?55?797?99 计算:4444 ??......??1?3?53?5?793?95?9795?97?99

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【例4】

【例5】

【例4】

计算:333 ??......?1?2?3?42?3?4?517?18?19?209998971=_________; ?????1?2?32?3?43?4?599?100?101

【例5】计算

23450 ?????1?(1?2)(1?2)?(1?2?3)(1?2?3)?(1?2?3?4)(1?2?3???49)?(1?2?3???50)

裂 项 法(二) 练习 1.

2.

1111=_________ ?????1?3?52?4?63?5?720?22?24111? 1?2?32?3?498??99100

123493.?=_________; ?????22?32?3?42?3?4?52?3?4??10

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4.计算:?

11111??11????????64 ?8244880120168224?

裂 项 法(二) 作 业 1.

2.

3.42×(?

4.计算:1?3?5

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111??......?5.计算:1?2?3?42?3?4?517?18?19?20

第8讲 消去法解题(一)

知识要点

在一些比较复杂的应用题中,有的是由两个或多个量的某种关系构成的,解题时我们可以先把每组的数量用等式表示,然后进行比较,将其中的一个量先消去,从而把一道数量关系复杂的应用题转化成比较简单的应用题来解答。我们把这一类的思考方法叫做消去法。

消去法的实质就是根据等式的两边加上、减去、乘以或除以相同的数,等式依然成立的道理来求未知量。

例1

某宾馆第一次买了5个热水瓶和20个茶杯,一共用去165元;第二次又买了同样的5个热水瓶和16个茶杯,一共用去149元。算一算,热水瓶和茶杯的单价分别是多少?

例2

3箱苹果和5箱梨一共是86千克;6箱苹果和4箱梨一共是112千克。一箱苹果和一箱梨各重多少千克?

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例3

体育组买9个足球和3个皮球一共要花780元,已知5个足球比3个皮球的价钱要贵340元。一个足球多少钱?一个皮球多少钱?

例4

妈妈去水果店买水果,如果买5千克苹果和3千克梨,要付35元。如果买3千克苹果和2千克梨,则要付22元。每千克苹果和梨的价钱各是多少?

课后练习:

1、小明买了4只铅笔和3块橡皮,一共付了7.2元;红红买了同样的3块橡皮和2只铅笔,一共付了4.8元。一只铅笔和一块橡皮的价钱各是多少?

2、张大爷第一天乘车2小时,步行3小时,共行115千米,步行5小时,共行75

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3、一袋黄豆和一袋绿豆共重50千克,买5袋黄豆和3袋绿豆共重210千克。一袋黄豆比一袋绿豆重多少千克?

4、食堂若要买5袋大米和3袋面粉,一共要用476元。已知买3袋面粉比买2袋大米要便宜14元。一袋大米多少钱?

第9讲 消去法解题(二)

知识要点

怎样用消去法解题呢?

1、如果同类事物的数量相同,可以直接用加法或减法将数量相同的同类事物消去。

2、如果同类事物的数量不相同,必须先分别用扩大几倍的方法,使其中一种同类事物的数量相同,然后消去。

例1

学校食堂第一次买7袋大米和3袋面粉,共重410千克;第二次买同样的3袋大米和7袋面粉,共重290千克。问:每袋大米和每袋面粉的重量?

例2

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买足球、篮球和排球各2个,共需240元;买4个篮球、3个排球和2个足球共需365元;买5个篮球、4个排球和2个足球共需450元。篮球、和足球的单价各是多少元?

例3

买一千克奶糖、2千克水果糖和3千克酥糖,一共要花76元;买这样的2千克奶糖、4千克水果糖和5千克酥糖,一共要花136元。而且水果糖的单价是奶糖的1.25倍。问:奶糖、水果糖和酥糖的单价各是多少?

例4

爸爸买一件大衣、一条裤子和一双袜子,一共花了268元。爸爸只记得大衣的价钱比裤子贵35元,大衣和裤子共起来比袜子贵222元。你知道每件东西的价钱吗?

课后练习:

1、5箱苹果和3箱梨共重134千克,同样的3箱苹果和527

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每箱苹果和每箱例各重多少千克?

2、甲买了5盒糖和8盒蛋糕共用去171元,乙买了同样的2盒糖和5盒蛋糕共用去了90元。一盒蛋糕多少钱?一盒糖呢?

3、红星小学买2个足球和3个篮球共用去154元,光明小学买同样的3个足球和5个篮球共用去了245元。足球和篮球的单价分别是多少?

