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2004初中数学竞赛

发布时间:2013-10-07 09:33:59  

2004年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题

参考答案和评分标准

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分)

1. 已知实数a?b,且满足(a?1)2?3?3(a?1),3(b?1)?3?(b?1)2.则

bba?a的值为( ). ab

(A)23 (B)?23 (C)?2 (D)?13 答:选(B)

∵ a、b是关于x的方程

?x?1?2?3(x?1)?3?0

的两个根,整理此方程,得

x2?5x?1?0,

∵ ??25?4?0,

∴ a?b??5,ab?1.

故a、b均为负数. 因此 babaa2?b2

b?a??ab?ab??ababab2?a?b??2abab????23. ab

2. 若直角三角形的两条直角边长为a、b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有 ( ).

111111(A)(B?? (C2?2?2 (D)a2?b2?2h2 ab?h2 abhabh

答:选(C)

∵ a?h?0,b?h?0,

∴ ab?h2,a2?b2?h2?h2?2h2;

因此,结论(A)、(D)显然不正确.

111设斜边为c,则有a?b?c,(a?b)h?ch?ab,即有 222

111??, abh

因此,结论(B)也不正确.

1

11111a2?b2h?ab化简整理后,得2?2?2, 22abh

因此结论(C)是正确的. 由

3.一条抛物线y?ax2?bx?c的顶点为(4,?11),且与x轴的两个交点的横坐

标为一正一负,则a、b、c中为正数的( ).

(A)只有a (B)只有b (C)只有c (D)只有a和b

答:选(A)

由顶点为(4,?11),抛物线交x轴于两点,知a>0.

设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,即为方程

ax2?bx?c?0

的两个根.

c?0,所以c?0. a

b根据对称轴x=4,即有??0,知b<0. 2a由题设x1x2?0,知

故知结论(A)是正确的.

4.如图所示,在△ABC中,DE∥AB∥FG,且FG到DE、AB的距离之比为1

:2. 若△ABC的面积为32,△CDE的

面积为2,则△CFG的面积S等于 ( ).

(A)6 (B)8

(C)10 (D)12

答:选(B)

由DE∥AB∥FG知,△CDE∽△CAB,△CDE∽△CD?CAS?CDE?S?CAB21?, 324又由题设知FD1?,所以 FA2

FD1?, AD3

1131FD?AD??AC?AC, 3344

故FD?DC,于是

S?CDE?1?1????,S?CFG?8. S?CFG?2?42

因此,结论(B)是正确的.

2

5.如果x和y是非零实数,使得

x?y?3和xy?x3?0,

那么x+y等于( ).

(A)3 (B) (C)

答:选(D) 将y?3?x代入xy?x3?0,得x3?x2?3x?0.

(1)当x>0时,x3?x2?3x?0,方程x2?x?3?0无实根;

(2)当x<0时,x3?x2?3x?0,得方程x2?x?3?0 解得x?1?1?,正根舍去,从而x?. 22

1?7??. 221? (D)4? 2于是y?3?x?3?

故x?y?4?.

因此,结论(D)是在正确的.

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

6. 如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,

?BAD?60?,则?EDC? (度).

答:30°

解:设?CAD?2?,由AB=AC知

1?B?(180??60??2?)?60???, 2?ADB?180???B?60??60???, 由AD=AE知,?ADE?90???,

所以?EDC?180???ADE??ADB?30?.

7.据有关资料统计,两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口

kmn数m、n(单位:万人)以及两城市间的距离d(单位:km)有T?2的关系d

(k为常数) . 现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示,且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t,那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为t表示). t答:

2

3

解:据题意,有t?

∴k?32t. 550?80k, 1602

因此,B、C两个城市间每天的电话通

话次数为

TBC?k?80?10032t5??

2

56423208.已知实数a、b、x、y满足a?b?x?y?2,ax?by?5,则(a2?b2)xy?ab(x2?y2)?

答:?5

解:由a?b?x?y?2,得(a?b)(x?y)?ax?by?ay?bx?4, ∵ ax?by?5,

∴ ay?bx??1.

因而,(a2?b2)xy?ab(x2?y2)?(ay?bx)(ax?by)??5.

9. 如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC (BC>AD),?D?90?,BC=CD=12, ?ABE?45?,若AE=10,则CE的长为

答:4或6

解:延长DA至M,使BM⊥BE. 过B作BG⊥AM,G为垂足.易知四边形BCDG为正方形, 所以BC=BG. 又?CBE??GBM,

∴ Rt△BEC≌Rt△BMG.

