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初三数学竞赛选拔试题

发布时间:2013-10-06 17:07:03  

初三数学竞赛选拔试题

(本卷满分:120分,时间:120分钟)

一、选择题(每小题5分、共40分)

1、如果多项式p?a?2b?2a?4b?2008,则p的最小值是( ) 22

(A) 2005 (B) 2006 (C) 2007 (D) 2008

2、菱形的两条对角线之和为L,面积为S,则它的边长为( ). (A)1

24S?L2 (B)

2x?3124S?L2 (C) 12L2?4S (D)12L2?4S 3、方程(x?x?1)?1的所有整数解的个数是( )

(A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个

4、已知梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD交于O,△AOD的面积为4,

△BOC的面积为9,则梯形ABCD的面积为( )

(A)21 (B)22 (C)25 (D)26

5、方程|xy |+|x+y|=1的整数解的组数为( )。

(A)8 (B) 6 (C) 4 (D) 2

6、已知一组正数x1,??x2,??x3,??x4,??x5的方差为:S?212(x1?x22?x32?x42?x52?20),则5

关于数据x1?2,??x2?2,??x3?2,??x4?2,??x5?2的说法:①方差为S2;②平均数为2;③平均数为4;④方差为4S2。其中正确的说法是( )

(A) ①② (B) ①③ (C) ②④ (D)③④

7、一名模型赛车手遥控一辆赛车,先前进1m,然后,原地逆时针方向旋转角

a(0°<α<180°)。被称为一次操作.若五次操作后,发现赛车回到出发点,则角α为

( )

(A) 7 2° (B)108°或14 4° (C)144° (D) 7 2°或144°

8、如图,已知圆心为A、B、C的三个圆彼此相切,且均与直线l相切.若⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为a、b、c(0<c<a<b),则a、b、c一定满足的关系式为 ( )

(A)2b=a+c (B)?(C)a?c 111111 ???? (D)caba二、填空题(每小题5分,共30分)

29、已知a﹑b为正整数,a=b-2005,若关于x方程x-ax+b=0有正整数解,则a 的最小值是

________

A 10、如图,在△ABC中,AB=AC, AD⊥BC, CG∥AB, BG分别交 AD,AC于E,F.若

EFaGE等于 . ?,那么BEbBE

B D

2y?ax?bx?c的图象与x轴交于点(-2,0),(x1,0),且1<x1<2,与11、已知二次函数

y轴正半轴的交点在(0,2)的下方,下列结论:①a<b<0;②2a+c>0;③4a+c<0;④2a-b+1.其中正确的结论是_____________.(填写序号)

12、如图,⊙O的直径AB与弦EF相交于点P,交角为45°,

若PE2?PF2=8,则AB等于 .

13、某商铺专营A,B两种商品,试销一段时间,总结得到经营利润y

与投人资金x(万元)的经验公式分别是yA=31x,yB=x。如果该商铺投入10万元资金77

经营上述两种商品,可获得的最大利润为___________ 万元。

14、在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,设能完全覆盖△ABC的圆的半径为R.则R的最小值是.

三、解答题(第15、16、17题各12分,第18题14分,共50分)

15、三项式x2-x-2n能分解为两个整系数一次因式的乘积

(1)若1≤n≤30,且n是整数,则这样的n有多少个?

(2)当n≤2005时,求最大整数n

16、某公交公司停车场内有15辆车,从上午6时开始发车(6时整第一辆车开出),

以后每隔6分钟再开出一辆.第一辆车开出3分钟后有一辆车进场,以后每隔8分钟有一辆车进场,进场的车在原有的15辆车后依次再出车.问到几点时,停车场内第一次出现无车辆?

17、一个三角形可被剖分成两个等腰三角形。原三角形的一个内角为36°,求原三角形的最大内角的所有可能值。

18、已知

A1、A2、A3是抛物线y?1x2上的三点,A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴,垂2

足为B1、B2、B3,直线A2B2交线段A1A3于点C.

