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初中数学青年教师解题竞赛分类1

发布时间:2013-10-06 13:03:38  

初中数学青年教师解题竞赛分类

一整数解问题

1已知m为整数,且12<m<40,试求m为何值时,关于未知数x的方程x2?2(2m?3)x?4m2?14m?8?0有两个整数根.

解:∵△=[-2(2m-3)]2-4(4m2-14m+8)=8m+4,

∵关于未知数x的方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0有两个根,

∴8m+4≥0,

∵关于未知数x的方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0有两个整数根

∴ △ = 2m+1 是整数,

又∵12<m<40,

∴5< 2m+1 <9,

∵方程有两个整数根必须使 2m+1 为正整数,且m为整数,

∴ 2m+1 =7,

∴m=24.

2已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数,求整数n的值。

△=36+4(4n^2+32n)

=4(4n^2+32n+9)

=4[4(n^2+8n+16)-55]

=4[4(n+4)^2-55]

4(n+4)^2-55是完全平方数,△能够开出整数

设A=2(n+4),4(n+4)^2-55是B的完全平方数

A^2-55=B^2

A^2-B^2=55

(A+B)(A-B)=55=5*11

A+B=11,A-B=5或A+B=5,A-B=11

A=8,即2(n+4)=8

n=0

或者

(A+B)(A-B)=55=55*1

A+B=55,A-B=1或A+B=1,A-B=55

A=28,即2(n+4)=28

n=10

3试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。

4已知:方程x2-2(m+1)x+m2=0有两个整数根,且12<m<60.求:m的整数值.

5求所有正实数a,使得方程x2?ax?4a?0仅有整数根.

6设a为整数,使得关于x的方程ax-(a+5)x+a+7=0至少有一个有理根,试求方程所有可能的有理根.

2

7且关于x的方程mx?2(m?5)x?m?4?0有整数根,则m的值为。

28若关于x的方程rx-(2r+7)x+(r+7)=0的根是正整数,则整数r的值可以

是 .

229已知方程x-6x-4n-32n=0的根都是整数,求整数n的值 。

2

10.已知关于x的一元二次方程 (6-k)(9-k)x2-(117-15k)x+54=0的两个根均为整数,求所有满足条件的实数k的值。

解:原方程可化为:[(6-k)x-9][(9-k)x-6]=0.

因为此方程是关于x的一元二次方程,

所以,k≠6,k≠9,

于是有:x1=9/ 6-k ①,x2=6/ 9-k ②.

由①得k=6x1-9 x1 ,由②得k=9x2-6 x2 ,

∴6x1-9 x1 =9x2-6 x2 ,

整理得x1x2-2x1+3x2=0,

有(x1+3)(x2-2)=-6.

∵x1、x2均为整数,

∴ x1+3=-6,-3,-2,-1,1,2,3,6 x2-2=1,2,3,6,-6,-3,-2,-1 . 故x1=-9,-6,-5,-4,-2,-1,0,3.

又k=6x1-9 x1 =6-9 x1 ,

将x1=-9,-6,-5,-4,-2,-1,3分别代入,得

k=7,15 2 ,39 5 ,33 4 ,21 2 ,15,3.

11 x-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是( ) A、-2 B、0 C、2 D、4

2

12、已知关于的方程的根都是整数,那么符合条件的整数有________个。

13、若2x?6y?xy?kx?6能分解为两个一次因式的积,则整数k的值是___________.

14、边长为整数,周长等于21的等腰三角形共有 ( )

A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

15、一次函数f(x)?ax?b(a为整数)的图象经过点(98,19),它与x轴的交点为(p,0),它与y轴的交点为(0,q),若p是质数,q为正整数,则满足条件的所有一次函数的个数为( A ).

(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2的整数

16 3-22-122=__。 22

A 5-42 B 42-1 C 5 D 1

17

A、78.5 B、97.5 C、90 D、102

2003y2003xy=2003的正整数对的个数是__。 19、满足等式xyxy2003x

A、1 B、2 C、3 D、4

二 韦达定理和最大值

6x2?11x?61 求分式2值的范围。 x?2x?1

2.设关于未知数x的方程x2―5x―m2+1=0的实根为α、β,试确定实数m的取值范围, 使|α|+|β|≤6成立.

