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2002初中数学竞赛

发布时间:2013-10-07 09:34:00  

2002年全国初中数学竞赛试题

一、选择题

1.设a<b<0,a+b=4ab,则22a?b的值为【 】 a?b

A、 B、6 C、2 D、3

2.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a+b+c-ab-bc-ca的值为【 】

A、0 B、1 C、2 D、3 222

3.如图,点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点,连AF、CE交于点G,则S四边形AGCD

S矩形ABCD

等于【 】

A、5432 B、 C、 D、 6543

D

G

ACFB

2 4.设a、b、c为实数,x=a-2b+

至少有一个值【 】 ???22,y=b-2c+,z=c-2a+,则x、y、z中333

A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0

5.设关于x的方程ax+(a+2)x+9a=0,有两个不等的实数根x1、x2,且x1<1<x2,那么a的取值范围是【 】

A、?

222222<a< B、a> C、a<? D、?<a<0 5577111

6.A1A2A3…A9是一个正九边形,A1A2=a,A1A3=b,则A1A5等于【 】

2222A、a?b B、a?ab?b C、1?a?b? D、a+b 2

二、填空题

7.设x1、x2是关于x的一元二次方程x+ax+a=2的两个实数根,则(x1-2x2)(x2-2x1)的最大值为 。

8.已知a、b为抛物线y=(x-c)(x-c-d)-2与x轴交点的横坐标,a<b,则a?c?c?b的值为 。

9.如图,在△ABC中,∠ABC=60,点P是△ABC内的一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6,则PB= 。 02

A

P

B

10.如图,大圆O的直径AB=acm,分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2,并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4,这些圆互相内切或外切,则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。

2

AB

11.满足(n-n-1)2n+2=1的整数n有 个。

12.某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏本,售价的折扣(即降价的百分数)不得超过d%,则d可以用p表示为 。

三、解答题

13.某项工程,如果由甲、乙两队承包,22天完成,需付180000元;由乙、丙两队承包,5

363天完成,需付150000元;由甲、丙两队承包,2天完成,需付160000元。现在工47

程由一个队单独承包,在保证一周完成的前提下,哪个队的承包费用最少?

14.如图,圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF,且对角线AD、BE、CF交于一点Q,设

QDACCPAC2

??AD与CE的交点为P。(1)求证:(2)求证: 2PEEDECCE

3

A

B

FQ

EDC

16.如果对一切x的整数值,x的二次三项式ax+bx+c的值都是平方数(即整数的平方)。证明:(1)2a、2b、c都是整数;(2)a、b、c都是整数,并且c是平方数;反过来,如果(2)成立,是否对一切的x的整数值,x 的二次三项式ax+bx+c的值都是平方数?

4 22

2002年全国初中数学竞赛试题

一、 选择题(每小题5分,共30分)

1. 设a<b<0,a+b=4ab,则22a?b的值为( )。 a?b

A、3 B、6 C、2 D、3

答案:A.由题意: ?a?b?>0,且??= a?b??2 = =3。

2. 已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a+b+c-ab

-bc-ca的值为( )。

A、0 B、1 C、2 D、3

答案:原式= [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]= [1+1+4]=3。 222

3. 如图,点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点,连AF、CE交于点G,则S四边形GCAD

S矩形CDBA

等于( )。

5432A、 B、 C、 D、 6543

答案:设S矩形ABCD=1。因为E、F是矩形ABCD中边AB、BC的中点,

5 DGACB

所以SΔGCF=SΔGBF,设为x;SΔGAE=SΔGBE,设为y。则

,得2x+2y= . 所以S四边形AGCD= .从而S四边形AGCD∶S矩形ABCD=2∶3.

4. 设a、b、c为实数,x=a-2b+

中至少有一个值( )。

A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0

答案:由题意:x+y+z=a2+b2+c2-2a-2b-2c+?=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+?-3>0,所以x、y、z中至少有一 个大于0.

5. 设关于x的方程ax+(a+2)x+9a=0,有两个不等的实数根x1、x2,且x1<1<x2,

那么a的取值范围是( )。

A、?22???22,y=b-2c+,z=c-2a+,则x、y、z33322222<a< B、a> C、a<? D、?<a<0 557711

答案:由题知:(x1-1)(x2-1)<0, 即x1x2-(x1+x2)+1<0,

代入韦达定理并整理得<0,可知选(A).

6. A1A2A3…A9是一个正九边形,A1A2=a,A1A3=b,则A1A5等于( )。

2222A、a?b B、a?ab?b C、1?a?b? D、a+b 2

6

答案:.延长A1A2和A5A4相交于P,连结A2A4.易证:ΔPA1A5和ΔPA2A4均为正

Δ,且PA2=A2A4=A1A3=b。所以A1A5=PA1=a+b.

