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(7答)2013年全国初中数学联赛广东省试题参考答案

发布时间:2013-10-05 10:03:48  

2013年全国初中数学联赛广东省试题参考答案

一.选择题(5×7'=35')

1、【分析】n?5时,n!的个位数均为0,只考虑前4个数的个位数之和即可,1+2+6+4=13,故式子的个位数是3. 本题选C.

?2x?5?x??5??3?3?2t?x?20,则5个整数解是x?19,18,17,16,15.

2、【分析】?x?3??t?x??2

注意到x?15时,只有4个整数解.所以

3、【分析】14?3?2t?15??6?t??112,本题选C xx?2a?2x??2?a?2x2?2x?4,下面先考虑增根: x?2xx?2x

ⅰ)令x?0,则a?4,当a?4时,2x2?2x?0,x1?1,x2?0(舍);

ⅱ)令x?2,则a?8,当a?8时,2x2?2x?4?0,x1??1,x2?2(舍);

再考虑等根:

ⅲ)对2x?2x?4?a?0,??4?8(4?a)?0?a?

故a?4,8,

2717,当a?,x1,2?. 22271,x?1,?1,共3个.本题选C. 22

4、【分析】设?ABC底边BC上的高为h,则h?48481212???BC4CFCFDE,

S?ADE?S?BDE?

?

本题选D.

111?DE?h1??DE?h2??DE?(h1?h2)222 1112?DE?h??DE??622DE

11C4?C2?1?1825、【分析】P??? 本题选B. 2C9369

二.填空题(5×7'=35')

6、【分析】考虑到a?,则a2?32?9,2???27?3,b??2,b?2?9 则(b?2)3?(9)3?9

7、【分析】对第一次向上面为1时,后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111,114,123,126,132,135,141,144,153,156,162,165共12种;对于首次掷得向上的面是2,3,4,5,6的,后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的,故和为3的倍数共有12?6,而总次数是6?6?6次,则其概率为P?

12?61?. 6?6?63

8、【分析】先消去c,再配方估算.6a?a?b?16b?2?6(a?22121)?(b?8)2?66? 1224

观察易知上式中a?3,故a?1,2,3,经试算,a?1,2时,b均不是整数;当a?3时,b?5,11,于是有(a,b,c)?(3,5,13),(3,11,61),故abcmax?3?11?61?2013.

9、【分析】由根与系数关系知a?b?c?c?d?a?0?b?d,ab?d,cd?b,然后可得

(a、b、c、d)=(1,-2,1,-2)

,x?y?350 10、【分析】设4元的卖x支,7元的卖y支,则4x?7y?2013

4x?7y?2013?4x?2012?8y?y?1?x?503?2y?

令y?14 y?1?k?y?4k?1,则x?503?2(4k?1)?k?505?7k,又x?y?350,即4

1?N505?7k?4k?1?350?k?51?k???k?52,y?4k?1?4?52?1?207 3

即他至少卖了207支圆珠笔.

三.解答题(4×20'=80')

11.

【分析】易知y?x2?2x?3?(x?1)2?4,

A(?1,0),B(3,0),C(0,?3),D(1,?4),作EF⊥CO于F,连CE,易知△OBC、△CEF都是等腰直角三角形,则△CBE是直角三角形.分别在Rt△OBD、Rt△BCE中运用正切定义,即有

tan??OD1CE21?,tan????,则??? OB3BC323

从而可得∠DBC-∠CBE=45o.

12.

【分析】设圆O半径为r,则由相似或三角函数或射影定理可知,DE2?CE?OE?DE2?10(r?10),又

CD2?CE2?DE2?102?10(r?10)?10r

由相交弦定理(考虑垂径时)或连AC、BC用相似或三角函数,易知 AD?BD?CD2?10r①,而AD?BD?2r②

yxy10ryy??5???1,显然有0?y?x,则0??1,即xx?y2rx5令AD?x,BD?y,①/②即

0?y?1?1?5?y?10,y为正整数,故y?6,7,8,9,又x也为正整数,经逐一试算,仅当y?6,x?305

这一组是正整数,故AD?30.

13. ?y?c?a?b?1??8az2?y【分析】? ?y?z?2a?????z2?z?2a?0?z?z?a?b?c2?

a、b、c是素数,则a?b?c?z为整数,则?8a?2k?1,k为正整数.化简整理后,有

?k?1,k?1?2a?1?1?2?a?1(非质数)k(k?1)?2a?? k?2,k?1?a?2?1?3?

z??1??8aa?3????z??3,2 2

ⅰ)z?3,y?9,x?9?2?x?25,x?z?2b?b?11,b?17,a?b?3?17?20?17?c不能围成三角形;

ⅱ)z?2,y?4,x?16,b?9是合数

综上所述,以a、b、c不能围成三角形.

14.

【分析】考虑到魔术数均为7的倍数,又a1,a2,...,an互不相等,不妨设a1?a2?...?an,余数必为1、

,3...,2、3、4、5、6,0,设ai?7ki?t,(i?1,2,n;t?0,1,2,3,4,5,6),至少有一个为m的“魔术数”.因

为ai?10k?m(k是m的位数),是7的倍数,当i?6时,而ai?10k除以7的余数都是0,1,2,3,4,5,6中的6个;当i?7时,而ai?10k除以7的余数都是0,1,2,3,4,5,6这7个数字循环出现,当i?7时,依抽屉原理,ai?10k与m二者余数的和至少有一个是7,此时ai?10k?m被7整除,即n=7.

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