3设x1、x2是关于x的一元二次方程x+ax+a=2的两个实数根,则(x1-2x2)(x2-2x1)的最大值为 。

2

4、设是不小于的实数,使得关于

的方程有两个不相等的实数根。(1

)若,求的值。(2)求的最大值。

5已知m?1?

( )

(A)-5 (B)5 (C)-9 (D)9

6、如果x1、x2是两个不相等的实数,且满足x1?2006x1?1,x2?2006x2?1,

那么 x1+x2=( ).

(A)2006 (B)-2006 (C) 1 (D)-1

7、如果x1、x2是两个不相等的实数,且满足x1?2003x1?1,x2?2003x2?1,那么x1x2等于 ( )

A、2003 B、-2003 C、1 D、-1

8已知实数a,b满足a?ab?b?1,且t?ab?a?b,那么t的取值范围是

9x?xy?3,xy?y??2,则2x?xy?3y? . 2222222222222,n?1?2,且(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)?8,则a的值等于

10如果x1、且满足x1?2005x1?1,那么x1+x2x2?2005x2?1,x2是两个不相等的实数,

等于( )

(A)2005 (B)-2005 (C)1 (D)-1

211.已知实数x,y,z满足x+y=5及z=xy+y一9,则x+2y+3z= .

12设实数a、b满足a?8a?6?0及6b?8b?1?0,求ab?

13.已知实数x,y满足 22221的值. ab42442,则. ??3,y?y?3?y4的值为( )424xxx

17? (C)

(D)5 22(A)7 (B)

2314.已知x?x?1?0,那么代数式x?2x?1的值是

15.已知x,y,z为实数,且x?y?z?5,xy?yz?zx?3,则z的取值范围为

16若a,b,c为实数,且a?b?c?0,abc?2,那么a?b?c的最小值可达到 .

a?b?8?217已知:a ,b,c三数满足方程组?,试求方程bx+cx-a=0的根。 2ab?c?83c?48?

c^2+8根号(2)c=48变形可以得到ab-16=(c-4根2)^2 (**) 由于(a-b)^2>=0 得到a^2+2ab+b^2>=4ab:

(a-b)^2>=0 (完全平方大于等于0) 展开,得到a^2-2ab+b^2>=0 两边同时加4ab 得到a^2+2ab+b^2>=4ab 即(a+b)^2>=4ab。那么由于a+b=8 代入上面证明的不等式,即可以得到ab<=16 即ab-16<=0 而(**)等式的右边显然>=0 要使左边=右边只有左边=右边=0 那么可以得到ab=16,c=4根2 解得a=b=4,c=4根2 代入,就可

以求解bx^2+cx-a=0的根

18、直角△ABC斜边上的高等于4,则△ABC的面积的最小值等于_____.

三角形ABC中斜边高AD=4

求面积的最小值

BD+CD=BC

BD*CD=4方=16

设BD,CD是方程X方-BC*X+16=0的两根

则BC方-4*16>=0

即BC最小值为8

当BC=8时最小

面积最小值 =4*8/2=16

19、如果方程x?5x?(4?k)x?k?0的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长,则实数k的值为( ).

20.若实数a,b,c满足a?b?c?9,代数式(a?b)?(b?c)?(c?a)的最大值是

(A)27 (B)18; (C)15; (D)12.

21.关于x的方程2kx2+(8k+1)x=-8k有两个实根,则k的取值范围是( ) 22222232

1111 (B)k≥?且k≠0 (C)k=? (D)k>?且k≠0 16161616

c22若a?b?c?0,且a?b?c,则的取值范围为 . a(A)k>?

23已知任意三角形ABC,其面积为S. 作BC的平行线与AB、AC分别交于D、E 设三角形BDE的面积为M,求证:M≤

1S 4

24已知a、b、c、d为不同的实数,且a、c是方程x?ax?b?0的根,b、d是方程2

x2?cx?d?0根.求a、b、c、d的值.

x2?kx?325在正实数范围内,只存在一个数是关于x的方程?3x?k的解,求实数k的x?1

取值范围.

26.设a,b,c为互不相等的实数,且满足关系式

b2?c2?2a2?16a?14 ①

bc?a2?4a?5 ②

求a的取值范围.

