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五年级培优 竞赛 二合一 精讲系列之9 余数(例题 练习 课后作业一条龙)

发布时间:2013-10-05 11:27:03  

第十讲:数论之余数问题

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富,题目难度较大的知识体系,也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点,所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题,并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了!”

余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理(加法余数定理,乘法余数定理,和同余定理),及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨:

一、带余除法的定义及性质:

一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),若有a÷b=q??r,也就是a=b×q+r,

0?r<b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里:

(1)当r?0时:我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商

(2)当r?0时:我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商

一个完美的带余除法讲解模型:

如图,这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要

求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆,

那么这个c就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可

以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理:

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。

例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等

于4,即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如:23,19除以5的余数分别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。

例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:a≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式。

弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 1

同余式读作:a同余于b,模m。由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论:

若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除

用式子表示为:如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a-b=mk,k是整数,即m|(a-b)

三、弃九法原理:

在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的:

例如:检验算式1234?1898?18922?678967?178902?889923

1234除以9的余数为1

1898除以9的余数为8

18922除以9的余数为4

678967除以9的余数为7

178902除以9的余数为0

这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九法”。

所以我们总结出弃九发原理:任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可。 利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用 注意:弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确。

例如:检验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的

但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

四、中国剩余定理:

1.中国古代趣题:

中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题:“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?”答曰:“二十三。”

此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 2

人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人??。刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题:假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少?

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注:因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积),然后再加3,得9948(人)。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理。中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

2.核心思想和方法:

对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法,下面我们就以《孙子算经》中的问题为例,分析此方法:

今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?

题目中我们可以知道,一个自然数分别除以3,5,7后,得到三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构造一个数字,使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数。

先由5?7?35,即5和7的最小公倍数出发,先看35除以3余2,不符合要求,那么就继续看5和7的“下一个”倍数35?2?70是否可以,很显然70除以3余1

类似的,我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字,显然21可以符合要求。

最后再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字,45符合要求,那么所求的自然数可以这样计算: 2?70?3?21?2?45?k[3,5,7]?233?k[3,5,7],其中k是从1开始的自然数。

也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果根据实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所求的数。 例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”,

那么我们可以计算2?70?3?21?2?45?2?[3,5,7]?23得到所求

如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,

我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可,即23+105=128。

例题精讲:

【模块一:带余除法的定义和性质】

【例 1】 (第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a去除1992,得到商是46,余数是r,求a和r.

【解析】 因为1992是a的46倍还多r,得到1992?46?43......14,得1992?46?43?14,所以a?43,r?14.

【巩固】 (清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数.

【解析】 (法1)因为 甲?乙?11?32,所以 甲?乙?乙?11?32?乙?乙?12?32?1088;

则乙?(1088?32)?12?88 ,甲?1088?乙?1000.

弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 3

(法2)将余数先去掉变成整除性问题,利用倍数关系来做:从1088中减掉32以后,1056就应当是乙数的(11?1)倍,所以得到乙数?1056?12?88,甲数?1088?88?1000.

【巩固】 一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。

【解析】 本题为余数问题的基础题型,需要学生明白一个重要知识点,就是把余数问题---即“不整除问题”转

化为整除问题。方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数;或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”,也可以得到一个除数的倍数。

本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数,而273=3×7×13,所求的两位数约数还要满足比37大,符合条件的有39,91.

【例 2】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除,商是17,余数是13,已知被除数、除数、

商与余数之和为2113,则被除数是多少?

【解析】 被除数?除数?商?余数?被除数?除数+17+13=2113,所以被除数?除数=2083,由于被除数是除数的

17倍还多13,则由“和倍问题”可得:除数=(2083-13)÷(17+1)=115,所以被除数=2083-115=1968.

【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2

个自然数各是多少?

【解析】 本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y,可以得到

?x?40y?16?x?856,解方程组得,即这两个自然数分别是856,21. ??x?y?40?16?933y?21??

【例 3】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001,它们分别除以19,23,31

所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是_______,_______,_______。

【解析】 设所得的商为a,除数为b.(19a?b)?(23a?b)?(31a?b)?2001,73a?3b?2001,由b?19,可求

得a?27,b?10.所以,这三个数分别是19a?b?523,23a?b?631,31a?b?847。

【巩固】 (2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数,除以11时所得到的商和余数是相等的,

除以9时所得到的商是余数的3倍,这个自然数是_________.

