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五年级培优 竞赛 二合一 精讲系列之6 牛吃草(例题 练习 课后作业一条龙)

发布时间:2013-10-05 10:51:21  

第十二讲 工程问题之牛吃草问题

知识点拨:

英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中,有一道关于牛在牧场上吃草的问题,即牛在牧场上吃草,牧场上的草在不断的、均匀的生长.后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”.

“牛吃草”问题主要涉及三个量:草的数量、牛的头数、时间.难点在于随着时间的增长,草也在按不变的速度均匀生长,所以草的总量不定.“牛吃草”问题是小学应用题中的难点.

解“牛吃草”问题的主要依据:

① 草的每天生长量不变;

② 每头牛每天的食草量不变;

③ 草的总量?草场原有的草量?新生的草量,其中草场原有的草量是一个固定值

④ 新生的草量?每天生长量?天数.

同一片牧场中的“牛吃草”问题,一般的解法可总结为:

⑴设定1头牛1天吃草量为“1”;

⑵草的生长速度?(对应牛的头数?较多天数?对应牛的头数?较少天数)?(较多天数?较少天数); ⑶原来的草量?对应牛的头数?吃的天数?草的生长速度?吃的天数;

⑷吃的天数?原来的草量?(牛的头数?草的生长速度);

⑸牛的头数?原来的草量?吃的天数?草的生长速度.

“牛吃草”问题有很多的变例,像抽水问题、检票口检票问题等等,只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路,才能以不变应万变,轻松解决此类问题.

例题精讲:

板块一、一块地的“牛吃草问题”

【例 1】 青青一牧场,牧草喂牛羊;

放牛二十七,六周全吃光。

改养廿三只,九周走他方;

若养二十一,可作几周粮?

(注:“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。)

【解说】题目翻译过来是:一牧场长满青草,27头牛6个星期可以吃完,或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛,要几个星期才可以吃完?(注:牧场的草每天都在生长)

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,27头牛吃6周共吃了27?6?162份;23头牛吃9周共吃了23?9?207

份.第二种吃法比第一种吃法多吃了207?162?45份草,这45份草是牧场的草9?6?3周生长出来的,所以每周生长的草量为45?3?15,那么原有草量为:162?6?15?72.

供21头牛吃,若有15头牛去吃每周生长的草,剩下6头牛需要72?6?12(周)可将原有牧草吃完,即它可供21头牛吃12周.

【巩固】 牧场上长满牧草,每天牧草都匀速生长.这片牧场可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天.供25

头牛可吃几天?

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,10头牛吃20天共吃了10?20?200份;15头牛吃10天共吃了15?10?150

份.第一种吃法比第二种吃法多吃了200?150?50份草,这50份草是牧场的草20?10?10天生长出来的,所以每天生长的草量为50?10?5,那么原有草量为:200?5?20?100.

供25头牛吃,若有5头牛去吃每天生长的草,剩下20头牛需要100?20?5(天)可将原有牧草吃完,即它可供25头牛吃5天.

弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 1

【例 2】 牧场上有一片匀速生长的草地,可供27头牛吃6周,或供23头牛吃9周,那么它可供多少头牛吃18

周?

【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”,草的生长速度为(23?9?27?6)?(9?6)?15,原有草量为

(27?15)?6?72,可供72?18?15?19(头)牛吃18周

【巩固】 有一块匀速生长的草场,可供12头牛吃25天,或可供24头牛吃10天.那么它可供几头牛吃20天?

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,那么25?10?15天生长的草量为12?25?24?10?60,所以每天生长的

草量为60?15?4;原有草量为:?24?4??10?200.

20天里,草场共提供草200?4?20?280,可以让280?20?14头牛吃20天.

【巩固】 (2007年湖北省“创新杯”)

牧场有一片青草,每天长势一样,已知70头牛24天把草吃完,30头牛60天把草吃完,则 头牛96天可以把草吃完.

10【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,那么每天新生长的草量为?30?60?70?24???60?24??,牧场原有3

10?10?草量为?30???60?1600,要吃96天,需要1600?96??20(头)牛. 3?3?

【巩固】 一牧场放牛58头,7天把草吃完;若放牛50头,则9天吃完.假定草的生长量每日相等,每头牛每

日的吃草量也相同,那么放多少头牛6天可以把草吃完?

