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2003初中数学竞赛

发布时间:2013-10-07 09:34:01  

2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填,得零分)

5x2?2y2?z2

1.若4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),则2的值等于 ( ). 2x?3y2?10z2

(A) ?119 (B) ? (C) ?15 (D) ?13 22

2.在本埠投寄平信,每封信质量不超过20g时付邮费0.80元,超过20g而不超过40g时付邮费1.60元,依次类推,每增加20g需增加邮费0.80元(信的质量在100g以内)。如果所寄一封信的质量为72.5g,那么应付邮费 ( ).

(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元

3.如下图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=( ).

(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°

C D E B A A F D C O B (第3题图) (第4题图)

4.四条线段的长分别为9,5,x,1(其中x为正实数),用它们拼成两个直角三角形,且AB与CD是其中的两条线段(如上图),则x可取值的个数为( ).

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个

5.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3),且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处,那么,满足上述要求的排法的方案有( ).

(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

6.已知x?1?3,那么111?2??x?2x?4x?2

1

7.若实数x,y,z满足x?

8.观察下列图形:

① ② ③ ④

根据图①、②、③的规律,图④中三角形的个数为 .

9.如图所示,已知电线杆AB直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上,如果CD与地面成45o,∠A=60o CD=4m,BC=4?22m,则电线杆AB的长为_______m.

1117

则xyz的值为?4,y??1,z??,

yzx3

??

(第9题图)

10.已知二次函数y?ax2?bx?c(其中a是正整数)的图象经 过点A(-1,4)与点B(2,1),并且与x轴有两个不同的交点,则b+c的最大值为 . 三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11.如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点P. 问EP与PD是否相等?证明你的结论.

解:

(第11题图)

2

12.某人租用一辆汽车由A城前往B城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:小时)如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线(要有推理过程),并求出所需费用最少为多少元?

解:

3

(第12题图)

13B.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°.

CD2?BD2AD?BD(1)当点D在斜边AB内部时,求证:. ?2BCAB

(2)当点D与点A重合时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.

(3)当点D在BA的延长线上时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.

14B.已知实数a,b,c满足:a+b+c=2,abc=4.

(1)求a,b,c中的最大者的最小值;

(2)求a?b?c的最小值.

4 CB D

A

注:13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题. 13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A和14A两题可留作考试后的研究题。

13A.如图所示,⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2?2(k?2)x?k?0(k是整数)的最大整数根. P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点B,C是直线PBC与⊙O的交点.若PA,PB,PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,求PA2?PB2?PC2的值.

解:

5 (第13A题图) P

14A.沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式(a?d)(b?c)>0,那么就可以交换b,c的位置,这称为一次操作.

(1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a?d)(b?c)≤0?请说明理由.

(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,…,2003,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a?d)(b?c)≤0?请说明理由.

解:(1)

1

6

5 4 3

(2)

6

2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题

参考答案与评分标准

一、选择题(每小题6分,满分30分)

1.D

由?

2.D ?4x?3y?6z?0,?x?3z, 解得? 代入即得. ?x?2y?7z?0,?y?2z.

因为20×3<72.5<20×4,所以根据题意,可知需付邮费0.8×4=3.2(元). 3.C

如图所示,∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°,∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°, 而∠BMN +∠FNM =∠D+180°,所以

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.

A G

A B

D

C O F M C

N B

4.D 显然AB是四条线段中最长的,故AB=9或AB=x。

(1)若AB=9,当CD=x时,92?x2?(1?5)2,x?35;

当CD=5时,92?52?(x?1)2,x?2?1;

当CD=1时,92?12?(x?5)2,x?4?5.

(2)若AB=x,当CD=9时,x2?92?(1?5)2,x?3;

当CD=5时,x2?52?(1?9)2,x?5;

当CD=1时,x2?12?(5?9)2,x?.

故x可取值的个数为6个.