三 、三角形两边之和大于第三边

1.不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12,若第三条高也为整数,那么它的长度最大可能是_____________.

2.过半径为r的圆O的直径AB上一点P,作PC⊥AB交圆周于C.若要以PA、PB、PC为边作三角形,求OP长的范围.

3在△ABC中,AB=10,AC=5,D是BC上的一点,且BD:DC=2:3,则AD的取值范围是 .

四 圆

1、两个等圆相交于A、B两点,过B作直线分别交两圆于点C、D.那么△ACD一定是 _________三角形.(要求以边或角的分类作答)

2如图,AB=AC=AD且∠DAC=k∠CAB 则∠DBC是∠BDC的

AC上任意一点(不与A、C重合)3、如图,△ABC内接于⊙O,点P是?,

?ABC?55,则?POC的取值范围是 . ?

4.AB、AC为⊙O相等的两弦,弦AD交BC于E,

若AC=12,AE=8,则AD= .

5.一直角三角形的斜边长为c,它的内切圆的半径是r,则内切圆的面积与三角形的面积的比值____________.

6.如图,AB为半圆的直径,C为半圆上一点,CD⊥AB于D.

若CD=6,AD∶DB=3∶2,则AC·BC等于( )

(A)156 (B)30

(C)606 (D)90

7.如果⊙O外接于正方形ABCD,P为劣弧AD上的一个任意点,求: PA?PC的值.

PB

8设正方形的中心为O,连结AO,如果AB=4,AO=62,那么AC的长等于

9如图3,在⊿ABC中,以BC为直径的⊙O交AB于D,交AC于E,BD=CE,求证:AB=AC (用多种方法证明.详写其中一种证明,其余证明则略写.用三种方法证明结论成立的满分)

10.(7分)如图,过以AB为直径的半圆O1上任一点C作CD⊥AB于D,⊙O分别切AB、CD、 于点G、E、F,

求证:AC=AG。

11、如图,在△ABC中,AB?10,AC?8,BC?6,经过点C且与边AB相切的动圆与CB,CA分别相交于点E,F,则线段EF长度的最小值是 ( )

A. B.4.75 C

C.4.8 D.5 A

12、如图3,若PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB交于点D,且PB=4,PD=3,则AD·DC等于 ( )

A、6 B、7 C、12 D、16

13、如图,在直角坐标系xOy中,已知A(12,0),B(0,9),C(3,0),D(0,4),Q为线段AB上一动点,OQ与过O、C、D三点的圆交于点P。问OP·OQ的值是否变化?证明你的结论。

14.已知AB是圆O的直径,弦AD和BC相交于点P, 那么CD等于( ). AB

(A)sin?BPD (B)cos?BPD (C)tan?BPD (D)cot?BPD

第5题图

15.如图,⊙O的圆心在梯形ABCD的底边AB上,并与其它

三边均相切,若AB=10,AD=6,则CB长为( )

A、4 B、5

(第2题图) C、6 D、无法确定

16.如图:已知P为⊙O直径AB上任意一点,弦CD过P且与AB交成45°角.

求证:PC2+PD2为定值.

P

AC

17、如图,有两个同心圆,大圆的弦AB与小圆相切于点P, 大圆的弦CD经过点P,且CD=13,PD=4,两圆组成的圆环的面积是 .

D

A B

O C

.

18

.如图,?

ABC的角A,B,C所对边分别为a,b,c,

点O是?ABC的外心,OD?BC于D,OE?AC于E,

OF?AB于F, 则OD∶OE∶OF?( ) .

第9题图

19如右图,已知半圆O的直径AB=6,点C、D是半圆的两个三等份点,则弦BC、BD和

111:: abc

(C)cosA:cosB:cosC (D)sinA:sinB:sinC

(A)a∶b∶c (B)

?

围成的图形的面积为.(结果可含有?) 弧CD

交BC边于D,若BD和DC的长均为正整数,求BC的长.

20.(本小题10分)在?ABC中,

AB

?40,AC?60, 以A为圆心,AB的长为半径作圆

第21题图

21.如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K.求证:PE·AC=CE·KB.

