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2005初中数学竞赛

发布时间:2013-10-07 09:33:59  

2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题及参考答案

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分。)

1、如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6。将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为( )

A、2 B、4 C、6 D、8

E

答:A

解:由折叠过程知,DE=AD=6,∠DAE=∠CEF=45°,所以△CEF是等腰直角三角形,且EC=8-6=2,所以,S△CEF=2

2、若M=3x2?8xy?9y2?4x?6y?13(x,y是实数),则M的值一定是( )

A、正数 B、负数 C、零 D、整数

解:因为M=3x2?8xy?9y2?4x?6y?13=2(x?2y)2?(x?2)2?(y?3)2≥0 且x?2y,x?2,y?3这三个数不能同时为0,所以M≥0 3、已知点I是锐角三角形ABC的内心,A1,B1,C1分别是

点I关于边BC,CA,AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接 C1

圆上,则∠ABC等于( ) A、30° B、45° C、60° D、90° 答:C

解:因为IA1=IB1=IC1=2r(r为△ABC的内切圆半径),所以 B1 点I同时是△A1B1C1的外接圆的圆心,设IA1与BC的交点为D,则IB=IA1=2ID, 所以∠IBD=30°,同理,∠IBA=30°,于是,∠ABC=60°

1114、设A=48?(2?2???),则与A最接近的正整数为( ) 23?44?4100?4

A、18 B、20 C、24 D、25

答:D

解:对于正整数m

1111n≥3,有,所以A=?(?)2n?44n?2n?248?1?11111?1111111(1????)?(????)?12?(1???????) ?4?2985610223499100101102??

1111???) 99100101102

111141因为12?(?<,所以与A最接近的正整数为25。

??)<12?99100101102992=25?12?(

1

5、设a、b是正整数,且满足56≤a+b≤59,0.9<a<0.91,则b2?a2等于( ) b

A、171 B、177 C、180 D、182

答:B

解:由题设得0.9b+b<59,0.91b+b>56,所以29<b<32。因此b=30,31。

当b=30时,由0.9b<a<0.91b,得27<a<28,这样的正整数a不存在。

当b=31时,由0.9b<a<0.91b,得27<a<29,所以a=28。

所以b2?a2=177

二、填空题:(共5小题,每小题6分,满分30分。)

6、在一个圆形时钟的表面,OA表示秒针,OB表示分针,(O为两针的旋转中心),若现在时间恰好是12点整,则经过 秒钟后,△OAB的面积第一次达到最大。 答:1515 59

11OA?h≤OA?OB 22

当OA⊥OB时,等号成立。此时△OAB的面积最大。

设经过t秒时,OA与OB第一次垂直。又因为秒针1秒钟旋转6度,分针1秒钟旋转0.1

15度,于是(6-0.1)t=90,解得t=15 59

37、在直角坐标系中,抛物线y?x2?mx?m2(m>0)与x轴交于A、B两点,若A、B4

112两点到原点的距离分别为OA、OB,且满足??,则m的值等于 OBOA3

答:2 3解:设方程x2?mx?m2?0的两根分别为x1,x2且x1<x2,则有 4

3x1?x2??m<0,x1x2??m2<0 4

112所以有x1<0,x2>0,由??,可知OA>OB,又m>0,所以,抛物线的对称OBOA3解:设OA边上的高为h,则h≤OB,所以S△OAB=

轴在y轴的左侧,于是OA?x1??x1,OB=x2,所以由112??得m=2 x1x23

8、有两副扑克牌,每副牌的排列顺序是:第一张是大王,第二张是小王,然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列,每种花色的牌又按A、2、3、?J、Q、K的顺序排列。某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起,然后从上到下把第一张丢掉,把第二张放在最底层,再把第三张丢掉,把第四张放在最底层,??如此下去,直至最后只剩下一张牌,则所剩的这张牌是

答:第二副牌中的方块6

解:根据题意,如果扑克牌的张数为2,22,23,?2n,那么依照上述操作方法,只剩下的一张牌就是这些牌的最后一张。例如,手中只有64张牌,依照上述操作方法,最后只剩下第64张牌。

2

现在,手中有108张牌,多出108-64=44(张),如果依照上述操作方法,先丢掉44张牌,那么此时手中恰好有64张牌,而原来顺序的第88张牌恰好放在手中牌的最底层。这样,再继续进行丢、留的操作,最后剩下的就是原来顺序的第88张牌。按照两副扑克牌的花色排列顺序,88-54-2-26=6,所剩下的最后一张牌是第二副牌中的方块6。

9、已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点,且BD=4,DC=1,AE=5,EC=2。连结AD和BE,它们相交于点P,过点P分别作PQ∥CA,PR∥CB,它们分别与边AB交于点Q、R,则△PQR的面积与△ABC的面积之比为 。 400 1089

解:过点E作EF∥AD,且交边BC于点F, CFCE255则??所以FD=?CD=, FDEA575?2

PQBPBD428又因为PQ∥CA,所以, ????533EABEBF4?7

140于是PQ= 33答:

