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2013中环杯五年级决赛解析

发布时间:2013-10-05 10:02:30  

1、我们有下列公式:

12?22???n2?n(n?1)(2n?1) 6

2?n(n?1)?13?23???n3?? ?2??

323232计算:(1?3?1?3?1)?(2?3?2?3?2)???(99?3?99?3?99)。 99?(99?1)?(2?99?1)99?(99?1)?99?(99?1)???3??3?【分析】原式? ?262??

?25502400

2、有一类四位数,除以5余1,除以7余4,除以11余9。这类四位数中最小的一个是多少?

【分析】设所求数为5a?1,则有5a?1?4(mod7)?a?2(mod7),设a?7b?2,则2

b?1?1所求数为35b?1,1则有359(m?odb?11)1,设

385c?361,故最小的四位数为385?2?361?1131。b?11c?1,则所求数为0

3、有A、B、C、D、E五个人,其中每个人永远说谎话或者永远说真话,并且他们彼此都互相知道对方的行为。A说B是说谎者,B说C是说谎者,C说D是说谎者,D说E是说谎者。那么,这五个人中最多有多少个说谎者?

【分析】若A说真话,由A所说的话可知B说谎话,由B所说的话可知C说真话,继续推

知D说谎话,E说真话,有2人说谎。

若A说谎话,则B说真话,C说谎话,D说真话,E说谎话,有3人说谎。

由此,最多有3个说谎者。

4、在1到200之间,有多少个数,其所有不同的素因数之和为16?(比如:12的所有不同素因数为2、3,其和为2+3=5)

【分析】由于2?3?5?7?17?16,所以所求数至多有3个不同素因数。且由于16为偶

数,若拆成3个素数之和,其中必有2。

1、16?2?3?11,有66、132、198共3个

2、16?3?13,有39、117共2个

3、16?5?11,有55共1个

综上,共有6个。

5、某次数学比赛,计分方法有两种,分别是:第一种,答对一题给5分,答错不给分,不答给2分;第二种,先给39分,然后答对一题给3分,答错扣1分,不答不给分。某个考生完成所有题目后,用两种方法计分,都得71分。则这个考生未答的题目有多少题?

【分析】设该生答对、未答、答错的题目依次为a,b,c题,则有:

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71?5a?b??5a?2b?71???2 ?39?3a?c?71???c?3a?32

由于a,b,c都是正整数,所以有:

?5a?71?11?a?14 ?3a?32?

又a必须是奇数,所以a?11或13

也即该生未答得题目有8题或3题。

6、在下图的数字谜中,每个字母代表一个数字。不同的字母代表了不同的数字,相同的字母代表了相同的数字。则T是多少?

F O R T Y

T E N

+ T E N

S I X T Y

【分析】由于万位数上F、S不同,所以易知千位有向前进位。

由于个位上Y未变,所以N为0或5

若N为5,则十位上有T+2E+1仍为T,显然不可能

所以N为0,于是,个位上没有进位

观察十位,同样T未变,所以E为0或5,由于N已经为0,所以E为5

观察百位,由于千位数字发生了变化,所以百位必须进位,可能进1或2

若百位进1,由于千位也有进位,所以O必须为9,那么I就为0,重复了

所以百位进2,且O不能为8,否则I为0,所以O为9,I为1

由于R+2T+1超过20,且9已经被用走

所以T最小为6

若T为6,那么R为7或8,若R为7,则X为0,重复;若R为8,则X为1,重复,故T不为6

若T为7,那么R为6或8(5、7已用),若R为6,则X为1,重复,若R为8,则X为3,发现0、1、3、5、7、8、9已经用去,还剩2、4、6,显然S仅比F大1,无法满足,故T不为7

若T为8,那么R为3、4、6、7,若R为3,则X为0,重复;若R为4,则X为1,重复;若R为6,则X为3,还剩2、4、7,S、F无法满足;故R为7,X为4,还剩2、3、6,显然F为2,S为3,Y为6。

综上,T为8。

7、平行四边形ABCD中,点P、Q、R、S分别是边AB、BC、CD、DA的中点,而点T

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为线段SR的中点。已知平行四边形ABCD的面积为120平方厘米,则?PQT面积为多少平方厘米?

【分析】显然,由于SR与PQ平行,所以S?PQT?S?PQS?1SABCD?30。 4

8、已知一个骰子的六个面上分别写了六个不同的正整数,这六个正整数的和为60。现在对这个骰子进行这样的操作:每次操作选取正方体的一个顶点,将包含这个顶点的三个面上的数字都加1。经过多次操作后,这个正方体的所有面上的数字都相同了。满足条件的不同的骰子有多少种?(六个面的数字选定后就算一种,不考虑这六个数字如何放在骰子上)

【分析】依次设上、下、左、右、前、后上原来的数为a,b,c,d,e,f。

假设这组数符合要求,不妨设操作了x?y次后,六个数变得相同,其中x次操作中包含上面,y次操作中包含下面(显然不可能有操作既不包含上面、也不包含下面),操作结束后,上面与下面数字之和变为a?b?x?y;前、后、左、右四个数字之和变为c?d?e?f?2(x?y);

由题意,c?d?e?f?2(x?y)?2(a?b?x?y)?c?d?e?f?2(a?b)。 解得a?b?20。

同理,c?d?20,e?f?20。

由于,20=1+19=2+18=3+17=4+16=5+15=6+14=7+13=8+12=9+11(10+10数字相同,舍去)

3于是,从9组数中选3组即可,共C9?84种选法。

2n2349、定义an?1?3?3???3(n为正整数),比如:a4?1?3?3?3?3。那么

a1,a2,?,a2013中,有多少个数是7的倍数。

3n?1?1n?1【分析】an?1?3?3???3?,即只要3?1是7的倍数,an就是7的倍数 22n

发现3n?1除以7的余数以为2、6、4、5、1、3周期循环

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2013?6?335?3

故其中有335个数除以7余1,即a1,a2,?,a2013中有335个7的倍数。

10、如图所示,有一个边长为5厘米的立方体木块,在它的每个角以及每条棱和每个面的中间各挖去一个边长为1厘米的小立方体(即图中画有阴影的那些小立方体),那么余下部分的表面积是多少平方厘米?