4、买文竹、仙人掌、兰花各2盆需要24元;买文竹4盆、仙人掌3盆、兰花2盆需要32元;买文竹5盆、仙人掌4盆、兰花2盆需要38元。这三种花的单价各是多少?

第10讲 流水行船问题

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流水问题是研究船在流水中的行程问题,因此,又叫行船问题。在小学数学中涉及到的题目,一般是匀速运动的问题。这类问题的主要特点是,水速在船逆行和顺行中的作用不同。

流水问题有如下两个基本公式:

顺水速度=船速+水速 (1)

逆水速度=船速-水速 (2)

这里,顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程;船速是指船本身的速度,也就是船在静水中单位时间里所行的路程;水速是指水在单位时间里流过的路程。

根据加减互为逆运算的原理,由公式(1)可得:

水速=顺水速度-船速 (3)

船速=顺水速度-水速 (4)

由公式(2)可得:

水速=船速-逆水速度 (5)

船速=逆水速度+水速 (6)

这就是说,只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个,就可以求出第三个。

另外,已知某船的逆水速度和顺水速度,还可以求出船速和水速。因为顺水速度就是船速与水速之和,逆水速度就是船速与水速之差,根据和差问题的算法,可知:

船速=(顺水速度+逆水速度)÷2 (7)

水速=(顺水速度-逆水速度)÷2 (8)

*例1 一只渔船顺水行25千米,用了5小时,水流的速度是每小时1千米。此船在静水中的速度是多少?

例2 一只渔船在静水中每小时航行4千米,逆水4小时航行度是每小时多少千米? 29

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*例3 一只船,顺水每小时行20千米,逆水每小时行12千米。这只船在静水中的速度和水流的速度各是多少?

*例4 某船在静水中每小时行18千米,水流速度是每小时2千米。此船从甲地逆水航行到乙地需要15小时。求甲、乙两地的路程是多少千米?此船从乙地回到甲地需要多少小时?

*例5 某船在静水中的速度是每小时15千米,它从上游甲港开往乙港共用8小时。已知水速为每小时3千米。此船从乙港返回甲港需要多少小时?

*例6 甲、乙两个码头相距14430

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流速度是每小时4千米。求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时,由乙码头到甲码头逆水而行需要多少小时?

*例7 一条大河,河中间(主航道)的水流速度是每小时8千米,沿岸边的水流速度是每小时6千米。一只船在河中间顺流而下,6.5小时行驶260千米。求这只船沿岸边返回原地需要多少小时?

*例8 一只船在水流速度是2500米/小时的水中航行,逆水行120千米用24小时。顺水行150千米需要多少小时?

*例9 一只轮船在208千米长的水路中航行。顺水用8小时,逆水用13小时。求船在静水中的速度及水流的速度。

*例10 A、B两个码头相距180千米。甲船逆水行全程用31

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行全程用15小时。甲船顺水行全程用10小时。乙船顺水行全程用几小时?(适于高年级程度)

解:甲船逆水航行的速度是:

180÷18=10(千米/小时)

甲船顺水航行的速度是:

180÷10=18(千米/小时)

根据水速=(顺水速度-逆水速度)÷2,求出水流速度:

(18-10)÷2=4(千米/小时)

乙船逆水航行的速度是:

180÷15=12(千米/小时)

乙船顺水航行的速度是:

12+4×2=20(千米/小时)

乙船顺水行全程要用的时间是:

180÷20=9(小时)

综合算式:

180÷[180÷15+(180÷10-180÷18)÷2×3]

=180÷[12+(18-10)÷2×2]

=180÷[12+8]

=180÷20

=9(小时)

1、一只油轮,逆流而行,每小时行12千米,7小时可以到达乙港。从乙港返航需要6小时,求船在静水中的速度和水流速度?

2、某船在静水中的速度是每小时1532

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在甲、乙两港之间往返一次,共用去6小时。求甲、乙两港之间的航程是多少千米?

3、一只船从甲地开往乙地,逆水航行,每小时行24千米,到达乙地后,又从乙地返回甲地,比逆水航行提前2. 5小时到达。已知水流速度是每小时3千米,甲、乙两地间的距离是多少千米?

4、一轮船在甲、乙两个码头之间航行,顺水航行要8小时行完全程,逆水航行要10小时行完全程。已知水流速度是每小时3千米,求甲、乙两码头之间的距离?

5、某河有相距12 0千米的上下两个码头,每天定时有甲、乙两艘同样速度的客船从上、下两个码头同时相对开出。这天,从甲船上落下一个漂浮物,此物顺水漂浮而下,5分钟后,与甲船相距2千米,预计乙船出发几小时后,可与漂浮物相遇?