【解析】 设1头牛1天的吃草量为1个单位,则每天生长的草量为:(50?9?58?7)?(9?7)?22,原有草量为:

50?9?22?9?252,(252?22?6)?6?64(头)

【巩固】 林子里有猴子喜欢吃的野果,23只猴子可在9周内吃光,21只猴子可在12周内吃光,问如果要4周

吃光野果,则需有多少只猴子一起吃?(假定野果生长的速度不变)

【解析】 设一只猴子一周吃的野果为“1”,则野果的生长速度是(21?12?23?9)?(12?9)?15,原有的野果为

(23?15)?9?72,如果要4周吃光野果,则需有72?4?15?33只猴子一起吃

【例 3】 由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不生长,反而以固定的速度在减少.已知某块草地上的草可供

20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天.照此计算,可以供多少头牛吃10天?

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,那么每天自然减少的草量为:?20?5?15?6???6?5??10,原有草量为:

?20?10??5?150;10天吃完需要牛的头数是:150?10?10?5(头).

【巩固】 由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长,反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25

头牛吃4天,或可供16头牛吃6天,那么可供多少头牛吃12天?

【解析】 设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少 (25?4?16?6)?(6?4)?2;

原来牧场有草(25?2)?4?108,

12天吃完需要牛的头数是:108?12?2?7(头)或(108?12?2)?12?7(头)。

【例 4】 由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天以均匀的速度减少.经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,

或可供16头牛吃6天.那么,可供11头牛吃几天?

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,6?51?天自然减少的草量为20?5?16?6?4,原有草量为:

?20?4??5?120.

若有11头牛来吃草,每天草减少11?4?15;所以可供11头牛吃120?15?8(天).

【巩固】 由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长,反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25

头牛吃4天,或可供16头牛吃6天,那么可供10头牛吃多少天?

【解析】 设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少 (25?4?16?6)?(6?4)?2

原来牧场有草(25?2)?4?108

可供10头牛吃的天数是:108?(10?2)?9(天)。

弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 2

【例 5】 一块匀速生长的草地,可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天.如果一头牛一天吃草量等于5

只羊一天的吃草量,那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天?

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量,所以100只羊吃12

天相当于20头牛吃12天.那么每天生长的草量为?16?20?20?12???20?12??10,原有草量为:?16?10??20?120.

10头牛和75只羊1天一起吃的草量,相当于25头牛一天吃的草量;25头牛中,若有10头牛去吃每天生长的草,那么剩下的15头牛需要120?15?8天可以把原有草量吃完,即这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天.

【巩固】 (2008年希望杯六年级二试试题)

有一片草场,草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完,70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么,17头牛和20只羊多少天可将草吃完?

【解析】 “4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”,所以可以设一只羊一天的食量为1,那么14头牛

30天吃了14?4?30?1680单位草量,而70只羊16天吃了16?70?1120单位草量,所以草场在每天内增加了(1680?1120)?(30?16)?40草量,原来的草量为1120?40?16?480草量,所以如果安排17头牛和20只羊,即每天食草88草量,经过480?(88?40)?10天,可将草吃完。

【巩固】 一片牧草,每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天,或可供60只羊吃24天。如果

1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量,那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天?

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,60只羊的吃草量等于15头牛的吃草量,88只羊的吃草量等于22头牛

的吃草量,所以草的生长速度为(15?24?20?12)?(24?12)?10,原有草量为(20?10)?12?120,12头牛与88只羊一起吃可以吃120?(12?22?10)?5(天)

【例 6】 有一牧场,17头牛30天可将草吃完,19头牛则24天可以吃完.现有若干头牛吃了6天后,卖掉了4

头牛,余下的牛再吃两天便将草吃完.问:原来有多少头牛吃草(草均匀生长)?

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,那么每天生长的草量为?17?30?19?24???30?24??9,原有草量为:

?17?9??30?240.

现有若干头牛吃了6天后,卖掉了4头牛,余下的牛再吃两天便将草吃完,如果不卖掉这4头牛,那么原有草量需增加4?2?8才能恰好供这些牛吃8天,所以这些牛的头数为?240?8??8?9?40(头).

【巩固】 一片草地,可供5头牛吃30天,也可供4头牛吃40天,如果4头牛吃30天,又增加了2头牛一起吃,

还可以再吃几天?