【分析】原表面积为150,从角上挖去,表面积不变,从棱上挖去,表面积增大2,从面上

挖去,表面积增大4,故剩余部分表面积为150?2?12?4?6?198。

1、有一对四位数数对(2025、3136),拥有如下特点:每个数都是完全平方数,并且第二个四位数的每个数码都比第一个四位数的对应数码都大1。请找出所有满足这个特点的五位数数对。(如果找出的一对五位数为a和b,请写成(a,b)的形式)

22【分析】设找到数对(a,b),则有:

b2?a2?11111

即(b?a)(b?a)?41?271?1?11111

考虑到10000?a?b?99999?100?a?b?316 22

?b?a?41?a?115??仅有一组解为? b?a?271??b?156

22于是所求数对仅有一对为(115,156)?(13225,24336)。

2、用R、G、B三种颜色对下图2?5的表格进行染色,要求有公共边的两个格子必须染成不同的颜色。问:一共有多少种不同的染色方法?

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【分析】考虑2行a列,设2行a列有b种不同的染色方法,再在其右边加上1列

对于b种染法的每一种,考虑其右边一列有多少种不同的染法

显然,1、2号格子颜色不同,3号格子与1号颜色不同,若3号与2号同色,则4号有2种染法,若3号与2号异色,则4号有1种染法,于是,第a?1列有1?2?1?1?3种染法,于是2行a?1列共有3b种不同染法

2行1列有3?2?6种染法

于是,2行5列有6?3?3?3?3?486种染法。

3、A、B两地相距36千米,甲、乙两位超人同时从A地向B地行走,一旦到B地以后立即走向A地,到达A地以后又立即走向B地……,两人不停地在A、B间走动。若甲的速度为2k千米/时,乙的速度为k千米/时。设经过p个小时,甲、乙之间的距离第2012次达到最大;经过q个小时,甲、乙之间的距离第2013次达到最大。若q?p为正整数,求:正整数k的最大值

【分析】如下图,柳卡图

发现当甲在A地、乙在B地时,两人距离最大 36第一次两人距离最大所用时间为小时 k

72以后每隔小时,两人再次距离最大 k

72367236p??2011?q??2012?因此,,, kkkk

72q?p?因此,, k

于是k最大为

72

4、如图1,ABCD、CEFG是两个正方形,边长分别为5厘米和4厘米。将GC边擦去,

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留下一个轮廓,然后联结AE、BF相交于点H,联结BG与AE相交于点I(如图2),则图2中阴影部分的面积是多少平方厘米?

图1

图2

AHAB5

??, 【分析】观察沙漏模型AEFB,有

HEEF4

BC5AH

??由于,所以HC∥AB,即H在CD上。 CE4HE

HCEC4202016

???HC?GH?4??。 由于HC∥AB,所以,于是ABEB9999

116305

S??(5?)?5?观察梯形AGHB,AGHB。

2918

16

:5?16:45, 又GH:AB?9

2222

由蝴蝶模型,可知S?GHI:SAGHB?16:(16?45)?16:61,

于是,S?GHI

162162305640?2?SAGHB?2??,

616118549

5、七巧板是我们熟悉的益智玩具。现在请你利用提供给你的卡之,按照图1所示制作一副七巧板,并取其编号1到4的四块,做成四巧板。

(1)用四巧板的四块拼板拼出图2所示的台阶图形。用粗线条将拼法直接画在图2上。

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1

2

4

3

图1

【分析】

2

(2)图3所示是一个立方体的四级台阶,每级台阶的长、宽、高都分别相等。已知高AD?h?3厘米,宽DE?b?1厘米,长AC?a?8厘米。已知聪明的老鼠沿着台阶表面从A点往B点爬行(假设在垂直表面它可垂直爬行),且走的是最短路径。另有一个智能捕鼠器,它可以放在DE、FG、HI中的任意一条上的任意一点。如果它放在DE上,那么它走动的路线一定垂直于DE。同理,如果它放在FG或HI上,那么它走动的路线一定垂直于FG或HI。已知老鼠与智能捕鼠器同时启动,老鼠的速度v?17厘米/秒。求证:为了正好捕捉到老鼠,智能捕鼠器的速度与它放置的位置没有关系,并求出其速度。

【分析】如下图,将台阶拉成平面图形,则最短路线为AB的连线

显然,AC=BJ=8,AJ=15,所以,由勾股定理,AB=17

下证智能捕鼠器放在AJ上任一点,恰好捕捉到老鼠的速度都相同

在AJ上任取一点P,过P做AJ垂线交AB于Q

显然,捕鼠器恰好在Q点捕捉到老鼠

PQAQAQ?8??PQ?显然PQ∥BJ,于是有, BJAB17

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AQ而老鼠跑到Q点所用时间为AQ?17?17 于是,捕鼠器的速度应为PQ?AQ

17?AQ?8

17?17

AQ?8

显然,捕鼠器的速度与其位置无关,应为8厘米/秒。

P

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