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第11讲 鸡兔同笼问题与假设法

专题解析:

鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的,它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题,都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。

【例1】 小梅数她家的鸡与兔,数头有16个,数脚有44只。问:小梅家的鸡与兔各有多少只?

【例2】 :100个和尚140个馍,大和尚1人分3个馍,小和尚1人分1个馍。 问:大、小和尚各有多少人?

【例3】: 彩色文化用品每套19元,普通文化用品每套11元,这两种文化用

品共买了16套,用钱280元。问:两种文化用品各买了多少套?

例4 :鸡、兔共100只,鸡脚比兔脚多20只。问:鸡、兔各多少只?

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例5 :现有大、小油瓶共50个,每个大瓶可装油4千克,每个小瓶可装油2千克,大瓶比小瓶共多装20千克。问:大、小瓶各有多少个?

分析:本题与例4非常类似,仿照例4的解法即可。

例6 :一批钢材,用小卡车装载要45辆,用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨,那么这批钢材有多少吨?

例7 :乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶,双方商定每只运费0.24元,但如果发生损坏,那么每打破一只不仅不给运费,而且还要赔偿1.26元,结果搬运站共得运费115.5元。问:搬运过程中共打破了几只花瓶?

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例8: 小乐与小喜一起跳绳,小喜先跳了2分钟,然后两人各跳了3分钟,一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下,那么小喜比小乐共多跳了多少下?

练习

1.鸡、兔共有头100个,脚350只,鸡、兔各有多少只?

学校有象棋、跳棋共26副,恰好可供1202.2人下一副象棋,6人下一副跳棋,个学生进行活动。问:象棋与跳棋各有多少副?

3.班级购买活页簿与日记本合计32本,花钱74元。活页簿每本1.9元,日记本每本3.1元。问:买活页簿、日记本各几本?

4.龟、鹤共有100个头,鹤腿比龟腿多20只。问:龟、鹤各几只?

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5.小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角,明信片每张2元5角。问:贺年卡、明信片各买了几张?

6.一个工人植树,晴天每天植树20棵,雨天每天植树12棵,他接连几天共植树112棵,平均每天植树14棵。问:这几天中共有几个雨天?

7.振兴小学六年级举行数学竞赛,共有20道试题。做对一题得5分,没做或做错一题都要扣3分。小建得了60分,那么他做对了几道题?

8.有一批水果,用大筐80只可装运完,用小筐120只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运20千克,那么这批水果有多少千克?

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9.蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀。问:每种小虫各有几只?

10.鸡、兔共有脚100只,若将鸡换成兔,兔换成鸡,则共有脚92只。问:鸡、兔各几只?

第12讲 还原问题

例1.甲、乙、丙三个组共有图书90本,如果乙组向甲组借3本后,又送给丙

组5本,结果三个组所有图书的本数刚好相等。甲、乙、丙三个组原来各有图书多少本?

分析:

例2.甲、乙两个车站共停了195站开出45辆汽车,这时乙站停了汽车辆数是甲站的2各停放多少辆汽车?

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分析:

例3、 一筐鱼连筐重122千克,卖出一半鱼后,再卖出剩下的鱼的地半,这时

连筐还重35千克。原来筐和鱼各重多少千克?

练习与思考

1.小亮在计算一道除法题的时候,把除数36写成62,结果重到的商是

30余12。正确的商应该是多少?

2.小明在做一道减法题的时候,把被减数个位上的4错写成7,把十位的1错

写成5,把百位上的3错写成2,这样,他算得的差是143。正确的差应该是多少?

3.小兰问一位老师今年多大年纪,老师说:“把我的年龄除以乘以3,最后减去27,是33岁。”这位老师多少岁?

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4.操场上放了一些花盆,第一次搬走了全部的一半多8盆,第二次搬走了余下

的一半少4盆,将剩下了摆成6排,每排恰好放2盆。原来有多少个花盆?

5.甲、乙、丙三个小朋友共有年历片120张,如果甲给乙13张,乙给丙23

张后,他们每人的张数相等。原来三人各有年历片几张?

6.甲、乙、丙共有72元钱,甲拿出与乙同样多的钱给乙,乙再拿出与丙同样

多的钱给丙,这时三人的钱数同样多。甲、乙、丙三人原来各有多少钱?