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,那么每天生长的草量为?4?40?5?30???40?30??1,原有草量为:

?5?1??30?120.如果4头牛吃30天,那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量,此时原有草量还剩120?90?30,而牛的头数变为6,现在就相当于:“原有草量30,每天生长草量1,那么6头牛吃几天可将它吃完?”易得答案为:30??6?1??6(天).

【例 7】 一片匀速生长的牧草,如果让马和牛去吃,15天将草吃尽;如果让马和羊去吃,20天将草吃尽;如

果让牛和羊去吃,30天将草吃尽.已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量.现在让马、牛、羊一起去吃草,几天可以将这片牧草吃尽?

【解析】 设1匹马1天吃草量为“1”,根据题意,有:

15天马和牛吃草量?原有草量?15天新生长草量??⑴

20天马和羊吃草量?原有草量?20天新生长草量??⑵

30天牛和羊(等于马)吃草量?原有草量?30天新生长草量??⑶

由(1)?2?(3)可得:30天牛吃草量?原有草量,所以:牛每天吃草量?原有草量?30;

由⑶可知,30天羊吃草量?30天新生长草量,所以:羊每天吃草量?每天新生长草量;设马每天吃的草为3份

将上述结果带入⑵得:原有草量?60,所以牛每天吃草量?2.

这样如果同时放牧牛、羊、马,可以让羊去吃新生长的草,牛和马吃原有的草,可以吃:60??2?3??12(天).

【巩固】 现在有牛、羊、马吃一块草地的草,牛、马吃需要45天吃完,于是马、羊吃需要60天吃完,于是牛、

羊吃需要90天吃完,牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度,求马、牛、羊一起吃,需多少时间?

弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 3

【解析】 牛、马45天吃了 原有?45天新长的草①

?牛、马90天吃了2原有?90天新长的草⑤

马、羊60天吃了 原有?60天新长的草②

牛、羊90天吃了 原有?90天新长的草③

? ? ?

马 90天吃了 原有?90天新长的草④

所以,由④、⑤知,牛吃了90天,吃了原有的草;再结合③知,羊吃了90天,吃了90天新长的草,

所以,可以将羊视为专门吃新长的草.

所以,②知马60天吃完原有的草,③知牛90天吃完原有的草.

现在将牛、马、羊放在一起吃;还是让羊吃新长的草,牛、马一起吃原有的草.

所需时间为1?(11?)?36天. 9060

所以,牛、羊、马一起吃,需36天.

模块二、“牛吃草问题”的变形

【例 8】 一只船发现漏水时,已经进了一些水,水匀速进入船内.如果10人淘水,3小时淘完;如5人淘水,8

小时淘完.如果要求2小时淘完,要安排多少人淘水?

【解析】 设1人1小时淘出的水量是“1”,淘水速度是(5?8?10?3)?(8?3)?2,原有水量(10?2)?3?24,

要求2小时淘完,要安排24?2?2?14人淘水

【巩固】 一只船发现漏水时,已经进了一些水,现在水匀速进入船内,如果3人淘水40分钟可以淘完;6人淘

水16分钟可以把水淘完,那么,5人淘水几分钟可以把水淘完?

【解析】 设1人1分钟淘出的水量是“1”,4016?24?分钟的进水量为3?40?6?16?24,所以每分钟的进水

量为24?24?1,那么原有水量为:?3?1??40?80.5人淘水需要80??5?1??20(分钟)把水淘完.

【例 9】 假设地球上新生成的资源增长速度是一定的,照此计算,地球上的资源可供110亿人生活90年;或

供90亿人生活210年。为了使人类能够不断繁衍,地球上最多能养活多少人?

【解析】 (90?210?110?90)?(210?90)?75亿人。

【例 10】 画展8:30开门,但早有人来排队入场,从第一个观众来到时起,若每分钟来的观众一样多,如果开3

个入场口,9点就不再有人排队;如果开5个入场口,8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。

【解析】 设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。 8:30到9:00 共30分钟 3个入口共进入3?30?90。8:30

到8:45 共15分钟 5个入口共进入5?15?75,15分钟到来的人数 90?75?15,每分钟到来15?15?1。8:30以前原有人3?30?1?30?60。 所以应排了60?1?60(分钟),即第一个来人在7:30

【巩固】 画展9点开门,但早有人来排队入场,从第一个观众来到时起,若每分钟来的观众一样多,如果开3

个入场口,9点9分就不再有人排队;如果开5个入场口,9点5分就没有人排队.求第一个观众到达的时间.