【解析】 设这个自然数除以11余a(0?a?11),除以9余b(0?b?9),则有11a?a?9?3b?b,即3a?7b,只

有a?7,b?3,所以这个自然数为12?7?84。

【例 4】 (1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5人.如

果把书全部分给第一组,那么每人4本,有剩余;每人5本,书不够.如果把书全分给第二组,那么

每人3本,有剩余;每人4本,书不够.问:第二组有多少人?

【解析】 由48?4?12,48?5?9.6知,一组是10或11人.同理可知48?3?16,48?4?12知,二组是13、

14或15人,因为二组比一组多5人,所以二组只能是15人,一组10人.

【巩固】 一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数.

弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 4

【解析】 因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数一定大于13?6?78,并且小于13?(6?1)?91;又

因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数为78?5?83.

【模块二:三大余数定理的应用】

【例 5】 有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.

【解析】 这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据同余定

理,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101?45?56,59?45?14,(56,14)?14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14。

【巩固】 有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.

【解析】 (法1) 39?3?36,147?3?144,(36,144)?12,12的约数是1,2,3,4,6,12,因为余数为3要小于除数,

这个数是4,6,12;

(法2)由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.51?39?12,147?39?108,(12,108)?12,所以这个数是4,6,12.

【例 6】 两位自然数ab与ba除以7都余1,并且a?b,求ab?ba.

【解析】 能被7整除.所以只能有a?b?7,那么ab可ab?ba能被7整除,即(10a?b)?(10b?a)?9?(a?b)

能为92和81,验算可得当ab?92时,ba?29 满足题目要求,ab?ba?92?29?2668

【巩固】 学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么

这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班?

【解析】 所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118?67?51和67?33?34

的公约数,所求答案为17.

【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是

_________.

【解析】 因为13903?13511?392, 14589?13903?686,

由于13511,13903,14589要被同一个数除时,余数相同,那么,它们两两之差必能被同一个数整除.(392,686)?98,所以所求的最大整数是98.

【例 7】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 22003与20032的和除以7的余数是________.

【解析】 找规律.用7除2,22,23,24,25,26,?的余数分别是2,4,1,2,4,1,2,4,1,?,2的个

数是3的倍数时,用7除的余数为1;2的个数是3的倍数多1时,用7除的余数为2;2的个数是3弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 5

的倍数多2时,用7除的余数为4.因为22003?23?667?2,所以22003除以7余4.又两个数的积除以7的

余数,与两个数分别除以7所得余数的积相同.而2003除以7余1,所以20032除以7余1.故22003与

20032的和除以7的余数是4?1?5.

【巩固】 (2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995,1998,2000,2001,2003中,若其中几个数的和被

9除余7,则将这几个数归为一组.这样的数组共有______组.

【解析】 1995,1998,2000,2001,2003除以9的余数依次是6,0,2,3,5.

因为2?5?2?5?0?7,2?5?3?6?0?2?5?3?6?7?9,

所以这样的数组共有下面4个:?2000,2003?,?1998,2000,2003? ,

?2000,2003,2001,1995? ,?1998,2000,2003,2001,1995?.

【例 8】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数,用它去除70,110,160所得到的3个余数之和是

50,那么这个整数是______.

【解析】 (70?110?160)?50?290,50?3?16......2,除数应当是290的大于17小于70的约数,只可能是29

和58,110?58?1......52,52?50,所以除数不是58.

70?29?2......12,110?29?3......23,160?29?5......15,12?23?15?50,所以除数是29

【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为

25,那么n=________

【解析】 n能整除63?91?129?25?258.因为25?3?8...1,所以n是258大于8的约数.显然,n不

能大于63.符合条件的只有43.

【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被

3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?

【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101,126,173,193除以3的余数分别为2,0,2,1。那

么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2,0,2,1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最

多的。

【例 9】 (2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、

37元钱,一起到新华书店购买《成语大词典》.一看定价才发现有5个人带的钱不够,但是其中甲、

乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本,丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本.这种《成语大词典》

的定价是________元.

