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第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试

发布时间:2013-10-06 10:03:22  

第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试

一、选择题:

99819989991999

, -, -, -这四个数从小到大的排列顺序是( )

999199910002000

1998999998998999199819991999

(A)-<-<-<- (B)-<-<-<-

199910009999991000199920002000

1.-

9991998999998998199819991999<-<-<- (D)-<-<-<-

100019991000999999199920002000

2.一个三角形的三条边长分别是a, b, c(a, b, c都是质数),且a+b+c=16,则这个三角形的形状是( )

(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)直角三角形或等腰三角形

(C)-

3.已知25x=2000, 80y=2000,则

11

?等于( ) xy

31

(D) 22b?cc?aa?b

??4.设a+b+c=0, abc>0,则的值是( ) |a||b||c|

(A)2 (B)1 (C)

(A)-3 (B)1 (C)3或-1 (D)-3或1

5.设实数a、b、c满足a<b<c (ac<0),且|c|<|b|<|a|,则|x-a|+|x-b|+|x+c|的最小值是( )

|a?b?c|

(B)|b| (C)c-a (D)―c―a 3

6.若一个等腰三角形的三条边长均为整数,且周长为10,则底边的长为( ) (A)一切偶数 (B)2或4或6或8 (C)2或4或6 (D)2或4 7.三元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( )

(A)20001999个 (B)19992000个 (C)2001000个 (D)2001999个 8.如图1,梯形ABCD中,AB//CD,且CD=3AB,EF//CD,EF将梯形 EABCD分成面积相等的两部分,则AE :ED等于( )。

5?1?13D (A)2 (B) (C) (D) 222

9.如图2,一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个 A顶点与正方形的顶点B重合,另两个顶点分别在正方形的两条边AD、 DC上,那么这个正方形的面积是( )。

1621522

(A)cm (B)cm2

1516

F2

17216

(C)cm2 (D)cm2

1617D

(A)

ABFC

?1í

B

3E

?2í

C

10.已知p+q+r=9,且

px2?yz

?

qy2?zx

?

px?qy?rzr

, 则等于 2

x?y?zz?xy

(A)9 (B)10 (C)8 (D)7 二、填空题:

11.化简:

23?66?42

3?2

12.已知多项式2x2+3xy-2y2-x+8y-6可以分解为(x+2y+m)(2x-y+n)的形式,那

m3?1

么2的值是 。 n?1

13.△ABC中,AB>AC,AD、AE分别是BC边上的中线和∠A的平分线,则AD和AE的大小关系是AD AE。(填“>”、“<”或“=”)

14.如图3,锐角△ABC中,AD和CE分别是BC和AB边上的高, 若AD与CE所夹的锐角是58°,则∠BAC+∠BCA的大小是 。

15.设a2-b2=1+2, b2-c2=1-2,则a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2

B58DC

图3

A

的值等于 。

16.已知x为实数,且x2+

113

=3,则x+的值是 。 x2x3

n2?3n?10

17.已知n为正整数,若2是一个既约分数,那么这个分数的值等于 A

n?6n?16

E

18.如图4,在△ABC中,AC=2,BC=4,∠ACB=60°,将△ABC 折叠,使点B和点C重合,折痕为DE,则△AEC的面积是 。

19.已知非负实数a、b、c满足条件:3a+2b+c=4, 2a+b+3c=5, 设S=5a+4b+7c的最大值为m,最小值为n,则n-m等于 。

20.设a、b、c、d为正整数,且a7=b6, c3=d2, c-a=17,则d-b等于。 三.解答题:

21.已知实数a、b满足条件|a-b|=示成只含有字母a的形式。

22.如图5,正方形ABCD中,AB=3,点E、F分别在BC、CD上, 且∠BAE=30°,∠DAF=15°,求△AEF的面积。

B

D图4

C

b11

<1,化简代数式(-)(a?b?1)2,将结果表aab

ADF

B

E

图5

C

23.将编号为1,2,3,4,5的五个小球放入编号为1,2,3,4,5 的五个盒子中,每个盒子只放入一个,

① 一共有多少种不同的放法?

② 若编号为1的球恰好放在了1号盒子中,共有多少种不同的放法?

③ 若至少有一个球放入了同号的盒子中(即对号放入),共有多少种不同的放法?

参考答案

二.填空题:

21.∵|a-b|=

b

<1, a

∴ a、b同号,且a≠0, b≠0, ∴ a-b-1=(a-b)-1<0,

1111b?a∴(-)(a?b?1)2=(-)[1-(a-b)]=[1?(a?b)].

ababab

b

① 若a、b同为正数,由<1,得a>b,

a

b2a2

∴ a-b=, a-ab=b, 解得b=,

a?1a

b?