【解析】 如果把入场口看作为“牛”,开门前原有的观众为“原有草量”,每分钟来的观众为“草的增长速度”,

那么本题就是一个“牛吃草”问题.

设每一个入场口每分钟通过“1”份人,那么4分钟来的人为3?9?5?5?2,即1分钟来的人为2?4?0.5,原有的人为:?3?0.5??9?22.5.这些人来到画展,所用时间为22.5?0.5?45(分).所以第一个观众到达的时间为8点15分.

点评:从表面上看这个问题与“牛吃草”问题相离很远,但仔细体会,题目中每分钟来的观众一样多,类似于“草的生长速度”,入场口的数量类似于“牛”的数量,问题就变成“牛吃草”问题了.解决一个问题的方法往往能解决一类问题,关键在于是否掌握了问题的实质.

【例 11】 在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶梯.小强乘坐扶梯时,如果每秒向上迈一级台阶,

那么他走过20级台阶后到达地面;如果每秒向上迈两级台阶,那么走过30级台阶到达地面.从站台到地面有 级台阶.

弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 4

【解析】 本题非常类似于“牛吃草问题”,如将题目改为:

“在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶梯.小强乘坐扶梯时,如果每秒向上迈一级台阶,那么他走过20秒后到达地面;如果每秒向上迈两级台阶,那么走过15秒到达地面.问:从站台到地面有多少级台阶?”

采用牛吃草问题的方法,电梯20?15?5秒内所走的阶数等于小强多走的阶数:2?15?1?20?10阶,电梯的速度为10?5?2阶/秒,扶梯长度为20?(1?2)?60(阶)。

【巩固】 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走,男孩每秒可走3级梯级,女孩每秒可走2级梯级,结

果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒,女孩走了300秒。问:该扶梯共有多少级梯级?

【解析】 本题与牛吃草问题类似,其中扶梯的梯级总数相当于原有草量;而自动扶梯运行的速度则相当于草的增

长速度。并且上楼的速度要分成两部分︰一部分是孩子自己的速度,另一部分是自动扶梯的速度。

自动扶梯的速度?(女孩每秒走的梯级×女孩走的时间-男孩每秒走的梯级×男孩走的时间)÷(女孩走的时间-男孩走的时间)?(2?300?3?100)?(300?100)?1.5,自动扶梯的梯级总数=女孩每秒走的梯级×女孩走的时间-自动扶梯的速度×女孩走的时间

?2?300?1.5?300?600?450?150(级)所以自动扶梯共有150级的梯级。

【例 12】 小明从甲地步行去乙地,出发一段时间后,小亮有事去追赶他,若骑自行车,每小时行15千米,3

小时可以追上;若骑摩托车,每小时行35千米,1小时可以追上;若开汽车,每小时行45千米, 分钟能追上。

【解析】 本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合.小明在3?1?2小时内走了15?3?35?1?10千米,

那么小明的速度为10?2?5(千米/时),追及距离为?15?5??3?30(千米).汽车去追的话需要:30??45?5??3(小时)?45(分钟). 4

【例 13】 快、中、慢三车同时从A地出发沿同一公路开往B地,途中有骑车人也在同方向行进,这三辆车分别

用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人.已知快车每分钟行800米,慢车每分钟行600米,中速车的速度是多少?

【解析】 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量,骑车人的速度看成草生长的速度,所以骑车人速

度是:(600?14?800?7)?(14?7)?400(米/分),开始相差的路程为:(600?400)?14?2800(米),所以中速车速度为:2800?8?400?750(米/分).

【巩固】 有固定速度行驶的甲车和乙车,如果甲车以现在速度的2倍追赶乙车,5小时后甲车追上乙车;如果

甲车以现在速度的3倍追赶乙车,3小时后甲车追上乙车,那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车,问:几个小时后甲车追上乙车?

【解析】 分析知道甲车相当于“牛”,甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”,乙车相当于“新生长的草”.

设甲车的速度为“1”,那么乙车5?3?2小时走的路程为2?5?3?3?1,所以乙的速度为1?2?0.5,追及路程为:?2?0.5??5?7.5.

如果甲以现在的速度追赶乙,追上的时间为:7.5??1?0.5??15(小时).

【例 14】 甲、乙、丙三车同时从A地出发到B地去.甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米.有

一辆卡车同时从B地迎面开来,分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇,求丙车的速度.