C

(第13题)

22、如图,在平行四边形ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于E,且与CD相切,若AB=4,BE=5,则ED的长为__。A3 B4 C

1516 D

54

23、在锐角△ABC中,AD⊥BC,D为垂足,DE⊥AC,E为垂足,DF⊥AB,F为垂足。O为△ABC的外心。

求证:(1)△AEF∽△ABC;

(2)AO⊥EF

24、在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高,AC=3,BC=4,分别用r、r1、r2表示△ABC、△ACD、△BCD内切圆的半径,则r+r1+r2=( ).

25 p是⊙o的直径AB的延长线上一点,PC与⊙o相切于点C,∠APC的角

平分线交AC于Q,则则∠PQC = _________.

五 函数图象解题 一元二次方程根的分布

1.若方程x?2x?1?x/3?b有四个不等实根,则b的取值范围为 。

2证明关于x的方程(x?a)(x?a?b)?1的一根大于a、一根小于a(a、b?R)。

2

4.当a取遍0到5的所有实数值时,满足3b?a(3a?8)的整数b的个数是 .

5若直角三角形两直角边分别为6cm和8cm,则这个直角三角形的内心与外心的距离是____cm.

7.若关于未知数x的方程x?p?x有两个不相等的实数根,则实数p

的取值范围是 .

8函数y?2x?4x?1的最小值是.

9.试写出m的一个数值,使关于未知数x的方程x?4x?2m?8?0的两根中一个大于1,另一个小于1.

22

10设m是整数,且方程3x2+mx-2=0的两根都大于-93而小于,则57m=_______。

11.已知:方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实数根x1,x2满足:0<x1<1<x2<2.

求:k的取值范围. (1990年全国初中数学联赛题)

12 m取什么值时,方程x2+(m+2)x+3=0的两个根都大于1?

13. 若方程x2+(1-2m)x+m2-m=0两个实数根中,一根大于2,另一根小于2.

求m 的取值范围.

14. 已知:方程3x2+(m-1)x+3m+2=0两个实数根中,一根大于3,另一根小于

2.求:m的取值范围.

15.如果关于x的方程x?2?a?1?x?2a?1?0有一个小于1的正数根,那么实数a的 2

取值范围是 .

六数列

1.如图,在锐角?内,有五个相邻外切的不等圆,它们都与?角的边相切,

且半径分别为r1、r2、r3、r4、r5.若最

小的半径r1=1,最大的半径

r5=81。求θ.

?

2.如图,已知:五圆⊙1、⊙2、⊙3、⊙4、⊙5顺次排列且互相外切,又均与两直线公切,最小圆⊙1半径为8,最大圆⊙5半径为18.求:⊙2、⊙3、⊙4的半径R2,R3、R4.

3.梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级,各级的宽成等差数列,计算与最低一级最接近的一级的宽.

八高中杂题

1.条件P:x?1或x?2,条件q:x?1?x?1中,P是q的_______________条件.(填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中的一个)

2函数y?

?2x?x2中,自变量x的取值范围是_____________.

3.已知一条曲线在x轴的上方,它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程.

10.点P在锐角△ABC的边上运动,试确定点P的位置,使PA+PB+PC最小,并证明你的结论.

11、满足方程x?1?2x?2?3x?3?4的有理数x有多少个 ( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)无数

12、已知a?bb?cc?a那么直线f(x)?tx?t一定通过第 象限. ???t,cab

13(本小题10分)如图,在梯形PMNQ中,PQ//MN,对角线PN和MQ相交于点O,并把梯形分成四部分,记这四部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.试判断S1?S2和S3?S4的大小关系,并证明你的结论.

第24题图

13,△AOB2 14.在梯形ABCD中,AB∥CD,AC.BD相交于点O,若AC=5,BD=12,中位线长为

的面积为S1,△COD的面积为S2,则S1?S2

九抛物线

1.已知抛物线y?ax?bx?c的顶点在直线y?x上,且这个顶点到原点的距离为2

2,又知抛物线与x轴两交点横坐标之积等于?1,求此抛物线的解析式.

2已知抛物线y=-x2+mx-m+2.

(1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB

m的值;

(2)设C为抛物线与y轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且 △

MNC的面积等于27,试求m的值.

3.已知:二次函数y=125x-x+6的图象与x轴从左到右的两个交点依次为A、B,与y42

轴的交点为C.