【解析】 六名小学生共带钱133元.133除以3余1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本,所以他们五

人带的钱数是3的倍数,另一人带的钱除以3余1.易知,这个钱数只能是37元,所以每本《成语大

弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 6

词典》的定价是(14?17?18?21?26)?3?32 (元) .

【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物,分别重15,16,18,19,20,31千克,两个

顾客买走了其中的五箱.已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,那么商店剩下的一箱货物重量是________千克.

【解析】 两个顾客买的货物重量是3的倍数.

(15?16?18?19?20?31)?(1?2)?119?3?39...2,剩下的一箱货物重量除以3应当余2,只能是20 千克.

【例 10】 求2461?135?6047?11的余数.

【解析】 因为2461?11?223...8,135?11?12...3,6047?11?549...8,根据同余定理(三),

2461?135?6047?11的余数等于8?3?8?11的余数,而8?3?8?192,

192?11?17...5,所以2461?135?6047?11的余数为5.

【巩固】 (华罗庚金杯赛模拟试题)求478?296?351除以17的余数.

【解析】 先求出乘积再求余数,计算量较大.可先分别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除

以17的余数.478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,(2?7?11)?17?9......1.

【巩固】 求31997的最后两位数.

【解析】 即考虑31997除以100的余数.由于100?4?25,由于33?27除以25余2,所以39除以25余8,

310除以25余24,那么320除以25余1;又因为32除以4余1,则320除以4余1;即320?1能被4 和25整除,而4与25互质,所以320?1能被100整除,即320除以100余1,由于

1997?20?99?17,所以31997除以100的余数即等于317除以100的余数,而36?729除以100余29,35?243除以100余43,317?(36)2?35,所以317除以100的余数等于29?29?43除以100的余数,而29?29?43?36163除以100余63,所以31997除以100余63,即31997的最后两位数为63.

【巩固】 222?2除以13所得余数是_____. ?????

2000个"2"

【解析】 我们发现222222整除13,2000÷6余2,所以答案为22÷13余9。

【巩固】 求14389除以7的余数.

【解析】 法一:

由于143?3?mod7? (143被7除余3),

所以14389?389?mod7? (14389被7除所得余数与389被7除所得余数相等)

弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 7

而36?729,729?1?mod7?(729除以7的余数为1),

66 所以389?3?3????36?35?35?5?mod7?. ??????

14个

故14389除以7的余数为5.

法二:

计算389被7除所得的余数可以用找规律的方法,规律如下表:

于是余数以6为周期变化.所以389?35?5?mod7?.

【巩固】 (2007年实验中学考题)12?22?32???20012?2002除以7的余数是多少?

【解析】 由于12?22?32???20012?20022?2002?2003?4005而1001是7的倍数,所以?1001?2003?1335,6

这个乘积也是7的倍数,故12?22?32???20012?20022除以7的余数是0;

【巩固】 ?3130?3031?被13除所得的余数是多少?

【解析】 31被13除所得的余数为5,当n取1,2,3,?时5n被13除所得余数分别是5,12,8,1,5,12,8,

1?以4为周期循环出现,所以530被13除的余数与52被13除的余数相同,余12,则3130除以13的余数为12;

30被13除所得的余数是4,当n取1,2,3,?时,4n被13除所得的余数分别是4,3,12,9,10,1,4,3,12,9,10,??以6为周期循环出现,所以431被13除所得的余数等于41被13除所得的余数,即4,故3031除以13的余数为4;

所以?3130?3031?被13除所得的余数是12?4?13?3.

【巩固】 (2008年奥数网杯)已知a?20082008?2008?????????,问:a除以13所得的余数是多少?

2008个2008

【解析】 2008除以13余6,10000除以13余3,注意到20082008?2008?10000?2008;

200820082008?20082008?10000?2008;

2008200820082008?200820082008?10000?2008;

??

根据这样的递推规律求出余数的变化规律:

20082008除以13余6?3?6?13?11,200820082008除以13余11?3?6?39?0,即200820082008是13的倍数.

弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 8

而2008除以3余1,所以a?20082008?2008?????????除以13的余数与2008除以13的余数相同,为6.

2008个2008

【巩固】 777????77除以41的余数是多少? ????