5.B

设最后一排有k个人,共有n排,那么从后往前各排的人数分别为k,k+1,

n(n?1)k+2,…,k+(n-1),由题意可知kn??100,即n?2k??n?1???200. 2

因为k,n都是正整数,且n≥3,所以n<2k+(n-1),且n与2k+(n-1)的奇偶性不同. 将200分解质因数,可知n=5或n=8. 当n=5时,k=18;当n=8时,k=9. 共有两种不同方案. 7

6.?3. 2

?33111?41?3??=。 ?2??2?2?222x?2x?4x?2x?4x?4x?4(1?)?4

7.71?11z?x?7x?3, 因为4?x??x??x??x?171yz?14x?31???1z3x

所以 4(4x?3)?x(4x?3)?7x?3,

3. 2

71725132从而 z?????,y?1??1??. 3x333z55

325于是 xyz????1. 253

8.根据图中①、②、③的规律,可知图④中三角形的个数为 解得 x?1+4+3×4+32?4+33?4=1+4+12+36+108=161(个). 9.62.

如图,延长AD交地面于E,过D作

DF⊥CE于F.

因为∠DCF=45°,∠A=60°,CD=4m,

所以CF=DF=22m, EF=DFtan60°=26(m). 因为

AB?62(m). ?tan30??,所以AB?BE?3BE3

10.-4.

?a?b?c?4,由于二次函数的图象过点A(-1,4),点B(2,1),所以? 4a?2b?c?1,?

?b??a?1,解得 ? c?3?2a.?

因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点,所以??b2?4ac?0, 8

(?a?1)2?4a(3?2a)?0,即(9a?1)(a?1)?0,由于a是正整数,故a?1,所以a≥2. 又因为b+c=-3a+2≤-4,且当a=2,b=-3,c=-1时,满足

题意,故b+c的最大值为-4.

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分) 11.如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC 是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点P. 问EP与PD是否相等?证明你的结论.

解:DP=PE. 证明如下:

因为AB是⊙O的直径,BC是切线, 所以AB⊥BC.

由Rt△AEP∽Rt△ABC,得 EPAE

. ① ……(6分) ?

BCAB

又AD∥OC,所以∠DAE=∠COB,于是Rt△AED∽Rt△OBC. EDAEAE2AE故 ② ……(12分) ???BCOB1AB

AB2

由①,②得 ED=2EP.

所以 DP=PE. ……(15分)

12.某人租用一辆汽车由A城前往B城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:小时)如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线(要有推理过程),并求出所需费用最少为多少元?

解:从A城出发到达B城的路线分成如下两类:

(1)从A城出发到达B城,经过O城. 因为从A城到O城所需最短时间为26小时,从O城到B城所需最短时间为22小时. 所以,此类路线所需 最短时间为26+22=48(小时). ……(5分)

(2)从A城出发到达B城,不经过O城. 这时从A城到达B城,必定经过C,D,E城或F,G,H城,所需时间至 少为49小时. ……(10分)

综上,从A城到达B城所需的最短时间为48 小时,所走的路线为: A→F→O→E→B. ……(12分) 所需的费用最少为:

80×48×1.2=4608(元)…(14分) 答:此人从A城到B城最短路线是

A→F→O→E→B,所需的费用最少为4608元

13B.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°.

CD2?BD2AD?BD(1)当点D在斜边AB内部时,求证:. ?2BCAB(2)当点D与点A重合时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.

(3)当点D在BA的延长线上时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.

解:(1)作DE⊥BC,垂足为E. 由勾股定理得

CD2?BD2?(CE2?DE2)?(BE2?DE2)

?CE?BE?(CE?BE)BC.22 E C

B D A

CD2?BD2CE?BECEBE???所以 . 2BCBCBCBC

因为DE∥AC,所以 CEADBEBD. ?,?BCABBCAB

CD2?BD2ADBDAD?BD???故 . ……(10分) 2ABABABBC

(2)当点D与点A重合时,第(1)小题中的等式仍然成立。此时有

AD=0,CD=AC,BD=AB.