【解析】 相遇问题可以看成是草匀速减少的过程,全程看成是原有草量,卡车速度看成是草匀速减少的速度。所

以卡车速度为:(60?6?48?7)?(7?6)?24(千米/时),全程:(60?24)?6?504(千米),丙车速度为:504?8?24?39(千米/时)

【巩固】 小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去.小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟

16米.在他们出发的同时,风间从公园迎面走来,分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇,求妮妮的速度.

【解析】 当小新和风间相遇时,正南落后小新6??20?16??24(米),依题意知正南和风间走这24 米需要

7?6?1(分钟),正南和风间的速度和为:24?1?24(米/分),风间的速度为:24?16?8(米/分),学校到公园的距离为:24?7?168(米).所以妮妮的速度为:168?8?8?13(米/分).

【例 15】 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀,如果同时打开进水阀及一个排水阀,则弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 5

30分钟能把水池的水排完,如果同时打开进水阀及两个排水阀,则10分钟把水池的水排完.问:关

闭进水阀并且同时打开三个排水阀,需要多少分钟才能排完水池的水?

【解析】 设一个排水阀1分钟排水量为“1”,那么进水阀1分钟进水量为?1?30?2?10???30?10??0.5,水池

原有水量为?1?0.5??30?15.关闭进水阀并且同时打开三个排水阀,需要15?3?5(分钟)才能排完水池的水.

【巩固】 一个蓄水池有1个进水口和15个出水口,水从进水口匀速流入.当池中有一半的水时,如果打开9

个出水口,9小时可以把水排空.如果打开7个出水口,18小时可以把水排空.如果是一满池水,打开全部出水口放水,那么经过 时 分水池刚好被排空.

【解析】 本题是牛吃草问题的变形.

设每个出水口每小时的出水量为1,则进水口每小时的进水量为:(7?18?9?9)?(18?9)?5,半池水的量为:(9?5)?9?36,所以一池水的量为72.

如果打开全部15个出水口,排空水池所需要的时间为72?(15?5)?7.2小时,即7小时12分钟.

【例 16】 北京密云水库建有10个泄洪洞,现在水库的水位已经超过安全线,并且水量还在以一个不变的速度增

加,为了防洪,需要调节泄洪的速度,假设每个闸门泄洪的速度相同,经测算,若打开一个泄洪闸,30个小时以后水位降至安全线;若同时打开两个泄洪闸,10个小时后水位降至安全线.根据抗洪形

势,需要用2个小时使水位降至安全线以下,则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个?

【解析】 此题是牛吃草问题的变形,假设每个泄洪洞每小时泄洪的量为1,则水库每小时增加的水量为

(1?30?2?10)?(30?10)?0.5,原有的水量超过安全线的部分有(1?0.5)?30?15.

如果要用2个小时使水位降至安全线以下,至少需要开15?2?0.5?8个泄洪闸.

【巩固】 (2008年“希望杯”五年级二试)有一个蓄水池装了9根相同的水管,其中一根是进水管,其余8根是

出水管.开始时,进水管以均匀的速度不停地向蓄水池注水.后来,想打开出水管,使池内的水全部排光.如果同时打开8根出水管,则3小时可排尽池内的水;如果仅打开5根出水管,则需6小时才能排尽池内的水.若要在4.5小时内排尽池内的水,那么应当同时打开多少根出水管?

【解析】 设1根出水管1小时排水的量为“1”,那么进水管每小时进水量为?5?6?8?3???6?3??2,池内原有

水量为?8?2??3?18.要在4.5小时内排尽池内的水,应当同时打开18?4.5?2?6根出水管.

【巩固】 由于环境恶化、气候变暖,官厅水库的水在匀速减少,为了保证水库的水量,政府决定从上游的壶流

河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水,已知这两个水库的每个闸门放水量是相同的,如果同时打开壶流河水库的5个闸门30小时可以使官厅水库水量达到原来的标准,如果同时打开册田水库的4个闸门40小时可以使官厅水库水量达到原来的标准,如果24小时使官厅水库水量达到原来的标准,问需同时打开两个水库的几个闸门?

【解析】 设1个闸门1小时的放水量为“1”,那么每小时自然减少的水量为:?40?4?30?5???40?30??1,实

际注入水量为:?5?1??30?120;24小时蓄水需要打开的闸门数是:120?24?1?6(个).