7.甲、乙两个车站共停了90辆汽车,如果从乙站开到甲站12辆汽车,又从

甲站开出30辆汽车,这时甲站停的汽车辆数是乙站的3站各停了多少辆汽车?

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8.甲、乙两个车站共停了90辆汽车,如果从甲站开到乙站38辆汽车后,乙

站开到甲站14辆,这时两站停的汽车辆数相等。两站原来各停了多少辆汽车?

9.某车间分成甲、乙两个组,因生产需要,把甲组工人的一半调到乙组去了,

后来改变工作程序,又把乙组工人中的25人调到了甲组,这时甲组有45人,乙组有22人。甲、乙两个组原来各有多少人?

10.一个水桶里面装有水,连桶称是5千克,把水加到原来的4倍,连桶称是

11千克。桶里原来有多少千克水?桶有多重?

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第13讲 周期问题

【 例】1.10个2连乘的积的个位数字是几?

分析:

【 例】2.1998年元旦是星期四,1999年元旦是星期几?

【例3】.黑珠、白珠共185个串成一串,排列如图:

○●○○○●○○○●○○○……最后一个是什么颜色的?这一串共有多少白珠,多

少个黑珠?

【例4】.把自然数按下图的规律排列后,分成A、B、C、D42

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4在D类,10在B 类。那么,1998在哪一类?

【例5】有一个1111位的数,各位数字都是1,这个数除以6余数是几?商的末位数字是几?

【例6】2001年10月1日是星期一,那么,2002年1月1日是星期几?

43 …… …

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练习与思考

1.42个8连乘以积的个位数是几?

2.99个999连乘,所得积的个位数字是几?

3.1988年2月1日是星期日,1992年2月1日是星期几?1998年2月1日

呢?

4.如果时钟现在表示的时间是18时整,那么,分针旋转1990圈以后是几时?

5.黑珠、白珠共150个串成一串,排列如图:○●●○○●●○○●●○○…… 最后一个是什么颜色的?这一串共有多少个白珠,多少个黑珠?

6.英文字母A、B、C、D探险250个字母,最后一个字母是什么?A、B、C、D

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7.按表中的顺序排下去,数“1998”在下面两个表中各出现在哪个字母的位置

上?

8.一个200位的数,每位上的数字都是3,用它除以7,余数是几?商的末位

数字是几?

9.3×3×3×…×3共85个3相乘,加上4×4×4×…×4共80个4相乘,它们和

的个位数是几? A B C D A B C D 1 2 3 4 7 6 5 8 9 10 11 14 13 12 … … … … 2 4 6 8 14 12 10 16 18 20 22 28 26 24 … … … …

第14讲 尾数与余数

专题简析

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【例1】写出除213 后余3 的全部两位数。

【课堂随练】:1.写出除109 后余4 的全部两位数。

【例2】(1)125×125×125×……×125 [ 100 个25 ]积的尾数是几?

(2)(2 1×26)×( 21×26)×……×(21×26)[ 100 个(21×26)] 积的尾数是几?

【课堂随练】:2. 21×21×21×……×21 [ 50 个21]积的尾数是几?

【例3】(1) 4×4×4×……×4 [50个4]积的个位数是几?

(2)9×9×9×……×9[51个9]积的个位数是几?

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【课堂随练】:3. 24×24×24×……×24 [2001个24],积的尾数是多少?

【例4】 把1/7化成小数,那么小数点后面第100 位上的数字是多少?

【课堂随练】:4. .把1/11化成小数,求小数点后面第2001位上的数字。

【例5】 555 … 55 [2001个5]÷13,当商是整数时,余数是几?

【分析与解答】: 如果用除法硬除显然太麻烦,我们可以先用竖式来除一除,看一看余数在按怎样的规律变化。

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【课堂随练】:5. 444……4÷6 [100个4],当商是整数时,余数是几?

练习:

1. 写出除1290后余3 的全部三位数。

2 .1.5 ×1.5×1.5×……×1.5 [ 200个1.5]积的尾数是几?

3 .94×94×94×……×94 [102个94]—49×49×……×49[101个49],差的个位是多少?

4.有一串数:5 、8 、13 、21 、34、55、89……,其中,从第三个数起,每个数恰好是前两个数的和。在这串数中,第l000个数被3 除后所得的余数是多少?

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5 .当商是整数时,余数各是几?

(1) 888…8÷7[200个8]

(2) 111…1÷7[50个1]

作业:

1. 178 除以一个两位数后余数是3 ,适合条件的两位数有哪些?

2.( 12×63 ) ×(12×63) ×(12×63) ×……×( 12×63 ) [ 1000 个(12×63)]积的尾数是几?

