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初一数学竞赛辅导(第15讲)奇数和偶数

发布时间:2013-10-03 10:22:20  

成都戴氏高考中考学校荣县校区 初一数学辅导 VIP一对一 老师:王银杰

奇数与偶数

通常我们所说的“单数”、“双数”,也就是奇数和偶数,即±1,±3,±5,?是奇数,0,±2,±4,±6,?是偶数.

用整除的术语来说就是:能被2整除的整数是偶数,不能被2整除的整数是奇数.通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式,其中k为整数,偶数可以表示为2k的形式,其中k是整数.

奇数和偶数有以下基本性质:

性质1 奇数≠偶数.

性质2 奇数±奇数=偶数,偶数±偶数=偶数,奇数±偶数=奇数.

性质3 奇数×奇数=奇数,偶数×偶数=偶数,奇数×偶数=偶数.

性质4 奇数个奇数之和是奇数;偶数个奇数之和是偶数;任意有限个偶数之和为偶数. 性质5 若干个奇数的乘积是奇数,偶数与整数的乘积是偶数.

性质6 如果若干个整数的乘积是奇数,那么其中每一个因子都是奇数;如果若干个整数的乘积是偶数,那么其中至少有一个因子是偶数.

性质7 如果两个整数的和(或差)是偶数,那么这两个整数的奇偶性相同;如果两个整数的和(或差)是奇数,那么这两个整数一定是一奇一偶.

性质8 两个整数的和与差的奇偶性相同.

性质9 奇数的平方除以8余1,偶数的平方是4的倍数.

性质1至性质6的证明是很容易的,下面我们给出性质7至性质9的证明.

性质7的证明 设两个整数的和是偶数,如果这两个整数为一奇一偶,那么由性质2知,它们的和为奇数,因此它们同为奇数或同为偶数.

同理两个整数的和(或差)是奇数时,这两个数一定是一奇一偶.

性质8的证明 设两个整数为X,y.因为

(x+y)+(x-y)=2x

为偶数,由性质7便知,x+y与x-y同奇偶.

性质9的证明 若x是奇数,设x=2k+1,其中k为整数,于是

x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1.

因为k与k+1是两个连续的整数,它们必定一奇一偶,从而它们的乘积是偶数.于是,x2除以8余1.

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若y是偶数,设y=2t,其中t为整数,于是

y2=(2t)2=4t2

所以,y2是4的倍数.

例1 在1,2,3,?,1998中的每一个数的前面,任意添上一个“+”或“-”,那么最后运算的结果是奇数还是偶数?

解 由性质8知,这最后运算所得的奇偶性同

1+2+3+?+1998=999×1999

的奇偶性是相同的,即为奇数.

例2 设1,2,3,?,9的任一排列为a1,a2,?,a9.求证:(a1-1)(a2-2)?(a9-9)是一个偶数. 证法1 因为

(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+?+(a9-9) =(a1+a2+?+a9)-(1+2+?+9)

=0

是偶数,所以,(a1-1),(a2-2),?,(a9-9)这9个数中必定有一个是偶数(否则,便得奇数个(9个)奇数的和为偶数,与性质4矛盾),从而由性质5知

(a1-1)(a2-2)?(a9-9)

是偶数.

证法2 由于1,2,?,9中只有4个偶数,所以a1,a3,a5,a7,a9中至少有一个是奇数,于是,a1-1,a3-3,a5-5,a7-7,a9-9至少有一个是偶数,从而(a1-1)(a2-2)?(a9-9)是偶数.

例3 有n个数x1,x2,?,xn,它们中的每一个数或者为1,或者为-1.如果

x1x2+x2x3+?+xn-1xn+xnx1=0,

求证:n是4的倍数.

证 我们先证明n=2k为偶数,再证k也是偶数.

由于x1,x2,?,xn。的绝对值都是1,所以,x1x2,x2x3,?,xnx1的绝对值也都是1,即它们或者为+1,或者为-1.设其中有k个-1,由于总和为0,故+1也有k个,从而n=2k. 下面我们来考虑(x1x2)·(x2x3)?(xnx1).一方面,有(x1x2)·(x2x3)?(xnx1)=(-1)k, 另一方面,有

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(x1x2)·(x2x3)?(xnx1)=(x1x2?xn)2=1.

所以(-1)k=1,故k是偶数,从而n是4的倍数.

例4 设a,b是自然数,且满足关系式

(11111+a)(11111-b)=123456789.

求证:a-b是4的倍数.

证 由已知条件可得11111+a与11111-b均为奇数,所以a,b均为偶数.又由已知条件

11111(a-b)=ab+2468,①

ab是4的倍数,2468=4×617也是4的倍数,所以11111×(a-b)是4的倍数,故a-b是4的倍数.

例5 某次数学竞赛,共有40道选择题,规定答对一题得5分,不答得1分,答错倒扣1分.证明:不论有多少人参赛,全体学生的得分总和一定是偶数.

证 我们证明每一个学生的得分都是偶数.

设某个学生答对了a道题,答错了b道题,那么还有40-a-b道题没有答.于是此人的得分是

5a+(40-a-b)-b=4a-2b+40,

这是一个偶数.

所以,不论有多少人参赛,全体学生的得分总和一定是偶数.

例6 证明15块4×1的矩形骨牌和1块2×2的正方形骨牌不能盖住8×8的正方形. 证 将8×8正方形的小方格用黑、白色涂色(如图1-62).每一块4×1骨牌不论怎么铺设都恰好盖住两个白格,因此15块4×1的骨牌能盖住偶数个白格.一块2×2的骨牌只能盖住一个白格或三个白格,总之能盖住奇数个白格.于是15块4×1骨牌和一块2×2骨牌在图上盖住的白格是奇数个.事实上图上的白格数恰为偶数个,故不能盖住8×8的正方形.

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练习十五

1.设有101个自然数,记为a1,a2,?,a101.已知a1+2a2+3a3+?+100a100+101a101=s是偶数,求证:a1+a3+a5+?+a99+a101是偶数.

2.设x1,x2,?,x1998都是+1或者-1.求证:

x1+2x2+3x3+?+1998x1998≠0.

3.设x1,x2,?,xn(n>4)为1或-1,并且

x1x2x3x4+x2x3x4x5+?+xnx1x2x3=0.

求证:n是4的倍数.

4.(1)任意重排某一自然数的所有数字,求证:所得数与原数之和不等于99?9(共n个9,n是奇数);

(2)重排某一数的所有数字,并把所得数与原数相加,求证:如果这个和等于1010,那么原数能被10整除.

5.(1)有n个整数,其和为零,其积为n.求证:n是4的倍数;

(2)设n是4的倍数,求证:可以找到n个整数,其积为n,其和为零.

6.7个杯子杯口朝下放在桌子上,每次翻转4个杯子(杯口朝下的翻为杯口朝上,杯口朝上的翻为杯口朝下),问经过若干次这样的翻动,是否能把全部杯子翻成杯口朝上?

7.能否把1,1,2,2,3,3,4,4,5,5这10个数排成一行,使得两个1中间夹着1个数,两个2之间夹着2个数,?,两个5之间夹着5个数?

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