二、 填空题(每小题5分,共30分)

7. 设x1、x2是关于x的一元二次方程x+ax+a=2的两个实数根,则(x1-2x2)(x2-2x1)

的最大值为 。

答案:由Δ=(a-2)2+4>0知a为一切实数.由韦达定理,得原式=9x1x2-2(x1+x2)2=-2a2+9a-18≤-

8. . 2已知a、b为抛物线y=(x-c)(x-c-d)-2与x轴交点的横坐标,a<b,则

a?c?c?b的值为。

答案:由题知:(a-c)(a-c-d)-2=0, (b-c)(b-c-d)-2=0.所以a-c和b-c是方程

A

t(t-d)-2=0(即t2-dt-2=0)的两实根.所以(a-c)(b-c)= -2<0.而a<b,即a-c<b-c.所以a-c<0,b-c>0.所以原式=b-a.

9. 如图,在△ABC中,∠ABC=60,点P是△ABC内的一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA,

且PA=8,PC=6,则PB= 。

答案:易证:ΔPAB∽ΔBCP,所以= ,得PB=4 0PB

10. 如图,大圆O的直径AB=acm,分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2,并在⊙O与⊙O1

和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4,这些圆互相内切或外切,则四边形O1O2O3O4的

7

面积为 cm。 2

答案:设⊙O3的半径为x,则O1O3= +x,O1O= ,O3O= - x. 所以( +x)=( )+( - x),解得x= ,易得菱形O1O3O2O4的面积为

a.

11. 满足(n-n-1)

答案:由题设得n2-n-1=±1,有5个根:0,1,-1,2.和-2

12. 某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏本,售价的折扣(即降

价的百分数)不得超过d%,则d可以用p表示为 。

答案:设成本为a,则a(1+p%)(1-d%)=a,得d=

三、 解答题(每小题20分,共60分)

13. 某项工程,如果由甲、乙两队承包,2. 2n+22222 =1的整数n有 个。 A 2天完成,需付180000元;由乙、丙两队承5

36包,3天完成,需付150000元;由甲、丙两队承包,2天完成,需付160000元。47

现在工程由一个队单独承包,在保证一周完成的前提下,哪个队的承包费用最少?

答案:设单独完成,甲、乙、丙各需a、b、c天.则

解得a=4, b=6, c=10(c>7,舍去).

8

又设每天付给甲、乙、丙的费用分别为x、y、z(元),则 ?12?5(x?y)?180000

??15 ?(y?z)?150000

?3

?20?7(z?x)?160000?

解得x=45500, y=29500, 所以甲4天完成的总费用为182000元, 乙6天完成的总费用为177000元, 所以由乙承包.

14. 如图,圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF,且对角线AD、BE、CF交于一点Q,

A

设AD与CE的交点为P。 B

2QDACCPAC?(1)求证:(2)求证: ?PECE2EDEC

答案:(1)易证∠3=∠4,所以∠AEC=∠DEQ,而∠ACE=∠2,

所以ΔACE∽ΔQDE.可得结论成立.

(2)分析:易证∠6=∠4,所以FC∥ED,所以 = FQEDC

9

所以只需证 = ,

由(1)有 = 。 所以只需证= ,即QD2=CQ×EQ.

这只需证ΔCQD∽ΔEQD.

而由题设有∠7=∠3+∠5=∠4+∠5,

由(1)有∠9=∠EAC,而∠EAC=∠8==∠QCD,

所以可证得ΔCQD∽ΔEQD.

15. 如果对一切x的整数值,x的二次三项式ax+bx+c的值都是平方数(即整数的平

方)。证明:(1)2a、2b、c都是整数;(2)a、b、c都是整数,并且c是平方数;反过来,如果(2)成立,是否对一切的x的整数值,x 的二次三项式ax+bx+c的值都是平方数?

答案:(1)由题设知,可分别令x=0、-1、1,得

则有c=m2,2a=n2+k2,2b=n2-k2均为整数. (其中m、n、k为整数)

(2)假设2b为奇数2t+1(t为整数).

取x=4得 16a+4b+m2=h2(h为整数).

因 2a为整数,从而16a可被4整除.

所以16a+4b=16a+4t+2 除以4余2.

所以16a+4b为偶数. ①

10 22

又因为 16a+4b=(h+m)(h-m).

若h、m的奇偶性不同,则16a+4b=(h+m)(h-m)为奇数,这与①矛盾.

若h、m的奇偶性相同,则16a+4b=(h+m)(h-m)能被4整除,从而2b为偶数,这与假设矛盾. 所以假设不成立,即2b应为偶数,从而b为整数.

所以a=k+b-c为整数.

反之,若a、b、c都是整数,且c是平方数,则对一切x的整数值,x的二次三项式ax+bx+c的值不一定是平方数.例如:取a=b=x=c=1,则ax+bx+c=3,不是平方数.

222

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