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2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛选拔赛(1)

发布时间:2013-10-05 10:51:19  

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛选拔赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是:

我们的参赛报名号为:

参赛队员:1.

日期: 年 月 日

题目:深圳关内外交通拥堵探究与治理

摘要

交通拥堵是目前中国各大城市面临的共同难题,由于历史的原因,深圳由关内关外两个区域组成。由于有相当的一部分人口在关外居住,在关内上班,导致在上下班高峰期各关口进出通道经常成为交通最拥堵的地方,尤其以布吉关、梅林关等处为甚,在高峰期发生道路交通事故更会严重影响到广大市民的工作和生活。为了解决这一长期问题,根据深圳的交通特点,建立了一个较为全面的模型。

针对问题一:

关键字:交通流 饱和度 通行能力 绿信比

一、 问题重述 二、 问题分析 三、 模型假设

1、

为明确和简单起见,这里的交通流均指由标准长度的小型汽车在单方向的道路上行驶而形成的车流,没有外界因素如岔路、信号灯等影响; 2、

车速v是车流密度k的函数,k=0时v=vf (畅行车速),k=kj (阻滞密度)时v=0; 3、

在稳定状态下车速v及相邻两车的车头间隔d都相同,因而车流密度

k=是常数;

4、

当地n?1辆车减速或加速致使稳定状态被破坏时,第n辆车施加的制动力或驱动力与两车速度差成正比,与两车间隔的平方成反比,制动或驱动后稳定状态恢复。

四、 符号系统

符号

说明

流量:某时刻单位时间内通过道路指定断面的车辆数 速度:某时刻通过道路指定断面的车辆速度 密度:某时刻通过道路指定断面单位长度内的车辆数 密度为0时的理论上的最高车速 阻塞密度,即速度为0时的密度 最大流量 最大密度 最大速度

单位时间内通过道路上指定断面的最大车辆数 最大通行能力

单位 辆\h km\h 辆\km km\h 辆\km 辆\h 辆\km km\h 辆\h 辆\h

q

v k

vf

kj

qm km vm

N Nm

1

d t0

前后两车最小车头间隔 司机的反应时间

刹车时司机在反应时间内汽车行驶的距离

刹车时从制动器开始起作用到汽车完全停止行驶的距离 两车之间的安全距离 车辆的标准长度 刹车时最大制动力 车的质量 加速度 信号灯周期 某相位的绿灯时间

绿灯第1辆车通过停止线的时间 直行或右转车辆通过停止线的时间 某相位下每小时通过停止线的最大车辆数 某相位的绿灯时间与信号灯周期之比 车流中第n辆车的位置 车流中第n辆车的速度

m s m m m m N kg m\s2 s s s s 辆\h \ \ \

d1 d2 d3

d4

F

m a T

tg

t0 ts

S G Sn(t) vn(t)

五、模型建立与求解

问题一: 5.1、模型分析:

1)借用物理学的概念,将交通流近似看作一辆辆汽车组成的连续的流体,于是可以用流量、速度、密度这3个参数描述交通流的基本特性。虽然一般说来流量、速度和密度都是时间和地点的函数,但是在讨论指定时间段(如早高峰)、指定路段或路口的交通状况时,可以认为交通流是稳定的,即与时间和地点无关。

2

2)分析行驶过程中车辆的位置、速度与受力之间的关系。若前面第n-1辆车突然减速,稳定状态被破坏,则第n辆车将施加制动力,随之减速。当两车速度差越大时制动力越大,同时,当车流拥挤,即两车间隔越小时制动力也越大,经制动作用后稳定状态恢复。若前面第n-1辆车突然加速,第n辆车施加驱动力的情况与此相似。

5.2、模型建立:

1)车速与车流密度的线性模型:

由物理学的知识可得:

q=v?k (1) 根据牛顿第二定律和模型假设4可以写出微分方程:

vn(t)?=??vn?vn?1 (2) (xn?xn?1)2

其中?是比例系数,由vn(t)和xn(t)之间的导数关系可得:

vn(t)?=-?×d1() (3) dtxn?xn?1

对上式两边积分可得:

vn(t)=-?×1+c (其中c待定系数) (4) xn(t)?xn?1(t)

根据模型假设3,稳定状态恢复后vn(t)=v,xn(t)?xn?1(t)=d=,可得

v=-??k+c (5) 或v=vf?(1?) (6) j

当密度为0时,达到理论上的最高车速;当速度为0时,密度此时最大,车辆静止不前。

将(6)代入式子(1)中,可得流量与密度的关系

q?vf?k(1?kj)=-vfkj?k2?vf?k (7)

这是一条抛物线,车流密度k由小变大时流量增加,当k?

度的一半时,流量最大,密度k继续变大,流量减小。

由(1)和(6)可以导出流量与车速之间的关系 kj,即阻塞密

3

q?kj?v?(1?f)??kjvf?v2?kj?v (8) 此也为一条抛物线,最大流量出现在车速v?将(2)、(7)、(8)绘制如下图所示:

vf,即畅行车速的一半出。

2)当密度较大时的对数模型:

3)当密度较小时的指数模型 4

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