(1)如图18-1,若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3,求线段CA2的长;

(2)如图18-2,若将抛物线y?1x2改为抛物线y?1x2?x?1,A1、A2、A3三点的横坐22

标为连续整数,其他条件不变,求线段CA2的长;

(3)若将抛物线y?1x2改为抛物线y?ax2?bx?c,A1、A2、A3三点的横坐标为连续整2

数,其他条件不变,请猜想线段CA2的长(用a、b、c表示,并直接写出答案). 图18-2

(参考答案)

一、选择题:1、A 2、C 3、B 4、C 5、B 6、B 7、D提示:如图,有且只有右边两种情况,

8、D

二、填空题:9、95;设方程的两个根为x1,x2,则x1+x2=a, x1x2=b

∴x1x2-(x1+x2)=b-a=2005 ∴(x1-1) (x2-1)=2006=2×17×59

因为59为质数,故x1-1, x2-1中必有一个是59的倍数,取x1-1=34, x2-1=59,则x1+x2=95,∴a的最小值为95; 10、

三、解答题:

15、解:(1)x2-x-2n=(x-b6515;11、①②③;12、4;13、1.75;14、或; a281??8n1??8n)(x?)------------ (2分) 22

则应有1+8n=9,25,49,81,121,169-----------------------------------------(4分) 相应解得n=1,3,6,10,15,21,28,36(舍去)……

故当1≤n≤30时,满足条件的整数n有7个--------------------------------(6分)

(2)观察数列1,3,6,10,……发现

1=1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4…… ------------------------(8分) 故n=1+2+3+……+k≤2005

∴(1?k)k≤2005 2

验证得当k=62时,n取最大值为1953---------------------------------------(12分)

16、解:设从6时起x分钟时停车场内第一次出现无车辆,此时总共出车S辆,进场车y

辆,则

?x?6(S?1)? ?S?y?15 ---------------------------------------------(6分)

?8y?x?3?

∴ 8(S?15)?6(S?1)?3, 解得 S?55.5. -------------------(8分)

∵ S为正整数,∴ S=56,即到第56辆车开出后,停车场内第一次出现无车

辆.此时x?6(56?1)?330,6+330=11.5(时) 60

答:到11时30分时,停车场内第一次出现无车辆.--------------------------(12分)

17、解:不妨设△ABC中∠B=36°.

(1)若剖分线不过点B。不妨设剖分线为AD,此时,△BAD是(36°,36°,108°)或者(36°,72°,72°)的三角形。若△BAD是(36°,36°,108°)的三角形,则△CAD或者是(144°,18°,18°)(如图1),或者是(72°,54°,54°)(如图2),或者是(36°,72°,72°)(如图3、4)。

-------------------(6分)

(2)若剖分线过点B。不妨设剖分线为BE,那么,△ABE必定是(132°,24°,24°),△CBE是(156°,12°,12°)的三角形(如图5)。

所以,原三角形的最大内角可能是72°,90°,108°,126°,132°。----------(12分)

18、解:(1)方法一:∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3,

∴A1B1=1?12?1,A2B2=1?22?2,A3B3=1?32?9. 22222

?1?k?2?k?b??设直线A1A3的解析式为y=kx+b. ∴2 解得??3 ?b????9?3k?b2???2

∴直线A1A3的解析式为 y?2x?3. 2

∴CB2=2×2?3?5 . ∴CA2=CB2-A2B2=5?2?1. 2222

方法二:∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3,

∴A1B1=1?12?1,A2B2=1?22?2,A3B3=1?32?9 . 22222

由已知可得A1B1∥A3B3,∴CB2=1(A1B1+A3B3)= 1(1?9)?5 . 22222

∴CA2=CB2-A2B2=5?2?1 . ---------------------------------------------(4分) 22

(2)方法一:设A1、A2、A3三点的横坐标依次为 n-1、n、n+1 .

则A1B1=1(n?1)2?(n?1)?1,A2B2=1n2?n?1,A3B3=1(n?1)2?(n?1)?1. 222

设直线A1A3的解析式为y=kx+b.

1?2?k?n?1(n?1)k?b?(n?1)?(n?1)?1??2∴ 解得??123 ?b??n???(n?1)k?b?1(n?1)2?(n?1)?122??2?

∴直线A1A3的解析式为 y?(n?1)x?1n2?3. --------------------------------(8分) 22∴CB2=n(n?1)?1n2?3?1n2?n?3 . 2222

∴CA2=CB2-A2B2=1n2?n?3?1n2?n?1?1. -----------------------------------(10分) 2222方法二:设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1 . 则A1B1=1(n?1)2?(n?1)?1,A2B2=1n2?n?1,A3B3=1(n?1)2?(n?1)?1 222由已知可得A1B1∥A3B3,∴CB2=1(A1B1+A3B3) 2

= 1[1(n?1)2?(n?1)?1?1(n?1)2?(n?1)?1]=1n2?n?3 22222.∴CA2=CB2-A2B2=1n2?n?3?(1n2?n?1)?1. 2222

(3)当a>0时,CA2=a;当a<0时,CA2=-a. ---------------------------------(14分)

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