∴ BM=BE,?ABE??ABM?45?,

∴△ABE≌△ABM,AM=AE=10.

设CE=x,则AG=10?x,AD=12?(10?x)?2?x,DE=12?x. 在Rt△ADE中,AE2?AD2?DE2,

∴ 100?(x?2)2?(12?x)2,

即x2?10x?24?0,

解之,得x1?4,x2?6. 4

故CE的长为4或6.

10.实数x、y、z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,则z的最大值是

13答: 3

解:∵ x?y?5?z,xy?3?z(x?y)?3?z(5?z)?z2?5z?3,

∴ x、y是关于t的一元二次方程

t2?(5?z)t?z2?5z?3?0

的两实根.

∵ ??(5?z)2?4(z2?5z?3)?0,即

3z2?10z?13?0,(3z?13)(z?1)?0.

13113,当x?y?时,z?. 333

13故z的最大值为. 3∴ z?

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11.通过实验研究,专家们发现:初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持平稳的状态,随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示(y越大表示学生注意力越集中). 当0?x?10时,图象是抛物线的一部分,当10?x?20和20?x?40时,图象是线段.

(1)当0?x?10时,求注意力指标数y与时间x的函数关系式;

(2)一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排,使学生在听这道题时,注意力的指标数都不低于36.

解:(1)当0?x?10时,设抛物线的函数关

系式为y?ax2?bx?c,由于它的图象经过点

(0,20),(5,39),(10,48),所以

?c?20,??25a?5b?c?39,

?100a?10b?c?48.?

124解得,a??,b?,c?20. 55所以

124y??x2?x?20,0?x?10. …………………(5分) 55

5

7(2)当20?x?40时,y??x?76. 5

124所以,当0?x?10时,令y=36,得36??x2?x?20, 55

解得x=4,x?20(舍去);

7当20?x?40时,令 y=36,得36??x?76,解得 5

2004(10分) x??28. ……………………77

44因为28?4?24?24,所以,老师可以经过适当的安排,在学生注意力指标77

数不低于36时,讲授完这道竞赛题. ……………………(15分)

12.已知a,b是实数,关于x,y的方程组

?y?x3?ax2?bx, ??y?ax?b

有整数解(x,y),求a,b满足的关系式.

解:将y?ax?b代入y?x3?ax2?bx,消去a、b,得

y?x3?xy, ………………………(5分)

(x?1)y?x3.

若x+1=0,即x??1,则上式左边为0,右边为?1不可能. 所以x+1≠0,于是

x31y??x2?x?1?. x?1x?1

因为x、y都是整数,所以x?1??1,即x??2或x?0,进而y=8或y?0. 故

?x??2 ? 或 y?8??x?0 ………………………(10分) ?y?0?

?x??2当?时,代入y?ax?b得,2a?b?8?0; y?8?

?x?0当?时,代入y?ax?b得,b?0. y?0?

综上所述,a、b满足关系式是2a?b?8?0,或者b?0,a是任意实数.

………………………(15分)

6

13.D是△ABC的边AB上的一点,使得AB=3AD,P是△ABC外接圆上一点,

PB使得?ADP??ACB,求的值. PD

解:连结AP,则?APB??ACB??ADP,

所以,△APB∽△ADP, …………………………(5

分)

ABAP∴, ?APAD所以AP2?AB?AD?3AD2,

∴AP?3AD, …………………………(10分)

所以PBAP??. …………………………(15分) PDAD14.已知a?0,b?0,c?0,且b2?4ac?b?2ac,求b2?4ac的最小值. 解:令y?ax2?bx?c,由a?0,b?0,c?0,判别式

??b2?4ac?0,所以这个二次函数的图象是一条开口向

下的抛物线,且与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0),

因为x1x2?

x??c?0,不妨设x1?x2,则x1?0?x2,对称轴ab?0,于是 2a

?b?b2?4acb?b2?4acx1???c, ………………(5分) 2a2a

4ac?b2b?b2?4acb2?4ac?c???所以, …………………(10分) 4a2a2a

故b2?4ac?4,

当a??1,b=0,c=1时,等号成立.

所以,b2?4ac的最小值为4. ………………………(15分)

7

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