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常州市武进区初中数学教师解题竞赛试题及参考答案2345678-

发布时间:2013-10-06 13:03:36  

武进区初中数学教师解题竞赛试题

一、选择题(每题6分)

1、如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍,并且有一个角是30°,那么这个三角形的形状是 ( )

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能唯一确定

2、如图,正比例函数y?kx(k>0)与反比例函数y?1的图象相交于x

A、C两点,过A作x轴的垂线交x轴于B,连结BC,若△ABC的面

积为S,则 ( )

A、S=1 B、S=2

C、S=3 D、S的值不确定

3、某工厂第二季度比第一季度的产值增长了x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%。则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 ( )

A、2x% B、1+2 x% C、(1+x%)x% D、(2+x%)x%

22001?122002?14、设P=2002,Q=2003,则P与Q的大小关系是 ( ) 2?12?1

A、P>Q B、P=Q C、P<Q D、不能确定

5、边长为整数,周长等于21的等腰三角形共有 ( )

A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

6、如果x1、x2是两个不相等的实数,且满足x1?2003x1?1,x2?2003x2?1,那么x1x2等于 ( )

A、2003 B、-2003 C、1 D、-1

7、若实数x,y满足条件2x?6x?y?0,则x?y?2x的最大值是 ( )

A、14 B、15 C、16 D、不能确定

8、如图1,图中平行四边形共有的个数是 ( )

A、40 B、38 C、36 D、

30

AD222222C

B

(图1) (图2) (图3)

9、如图2,矩形ABCD被分割成六个正方形,其中最小正方形的面积等于1,则矩形ABCD的面积等于 ( )

A、152 B、143 C、132 D、

108 A

1

10、如图3,若PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB交于点D,且PB=4,PD=3, 则AD·DC等于 ( )

A、6 B、7 C、12 D、16

二、填空题(每题6分)

11、△ABC中,AB=2,AC=2,BC边上的高为3,则BC边的长为____。

12、锐角△ABC中,a=1,b=2,则c边的取值范围是____(用不等式表示)。

13、若a+2b-3c=4,5a-6b+7c=8,则9a+2b-5c=____。

14、一个游泳池的形状如下面左边第一个图所示,现在以固定的流量向游泳池内注水,那么

能够大致表示水高h与时间t的关系应是在下面右边六个图像中的___(填标号)。

15、已知锐角△ABC中,∠A=60°,BD和CE都是△ABC的高。如果△ABC的面积为12,那么

四边形BCDE的面积为____。

三、解答题(每题12分)

16、已知:不论k取什么实数,关于x的方程

x=1,试求a、b的值。

17、如图,在直角坐标系xOy中,已知A(12,0),B(0,9),C(3,0),D(0,4),Q为线段AB

上一动点,OQ与过O、C、D三点的圆交于点P。问OP·OQ的值是否变化?证明你的结论。

2kx?ax?bk??1(a、b是常数)的根总是36

2

18、请设计一种方案:把一个正方形剪两刀,使剪得的三块图形能够拼成一个三角形,并且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形。画出必要的示意图,并附以简要的文字说明。

AD

BC

19、某市为了节约用水,规定:每户每月用水量不超过最低限量am时,只付基本费8元和定额损耗费c元(c≤5);若用水量超过am时,除了付同上的基本费和损耗费外,超过部分每1m付b元的超额费。

某市一家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付费用如下表所示:

333根据上表的表格中的数据,求a、b、c。

20、在两个三角形的六对元素(三对角与三对边)中,即使有五对元素对应相等,这两个三角形也未必全等。

⑴试给出一个这样的例子,画出简图,分别标出两个三角形的边长。

⑵为了把所有这样的反例都构造出来,试探求并给出构造反例的一般规律(要求过程完整,述理严密,结论明晰)。

3

武进区初中数学教师解题竞赛试题参考答案

二、填空题

11、4或2 12、3<c5 13、24 14、⑵ 15、9 三、解答题

16、解:把x=1代入原方程并整理得(b+4)k=7-2a

?b?4?0

要使等式(b+4)k=7-2a不论k取什么实数均成立,只有?