11bb?a∴(-)(a?b?1)2=[1?(a?b)]=(1-)

abaabab

1ba?b

=-22=-4

aaa

=-

1

. 2

a(a?1)

② 若a、b同为负数,由

b

<1,得b>a, a

b2a2

∴ a-b=-, a-ab=-b, 解得b=,

a?1a

b

11bb?a∴(-)(a?b?1)2=[1?(a?b)]=a(1+)

abaababa2

a?

a?ba?1 =3=aa3

=

2a?1

. 2

a(a?1)

综上所述,当a、b同为正数时,原式的结果为-1;当a、b同为负数时,2a(a?1)

原式的结果为2a?1 a2(a?1)

22.将△ADF绕A点顺时针方向旋转90°到△ABG的位置,

∴ AG=AF,∠GAB=∠FAD=15°,

∠GAE=15°+30°=45°,

∠EAF=90°-(30°+15°) =45°,

∴∠GAE=∠FAE,又AE=AE,

∴△AEF≌△AEG, ∴EF=EG, A∠AEF=∠AEG=60°,

在Rt△ABE中,AB=3,∠BAE=30°,

∴∠AEB=60°,BE=1,

在Rt△EFC中,∠FEC=180°-(60°+60°)=60°,

EC=BC-BE=3-1,EF=2(3-1),

∴EG=2(3-1),S△AEG=

∴S△AEF=S△AEG=3-3.

23.① 将第一个球先放入,有5种不同的的方法,再放第二个球,这时以4种不同的放法,依此类推,放入第三、四、五个球,分别有3、2、1种放法,所以总共有534333231=120种不同的放法。

② 将1号球放在1号盒子中,其余的四个球随意放,它们依次有4、3、2、1种不同的放法,这样共有4333231=24种不同的放法。

③ (解法一)

在这120种放法中,排除掉全部不对号的放法,剩下的就是至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数。

为研究全部不对号的放法种数的计算法,设A1为只有一个球放入一个盒子,且不对号的放法种数,显然A1=0,A2为只有二个球放入二个盒子,且不对号的放法种数,∴ A2=1,A3为只有三个球放入三个盒子,且都不对号的放法种数,A3=2,??,A n为有n个球放入n个盒子,且都不对号的放法种数。

下面我们研究A n+1的计算方法,考虑它与A n及A n-1的关系,

如果现在有 n个球已经按全部不对号的方法放好,种数为A n。取其中的任意一种,将第n+1个球和第n+1个盒子拿来,将前面n个盒子中的任一盒子(如第m个盒子)中的球(肯定不是编号为m的球)放入第n+1个盒子,将第n+1个球放入刚才空出来的盒子,这样的放法都是合理的。共有n A n种不同的放法。

但是,在刚才的操作中,忽略了编号为m的球放入第n+1个盒子中的情况,即还有这样一种情况,编号为m的球放入第n+1个盒子中,且编号为n+1的球放入第m个盒子中,其余的n-1个球也都不对号。于是又有了nA n-1种情况是合理的。

综上所述得A n+1=nA n+nA n-1=n(A n+A n-1). DFGB?6íEC1EG2AB=3-3, 2

由A1=0, A2=1, 得A3=2(1+0)=2, A4=3(2+1)=9, A5=4(9+2)=44.

所以至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数为全部放法的种数减去五个球都不对号的放法种数,即120-44=76种。

(解法二)

从五个球中选定一个球,有5种选法,将它放入同号的盒子中 (如将1号球放入1号盒子),其余的四个球随意放,有24种放法,这样共有5324=120种放法。

但这些放法中有许多种放法是重复的,如将两个球放入同号的盒子中(例如1号球和2号球分别放入1号盒子、2号盒子中)的放法就计算了两次,这样从总数中应减去

2P33=120-60(种)。 两个球放入同号的盒子中的情况,得120-C5

很明显,这样的计算中,又使得将三个球放入同号的盒子中(例如1号球、2号球和3号球分别放入1号盒子、2号盒子和3号盒子中)的放法少计算了一次,于是前面

2的式子中又要加入C3

5P2=20种,

再计算四个球、五个球放入同号盒子的情况,于是再减去四个球放入同号盒子中的41P1,最后加上五个球放入同号中的情况C5情况C55。

22541P33+C3整个式子为120-C55P2-C5P1+C5=120-60+20-5+1=76(种)。

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