由△QPR∽△ACB,故C F E P A R S?PQR

S?CAB?(PQ220400 )?()2?CA331089

222?x2???x4010、已知x1,x2,?,x40都是正整数,且x1?x2???x40?58,若x1的最

大值为A,最小值为B,则A+B的值等于 。

答:494

222?x2???x40解:因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种,故x1的最小值和最

大值是存在的。

不妨设x1≤x2≤?≤x40,若x1>1,则x1+x2=(x1?1)?(x2?1),且

2222(x1?1)2?(x2?1)2?x1?x2?2(x2?x1)?2>x1?x2

222?x2???x40所以当x1>1时,可以把x1逐步调整到1,这时,x1将增大;同样地,可以

222?x2???x40把x2,x3,?x39逐步调整到1,这时x1将增大。于是,当x1,x2,?x39

222?x2???x40均为1,x40=19时,x1取得最大值,即

A=2?12???2?192?400。

39个

若存在两个数xi,xj,使得xj-xi≥2 ( 1≤i<j≤ 40),则

22(xi?1)2?(xj?1)2?xi2?x2

j?2(xj?xi?1)<xi?xj

3

这说明在x1,x2,?,x40中,如果有两个数的差大于1,则把较小的数加1,较大的数减1,

222这时,x1将减小。 ?x2???x40

222所以,当x1取到最小时,x1,x2,?,x40中任意两个数的差都不大于1。于?x2???x40

222是,当x1?x2???x22?1,x23?x24???x40?2时,x1取得最小值,即 ?x2???x40

B=12?12???12?22?22???22=94,故A+B=494

22个 18个

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11、某校举行春季运动会时,由若干个同学组成一个8列的长方形队列。如果原队列中增加120人,就能组成一个正方形队列;如果原队列中减少120人,也能组成一个正方形队列。问原长方形队列有同学多少人?

解:设原长方形队列有同学8x人,由已知条件知8x+120和8x-120均为守全平方数。于

① 2??8x?120?m是可设? 2??8x?120?n②

其中m、n均为正整数,且m>n。

① -②得m2?n2?240即(m?n)(m?n)?240?24?3?5

由①、②可知,m2、n2都是8的倍数,所以m、n均能被4整除。于是m+n,m-n均能

?m?n?60?m?n?20?m?32?m?16被4整除。所以?或? 解得:?或? m?n?4m?n?12n?28n?4????

所以,8x?m2?120?322?120?904或8x?m2?120?162?120?136 。

故原长方形队列有同学136人或904人。

12、已知p,q都是质数,且使得关于x的二次方程

x2?(8p?10q)x?5pq?0

至少有一个正整数根,求所有的质数对(p,q)。

解:由方程两根的和为8p-10q可知,若方程有一个根为整数,则另一个根也是整数。由方程两根的积为5pq,知方程的另一个根也是正整数。

设方程的两个正整数根分别为x1,x2(x1≤x2),由根与系数的关系得

x1+x2=8p-10q ①

x1x2=5pq ②

由②得,x1,x2有如下几种可能的情况:

4

?x1?1,5,p,q,5p,5q ?x?5pq,pq,5q,5p,q,p?2

所以x1+x2=5pq+1,pq+5,p+5q,q+5p,代入①

当x1+x2=5pq+1时,5pq+1=8p-10q,而5pq+1>10p>8p-10q,故此时无解。 当x1+x2=pq+5时,pq+5=8p-10q,所以(p+10)(q-8)=-85

?q?8??5,?1因为p、q都是质数,只可能? 所以(p,q)=(7,3) p?10?17,85?

当x1+x2=p+5q时,p+5q=8p-10q,所以7p=15q,不可能。

当x1+x2=5p+q时,5p+q=8p-10q,所以3p=11q,于是(p,q)=(11,3) 综上所述,满足条件的质数对(p,q)=(7,3)或(11,3)

13、如图,分别以△ABC(△ABC为锐角三角形)的边AB,BC,CA为斜边向外作等腰直角三角形DAB,EBC,FAC。求证:(1)AE=DF;(2)AE⊥DF。

证明:(1)延长BD至点P,使DP=BD,连结AP、CP。

因为△DAB是等腰直角三角形, P AB2所以∠ADB=90°,AD=BD, ?A BD2F 在等腰直角三角形EBC中,

∠BEC=90,BE=CE,BE2 ?BC2ABBE所以 ?BPBC

因为∠PBC=∠PBA+∠ABC=45°+∠ABC,

∠ABE=∠CBE+∠ABC=45°+∠ABC

所以∠PBC=∠ABE。于是△ABE∽△PBC,

2AEAB2即AE=PC。 ??PCBP22

同理,在△ADF和△APC中,有

所以△ADF∽△APC AFAD2,∠DAF=∠PAC=45°+∠DAC ??ACAP2

DFAD22 即DF=PC。 所以,AE=DF。 ??PCAP22

(2)因为△ADF∽△APC,所以∠ADF=∠APC,又由△ABE∽△PBC,得∠BAE=∠CPB,于是∠DAE+∠ADF=45°+∠BAE+∠ADF=45°+∠CPB+∠APC=90°

所以,AE⊥DF。

5

14、从1,2,?,205共205个正整数中,最多能取出多少个数,使得对于取出来的数中的任意三个数a,b,c(a<b<c),都有ab≠c。

解:首先,1,14,15,?,205这193个数,满足条件。

事实上,设a,b,c(a<b<c)这三个数取自1,14,15,?,205。若a=1,则ab=b<c;若a>1,则ab≥14×15=210>c

另一方面,考虑如下12个数组:

(2,25,2×25),(3,24,3×24),(13,14,13×14)

上述这36个数互不相等,且其中最小的数为2,最大的数为13×14=182<205

所以,每一个数组中的三个数不能全部都取出来。于是,如果取出来的数满足题设条件,那么取出来的数的个数不超过205-12=193(个)

综上所述,从1,2,?,205中,最多能取出193个数,满足题设条件。

6

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