7?2a?0?

解之得 a?

7

,b??4 2

17、解:点Q在线段AB上运动的过程中,OP·OQ的值是不变的。 证明如下:连结DC、PC ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∵

OCOD1

??,∠COD=∠BOA=Rt∠ OBOA3

△COD∽△BOA ∠1=∠A

O、C、P、D四点共圆 ∴ ∠1=∠2 ∠2=∠A

∠POC=∠AOQ ∴ △POC∽△AOQ

OCOP

∴ OP·OQ=OC·OA=36 ?

OQOA

18、解:如图,在AD边上任取一点N,使点N不是边AD的中点。分别作出线段AN、DN的中

O2,点O1、把△ABO1绕点O1旋转180°得△NMO1,再把△CDO2

绕点O2旋转180°得△MNO2。这样由△MNO1、△MNO2以及四边形O1BCO2拼成了一个△MBC,显然这个三角形既不是等腰三角形,也不是直角三角形。

就是说,只要把当初的正方形ABCD沿BO1、CO2剪两刀,则得到的三块图形就可以如图所示地拼成一个符合题意的三角形。

下面再提供几种裁剪方案(仔细揣摩吧,一些说明就省了):

BAO2

D

4

H

A

F

MBDNAABC FD FCEG

AD

E

ABBCFF

G

3 19、解:设每月用水量为xm,支付水费为y元。则

y??  ①?8?c,0?x?a     

?8?b(x?a)?c,x?a    ② 

由题意知:0<c≤5 ∴ 0<8+c≤13

从表中可知,第二、三月份的水费均大于13元,故用水量15m、22m均大于最低限量am,将x=15,x=22分别代入②式,得 333

?19?8?b(15?a)?c      ③ ??33?8?b(22?a)?c      ④

解得 b=2, 2a=c+19 ⑤

再分析一月份的用水量是否超过最低限量,不妨设9>a,将x=9代入②,得

9=8+2(9-a)+c,即2a=c+17 ⑥

⑥与⑤矛盾。

故9≤a,则一月份的付款方式应选①式,则8+c=9, ∴ c=1

代入⑤式得,a=10。

综上得 a=10,b=2,c=1。

20、解:⑴如下图,△ABC与△A?B?C?是相似的(相似比为2),但它们并不全等,显然它 5

们之中有五对元素是对应相等的。 BCB′2222C′2

⑵容易知道,要构造的两个三角形必不是等腰三角形,同时它们应是相似的。设小△ABC的三边长分别为a、b、c,且不妨设a<b<c,由小△ABC到大△A?B?C?的相似比为k,则k>1。 ∵ △A?B?C?的三边长分别为ka、kb、kc,且a<ka<kb<kc

∴ 在△ABC中,与△A?B?C?中两边对应相等的两条边只可能是b与c

∵ b<c<kc

∴ 在△A?B?C?中,与b、c对应相等的两条边只可能是ka、kb

?b?ka∴ ? c?kb?

∴ 由a到b、由b到c应具有相同的放大系数(用高中的数学语言来讲,a、b、c成公比为k的等比数列),这个系数恰为△ABC与△A?B?C?的相似比k。

下面考虑相似比k所受到的限制:

∵ △ABC的三边长分别为a、ka、ka,且a>0,k>1

∴ a?ka>ka 22

解之得 1<k<1?51? (注:≈1.168) 22

因此构造反例时,只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的长,再设定一个1~1.168之间的放大系数k,从而写出另外两条边的长ka、ka。然后在△ABC的基础上,以前面的放大系数k为相似比,再写出另一个△A?B?C?的三边长ka、ka、ka。通过这种方法,可以构造出大量符合题意的反例。 232

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