1996个7

【解析】 找规律:7?41?□???7,77?41?□???36,777?41?□???39,7777?41?□???28,

77777?41?□???0,??,所以77777是41的倍数,而1996?5?399?1,所以777????77可以分成399????

1996个7

段77777和1个7组成,那么它除以41的余数为7.

【巩固】 11?22?33?44????20052005除以10所得的余数为多少?

【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字.从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的,而对一

个数的幂方的个位数,我们知道它总是4个一循环的,因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组,则不同组中对应的个位数字应该是一样的.

首先计算11?22?33?44????2020的个位数字,

为1?4?7?6?5?6?3?6?9?0?1?6?3?6?5?6?7?4?9?0?94的个位数字,为4,

由于2005个加数共可分成100组另5个数,100组的个位数字和是4?100?400的个位数即0,另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005,它们和的个位数字是1?4?7?6?5?23的个位数 3,所以原式的个位数字是3,即除以10的余数是3.

【模块三:余数综合应用】

【例 11】 著名的裴波那契数列是这样的:1、1、2、3、5、8、13、21??这串数列当中第2008个数除以3所

得的余数为多少?

【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和,由此可以根据余数定理将

裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列:

1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0??

第九项和第十项连续两个是1,与第一项和第二项的值相同且位置连续,所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现,由于2008除以8的余数为0,所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数,为0.

【巩固】 (2009年走美初赛六年级)有一串数:1,1,2,3,5,8,??,从第三个数起,每个数都是前两个

数之和,在这串数的前2009个数中,有几个是5的倍数?

【解析】 由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数.

所以这串数除以5的余数分别为:1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2,3,0,??可以发现这串余数中,每20个数为一个循环,且一个循环中,每5个数中第五个弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 9

数是5的倍数.由于2009?5?401?4,所以前2009个数中,有401个是5的倍数.

【例 12】 (圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数,并且求出了它分别除以3、6和9的余数.现知

这三余数的和是15.试求该数除以18的余数.

【解析】 除以3、6和9的余数分别不超过2,5,8,所以这三个余数的和永远不超过2?5?8?15,

既然它们的和等于15,所以这三个余数分别就是2,5,8.所以该数加1后能被3,6,9整除,而[3,6,9]?18,设该数为a,则a?18m?1,即a?18(m?1)?,所以它除以18的余数只能为17. 17(m为非零自然数)

【巩固】 (2005年香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭,有父、母、兄、妹四人,他们任意三人的岁数

之和都是3的整数倍,每人的岁数都是一个质数,四人岁数之和是100,父亲岁数最大,问:母亲是多少岁?

【解析】 从任意三人岁数之和是3的倍数,100除以3余1,就知四个岁数都是3k?1型的数,又是质数.只有7,

13,19,31,37,43,就容易看出:父43岁,母37岁,兄13岁,妹7岁.

课后练习

弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 10

练习1. (2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除,商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和等

于415,则被除数是_______.

练习2. 已知2008被一些自然数去除,所得的余数都是10,那么这样的自然数共有多少个?

练习3. (全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数,

甲取3张,乙取2张,丙取1张,结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍,则丙手中卡片上的数是________.(第五届小数报数学竞赛初赛)

练习4. 求6443?19的余数

练习5. 已知60,154,200被某自然数除所得的余数分别是a?1,a2,a3?1,求该自然数的值.

练习6. (香港圣公会小学数学奥林匹克试题)有三所学校,高中A校比B校多10人,B校比C校多

10人.三校共有高中生2196人.有一所学校初中人数是高中人数的2倍;有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍;还有一所学校高中、初中人数相等.三所学校总人数是5480人,那么A校总人数是________人.

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考题备选

弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 11

【备选1】1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位数.

【备选2】有一个自然数,除345和543所得的余数相同,且商相差33.求这个数是多少?

【备选3】 (2001年全国小学数学奥林匹克试题)若2836,4582,5164,6522四个自然数都被同一个自然数

相除,所得余数相同且为两位数,除数和余数的和为_______.

【备选4】2

【备选5】一个自然数被7,8,9除的余数分别是1,2,3,并且三个商数的和是570,求这个自然数.

2008?20082除以7的余数是多少?

弃侥幸之念,必取百炼成钢;积分秒之功,始得一鸣惊人 12

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