3 .l×2×3×……×98×99,积的尾数是多少?

4. 5/7 写成循环小数后,小数点后第50个数字是几?

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5. 当商是整数时,余数各是几?

(1)666…6÷4 [100个6]

(2)444…4÷74 [200个4]

第15讲 一般应用题

专题简析

一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起,有的已知条件是间接的,数量关系比较复杂,叙述的方式和顺序也比较多样。因此,一般应用题没有明显的结构特征和解题规律可循。解答一般应用题时,可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题的数量关系时,我们可以从条件出发,逐步推出所求问题(综合法);也可以从问题出发,找出必须的两个条件〔 分析法)。在实际解题时,可以根据题中的已知条件,灵活运用这两种方法。

【例1】五年级有六个班,每班人数相等。从每班选16 人参加少先队活动,剩下的同学相当于原来4 个班的人数。原来每班多少人?

【课堂随练】:1.五个同学有同样多的存款,若每人拿出16 元捐给“希望工程”后,五位同学剩下的钱正好等于原来3 人的存款数。原来每人存款多少?

【例2】某车间按计划每天应加工50 个零件,实际每天加工56 个零件。这样,不仅提前3 天完成原计划加工零件的任务,而且还多加工了120 个零件?

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【课堂随练】:2. 汽车从甲地开往乙地,原计划每小时行40 千米,实际每小时多行了10千米,这样比原计划提前2 小时到达了乙地。甲、乙两地相距多少千米?

【例3】甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6 个零件,乙中途停了15 天没有加工,40 天后,乙所加工的零件个数正好是甲的一半。这时两人各加工了多少个零件?

【课堂随练】:3.甲、乙两车同时从A , B 两地相对开出,甲车每小时比乙车多行20 千米。途中乙因修车用了2 小时,6 小时后甲车到达两地中点,而乙车才行了甲车所行路程的一半。A 、B 两地相距多少千米?

【例4】服装厂要加工一批上衣,原计划20 天完成任务,实际每天比计划多加工60 件,照这样做了15天,就超过原计划件数350 件。原计划加工上衣多少件?

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【课堂随练】:4.用汽车运一堆煤,原计划8 小时运完。实际每小时比原计划多运1.5 吨,这样运了6 小时就比原计划多运了3 吨。原计划8 小时运多少吨煤?

【例5】王师傅原计划每天做60 个零件,实际每天比原计划多做20 个,结果提前5 在完成任务。王师傅一共做了多少个零件?

【课堂随练】:1.食堂准备了一批煤,原计划每天烧0. 8 吨,实际每天比原计划节约了0. 1 吨,这样比原计划多烧了2 天。这批煤一共有多少吨?

练习:

1.把一堆货物平均分给6 个小组运,当每个小组都运了68 箱时,正好运走了这堆货物的一半。这堆货物一共有多少箱?

2.小明骑车上学,原计划每分钟行200 只能行120 米,结果迟到了5 分钟。他家离学校有多远? 52

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3.甲、乙两人承包一项工程,共得工资1120 元。已知甲工作了10 天,乙工作了12 天,且甲5 天的工资和乙4 天的工资同样多,求甲、乙每天各分得工资多少元?

4.小明看一本书,原计划8 天看完。实际每天比原计划少看了4 页。这样,用10 天才看完了这本书。这本书一共有多少页?

5.造纸厂生产一批纸,计划每天生产13.5 吨,实际每天比原计划多生产1. 5 吨,结果提前2 .5 天完成了任务。实际用了多少天?

作业:

1.老师把一批树苗平均分给四个小队栽,当每队栽了6 棵时,发现剩下的树苗正好是原来每队分得的棵数。这批树苗一共有多少棵?

2.加工一批零件,原计划每天加工80 个,正好按期完成任务,由于改进了生产技术,实际每天加工100个,这样,不仅提前4 天完成加工任务,而且还多加工了100 个。他们实际加工零件多少个?

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3.甲、乙二人加工一批帽子,甲每天比乙多加工10 个。途中乙因事休息了5 天,20 天后,甲加工的帽子正好是乙加工的2 倍,这时两人各加工帽子多少个?

4.汽车从甲地开往乙地,原计划10 小时到达。实际每小时比原计划多行15千米,行了8 小时后,发现已超过乙20千米。甲、乙两地相距多少千米?

5.机床厂生产一批机床,原计划每天生产15台,实际每天生产18 台,这样比原计划提前3 天完成了任务。这批机床一共有多少台?

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