【例 17】 甲、乙、丙三个仓库,各存放着数量相同的面粉,甲仓库用一台皮带输送机和12个工人,5小时可将

甲仓库内面粉搬完;乙仓库用一台皮带输送机和28个工人,3小时可将仓库内面粉搬完;丙仓库现有2台皮带输送机,如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完,同时还要多少个工人?(每个工人每小时工效相同,每台皮带输送机每小时工效也相同,另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉)

【解析】 设1人1小时搬运的份数为“1”,那么一台皮带运输机1小时的工作量为

?28?3?12?5???5?3??12,每个仓库存放的面粉总量为:?12?12??5?120.那么,丙仓库现有2台皮带输送机,如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完,需要120?2?12?2?36(人).

【例 18】 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有1米,小方用3

次恰好把桶装满;第二个桶距水缸有2米,小方用4次恰好把桶装满。第三个桶距水缸有3米,那么小方要多少次才能把它装满(假设小方走路的速度不变,水从杯中流出的速度也不变)

【解析】 小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水,同时多走了2?4?1?3?5米路,所以从杯中流出的速度是

,于是1桶水原有水量等于3?3?0.2?2.4杯水,所以小方要2.4?(1?3?0.2)?6次1?5?0.2(杯/米)

才能把第三个桶装满。

【例 19】 某建筑工地开工前运进一批砖,开工后每天运进相同数量的砖,如果派250个工人砌砖墙,6天可以

把砖用完,如果派160个工人,10天可以把砖用完,现在派120名工人砌了10天后,又增加5名工弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 6

人一起砌,还需要再砌几天可以把砖用完?

【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”,开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”,工人砌砖相当于

“牛在吃草”.所以设1名工人1天砌砖数量为“1”,那么每天运来的砖为?160?10?250?6???10?6??25,原有砖的数量为:?250?25??6?1350.

如果120名工人砌10天,将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖,还剩1350?950?400的原有的砖未用,变成120?5?125人来砌砖,还需要:400??125?25??4(天).

【例 20】 某建筑工地开工前运进一批砖,开工后每天运进相同数量的砖,如果派15个工人砌砖墙,14天可以

把砖用完,如果派20个工人,9天可以把砖用完,现在派若干名工人砌了6天后,调走6名工人,其余工人又工作4天才砌完,问原来有多少工人来砌墙?

【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”,开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”,工人砌砖相当于

“牛在吃草”.所以设1名工人1天砌砖数量为“1”,那么每天运来的砖为?15?14?20?9???14?9??6,原有砖的数量为:?15?6??14?126.

现在派若干名工人砌了6天后,调走6名工人,其余工人又工作4天才砌完,如果不调走6名工人,那么这些工人共砌10天可砌完126?6?10?6?4?210,所以原有工人210?10?21名.

课后练习:

练习1. 仓库里原有一批存货,以后继续运货进仓,且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓,如果每

天用4辆汽车,则9天恰好运完;如果每天用5辆汽车,则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完?

弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 7

【解析】 设1辆汽车1天运货为“1”,进货速度为(9?4?5?6)?(9?6)?2,原有存货为(4?2)?9?18,仓库里

原有的存货若用1辆汽车运则需要18?1?18(天)

练习2. 一片茂盛的草地,每天的生长速度相同,现在这片青草16头牛可吃15天,或者可供100只羊吃6天,

而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量,那么8头牛与48只羊一起吃,可以吃多少天?

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析

16头牛 15天 16×15=240:原有草量+15天生长的草量

100只羊(25头牛) 6天 25×6=150: 原有草量+6天生长的草量

从上易发现:1天生长的草量=10;那么原有草量:150-10×6=90;

8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量,其中10头牛去吃新生草,那么剩下的10头牛吃原有草,90只需9天,所以8头牛与48只羊一起吃,可以吃9天。

练习3. (2008年“陈省身杯”国际青少年五年级数学邀请赛)有一个水池,池底存了一些水,并且还有泉水

不断涌出。为了将水池里的水抽干,原计划调来8台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑,实际调来了9台抽水机,这样比原计划节省了8小时。工程师们测算出,如果最初调来10台抽水机,将会比原计划节省12小时。这样,将水池的水抽干后,为了保持池中始终没有水,还应该至少留下 台抽水机。

【解析】 设每台抽水机每小时抽1个单位的水,原计划需要t小时抽完

则原计划8个小时抽的水量为8t,

9台抽水机时抽水量为9(t?8)

10台抽水机时抽水量为10(t?12)

所以,8个小时的出水量为8t?9(t?8)?72?t,

12个小时的出水量为8t?10(t?12)?120?2t,

而泉水的出水速度是一定的,所以120?2t?1.5?(72?t),解得t?24,

所以每小时出水量为(72?24)?8?6,所以需要留下6台抽水机。

练习4. 一水库原有存水量一定,河水每天匀速入库。5台抽水机连续20天抽干,6台同样的抽水机连续15天

可抽干,若要6天抽干,要多少台同样的抽水机?

