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小学奥数——猫吃老鼠问题(约瑟夫问题)演练

发布时间:2013-10-07 09:32:49  

猫吃老鼠(约瑟夫问题)问题

第一章 一条直线

有一天,Tom抓了100只老鼠,很不幸,Jerry也在其中。Tom决定把老鼠排成一条直线,从1到100号编了号,从1号开始,吃一个隔一个,从排头吃到排尾,下一轮继续从排头开始,直到只剩下最后一个的时候就放掉。那么Jerry该站到哪个位置,才能保证不被Tom吃掉呢?

练习一下:现在Tom抓了2000只老鼠,还是排成一排,从1号开始,吃一个隔一个,这样吃下去,那么最后剩下的老鼠的编号是多少?

拓展一下:现在Tom又抓了100只老鼠排成一排,很不幸,这次Jerry又被抓住了,这次Tom决定从1号开始,吃两个隔一个,这样吃下去,直到剩下的老鼠不足3个,那么这次Jerry该站在哪里呢?

实战应用:(第14届华杯赛决赛第3题)将七位数1357924重复写287次组成一个2009位数“13579241357924……”。删去新数中所有位于奇数位上的数字,按上述方法一直删下去直到剩下一个数字为止,则最后剩下的数字是________。

思考:假设S只老鼠排成一排,Tom从1号开始,吃m个隔n个,这样循环吃下去,直到剩下的老鼠不到m+n个,那么剩下的老鼠的编号是多少?

第二章 一个圆圈

又有一天,Tom又抓了100只老鼠,很不幸,Jerry又被抓住了。这一次,Tom决定把老鼠排成一个圆,从1到100号编了号,从1号开始,隔一个吃一个,一圈一圈的吃下去,直到只剩下最后一个的时候就放掉。那么这一次,Jerry该站到哪个位置,才能保证不被Tom吃掉呢?

拓展一下:Tom抓了99只老鼠,这一次,Tom决定把老鼠排成一个圆,从1到99号编了号,从1号开始,隔一个吃两个,一圈一圈的吃下去,直到只剩下最后一个的时候就放掉。那么这一次,最后哪只老鼠是幸运儿呢?

思考:如果Tom抓了100只老鼠,从1号开始,隔一个吃两个,一圈一圈的吃下去,最后

m剩下的会是几号呢?(注意:这时候,Tom无法在吃掉2n只老鼠后,剩下3只老鼠)

终极拓展:(《第15届少年数学邀请赛赛前教程》第二章)圆周上放置有2009枚,按顺时针编号为1、2、3……2008和2009,首先取走2号棋子,然后按顺时针方向,每隔2枚棋子就取走1枚棋子,直到圆周上仅仅剩下2枚棋子为止。问:剩下2枚棋子的编号各是多少?

实战应用一:(第12届华杯赛总决赛二试第6题)圆周上放置有3000枚棋子,按顺时针依次编号为1、2、3、……、2999、3000。首先取走3号棋子,然后按顺时针方向,每隔2枚棋子就取走1枚棋子,……,直到1号棋子被取走为止。问:此时,(1)圆周上还有多少枚棋子?(2)在圆周剩下的棋子中,从编号最小一枚棋子开始数,第181枚棋子的编号是多少?

实战应用二:(第6届华杯赛总决赛二试第4题)圆周上放有N枚棋子,如图所示,B点的一枚棋子紧邻A点的棋子。小洪首先拿走B点处1枚棋子,然后顺时针每隔1枚拿走2枚棋子,连续转了10周,9次越过A。当将要10次越过A处棋子取走其它棋子时,小洪发现圆周上余下20多枚棋子。若N是14的倍数,请帮助小洪精确计算一下圆周上还有多少枚棋子?

练习

(第3届华杯赛总决赛一试第6题)在一个圆周上放了1枚黑色的和1990枚白色的围棋子,一个同学进行这样的操作:从黑子开始,按顺时针方向,每隔一枚,取走一枚。当他取到黑子时,圆周上还剩下多少枚白子?

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