(1)求A、B、C三点的坐标

.

(2)求过B、C两点的一次函数的解析式.

(3)如果P(x,y)是线段BC上的动点,O为坐标原点,试求△POA的面积S与x之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.

(4)是否存在这样的点P,使得PO=AO.若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

4设A、B是抛物线y=2x2+4x-2上的点,原点位于线段AB的中点处。试求A、B两点的坐标

5已知函数y?kx?k(2x?3x)?2x?2x?1的图像不经过第四象限,求常数k的取

值范围.

2222

6、已知a?b?c?0, 9a?3b?c?0, 则二次函数y?ax2?bx?c

的图象的顶点可能在( ).

(A)第一或第四象限(B)第三或第四象限 (C)第一或第二象限(D)第二或第三象限

7、二次函数y?ax?bx?c的图像如图所示.下列结论正确的是 ( )

(A)3a?c2b

(C)3a?c2b

8.二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示,Q(n,2)是图象上的一点,且AQ?BQ,则a的值为( ).

(A)?22 (B)3a?c?2b (D)3a?c?2b 11 (B)? 32

(C)-1 (D)-2

十 过定点问题

1不论实数m为何值,方程2mx?(m?1)y?3m?4?0总有一组共同的解。

2已知:不论k取什么实数,关于x的方程

=1,试求a、b的值。

十一 点到直线的距离公式

1(6分)如图,过点D(-1,4)的直线l分别交x负半轴、y正半轴于A、B两点, 若Rt⊿AOB内切圆面积为

2kx?ax?bk??1(a、b是常数)的根总是x36?,求线段AB的解析式。

十二 三角函数有关

⊿ABC中∠B=90°,AD是BC边上的中线,求sin∠CAD的取值范围。

十三 配方法求最值

1代数式x2-2xy+3y2―2x―2y+3的值的取值范围是 .

2.设(a,b)为实数,那么a?ab?b?a?2b的最小值是__________.

3设x、y均为实数,代数式5x2?4y2?8xy?2x?4的最小值为

22

4已知:3x2+2y2=6x, x和y 都是实数,求:x2+y2 的最大、最小值.

5计算2000?2001?2002?2003?1所得的结果是

6、已知a、b是不全为零的实数,则关于x的方程x?(a?b)x?a?b?0的根的情况

为( ).

(A) 有两个负根 (B)有两个正根(C)有两个异号的实根 (D)无实根

y?1z?27、设x、y、z满足关系式 x-1==, 则x2+y2+z2的最小值为 . 23

228多项式x?y?4x?2y?8的最小值为.

222

9.若关于未知数x的方程x?2px?q?0(p、q是实数)没有实数根,求证:p?q?21. 4

10 若实数a,b满足a?b2?1,则2a2?7b2的最小值是

11、若实数x,y满足条件2x?6x?y?0,则x?y?2x的最大值是 ( )

A、14 B、15 C、16 D、不能确定 2222

12如果x,y为实数,且x2?x?(y?1)2?0,则x的取值范围是( ).

(A)任意实数 (B)负实数 (C)0?x?

1 (D)0?x?1 2

十四 光线问题

1、已知:如图2,正方形ABCD的边长为8,M在CD上,

且DM=2,N是AC上的一个动点,则DN+MN的最小值为 .

2、在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=

PB+PE的最小值是______. 3BE,P是AC上一动点,则 2

0A为OM上的点,B为ON上的点,3、已知?MON?40,P为?MON内一定点,则当

?PAB的\周长取最小值时,?APB的度数为

4、已知矩形ABCD的AB=12,AD=3,E、F分别是AB、DC上的点,则折线AFEC长的最小值为___.

5、如图,矩形ABCD中,AB=20cm,BC=10cm。若在AC、AB上各取一点盟M、N,则

使BM+MN的和达到最小值的点N的位置应该是______.

十五 几何旋转

1、如图,正方形ABCD的边长为1,P为AB上的点,Q为AD上的点且△APQ的周长为2,则∠PCQ=______度。45

2、如图设O是等边三角形ABC内一点已知∠AOB=115°,∠BOC=125°,则以OA,OB,

OC为边所构成的三角形的各内角的度数分别为_______。55 .60.65 000

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