【解析】 设1台抽水机1天的抽水量为“1”则进水速度为(20?5?15?6)?(20?15)?2,原有水量为

20?5?20?2?60,若要6天抽干,要60?6?2?12台同样的抽水机

练习5. 某建筑工地开工前运进一批砖,开工后每天运进相同数量的砖,如果派250个工人砌砖墙,6天可以把

砖用完,如果派160个工人,10天可以把砖用完,现在派120名工人砌了10天后,又增加5名工人一起砌,还需要再砌几天可以把砖用完?

【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”,开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”,工人砌砖相当于

“牛在吃草”.所以设1名工人1天砌砖数量为“1”,那么每天运来的砖为?160?10?250?6???10?6??25,原有砖的数量为:?250?25??6?1350.

如果120名工人砌10天,将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖,还剩1350?950?400的原有的砖未用,变成120?5?125人来砌砖,还需要:400??125?25??4(天).

月测备选

【备选1】一水库原有存水量一定,河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干;6台同样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干,需要多少台同样的抽水机?

【解析】 水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天?20?5?100(台).

水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天?6?15?90(台).

每天流入的水可供多少台抽水机抽1天?

(100?90)?(20?15)?2(台).

原有的水可供多少台抽水机抽1天?

100?20?2?60(台).

若6天抽完,共需抽水机多少台?

60?6?2?12(台).

弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 8

【备选2】早晨6点,某火车进口处已有945名旅客等候检票进站,此时,每分钟还有若干人前来进口处准备进站.这样,如果设立4个检票口,15分钟可以放完旅客,如果设立8个检票口,7分钟可以放完旅客.现要求5分钟放完,需设立几个检票口?

【解析】 设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客.

①1分钟新来多少个单位的旅客

1(4?15?8?7)?(15?7)? 2

②检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候,

11 4×15-×15=52 22

③5分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客 1152+×5=55 22

④设立几个检票口

55?5?11(个)

【备选3】自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢,于是在行驶的扶梯上,男孩每秒向上走1梯级,女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上,女孩用60秒到达楼上。该楼梯共有多少级?

【解析】 该题属于草匀速减少的情况,扶梯的运行速度:(50?1?60?3?2)?(60?50)?1。自动扶梯的梯级总数:

50?(1?1)?100(级)

【备选4】一个蓄水池装有9根水管,其中1根为进水管,其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后,有人想把出水管也打开,使池内的水再全部排光。如果把8根出水管全部打开,需要3小时可将池内的水排光;而若仅打开3根出水管,则需要18小时。问如果想要在8小时内将池中的水全部排光,最少要打开几根出水管?

【解析】 设1根排水管1小时排水为“1”,进水速度为(3?18?8?3)?(18?3)?2,原有水量为(8?2)?3?18,如

果想要在8小时内将池中的水全部排光,最少要打开18?8?2?4.25根出水管,每根出水管1小时排水1份,又出水管的根数是整数,故最少要打开5根出水管。

【备选5】食品厂开工前运进一批面粉,开工后每天运进相同数量的面粉,如果派5个工人加工食品30天可以把面粉用完,如果派4个工人,40天可以把面粉用完,现在派4名工人加工了30天后,又增加了2名工人一起干,还需要几天加工完?

【分析】 开工前运进的面粉相当于“原有草量”,开工后每天运进相同的面粉相当于“新生长的草”,工人加工食

品相当于“牛在吃草”.

设1名工人1天用掉面粉的量为“1”,那么每天运来的面粉量为?4?40?5?30???40?30??1,原有面粉量为:?5?1??30?120.如果4名工人干30天,那么将会加工掉30天新运来的面粉量以及90原有的面粉量,原有还剩120?90?30未加工,而后变成6名工人,还需要30??6?1??6(天)可以加工完.

弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 9

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