CD2?BD2AC2?AB2?BC2

????1, 所以 222BCBCBC

AD?BD?AB???1. ABAB

从而第(1)小题中的等式成立. ……(13分)

(3)当点D在BA的延长线上时,第(1)小题中的等式不成立.

作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,则

CD?BDCE?BE?BC2BC2 CE?BE2CE????1?,BCBC2222 E AD?BD?AB而???1, ABABBA

CD2?BD2AD?BD?所以 . ……(15分) ABBC2

10

〖说明〗第(3)小题只要回答等式不成立即可(不成立的理由表述不甚清 者不扣分).

14B.已知实数a,b,c满足:a+b+c=2,abc=4.

(1)求a,b,c中的最大者的最小值;

(2)求a?b?c的最小值.

解:(1)不妨设a是a,b,c中的最大者,即a≥b,a≥c,由题设知a>0,

4且b+c=2-a,bc?. a

4于是b,c是一元二次方程x2?(2?a)x??0的两实根, a

4??(2?a)2?4?≥0, a

a3?4a2?4a?16≥0,(a2?4)(a?4)≥0. 所以a≥4. ……(8分)

又当a=4,b=c=-1时,满足题意.

故a,b,c中最大者的最小值为4. ……(10分)

(2)因为abc>0,所以a,b,c为全大于0或一正二负.

1)若a,b,c均大于0,则由(1)知,a,b,c中的最大者不小于4,这

与a+b+c=2矛盾.

2)若a,b,c为或一正二负,设a>0,b<0,c<0,则

a?b?c?a?b?c?a?(2?a)?2a?2,

由(1)知a≥4,故2a-2≥6,当a=4,b=c=-1时,满足题设条件且使得不等式等号成立。故a?b?c的最小值为6. ……(15分)

13A.如图所示,⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2?2(k?2)x?k?0(k是整数)的最大整数根. P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点B,C是直线PBC与⊙O的交点. 若PA,PB,PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,求

PA2?PB2?PC2的值.

解:设方程x2?2(k?2)x?k?0的两个根

为x1,x2,x1≤x2.由根与系数的关系得

x1?x2?4?2k, ①

11 P

x1x2?k. ②

由题设及①知,x1,x2都是整数. 从①,②消去k,得

2x1x2?x1?x2?4,

(2x1?1)(2x2?1)?9.

由上式知,x2?4,且当k=0时,x2?4,故最大的整数根为4. 于是⊙O的直径为4,所以BC≤4.

因为BC=PC-PB为正整数,所以BC=1,2,3或4. ……(6分) 连结AB,AC,因为∠PAB=∠PCA,所以PAB∽△PCA,

PAPC。 ?PBPA

故 PA2?PB(PB?BC) ③ ……(10分)

(1)当BC=1时,由③得,PA2?PB2?PB,于是

PB2?PA2?(PB?1)2,矛盾!

(2)当BC=2时,由③得,PA2?PB2?2PB,于是

PB2?PA2?(PB?1)2,矛盾!

(3)当BC=3时,由③得,PA2?PB2?3PB,于是

(PA?PB)(PA?PB)?3PB,

由于PB不是合数,结合PA?PB?PA?PB,故只可能

?PA?PB?1,??PA?PB?3PB,?PA?PB?3,?PA?PB?PB, ??PA?PB?PB,PA?PB?3,??

?PA?2,解得 ? PB?1.?

此时 PA2?PB2?PC2?21.

(4)当BC=4,由③得,PA2?PB2?4PB,于是

(PB?1)2?PB2?4PB?PA2?(PB?2)2,矛盾.

综上所述

12

PA2?PB2?PC2?21. ……(15分)

14A.沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式

(a?d)(b?c)>0,那么就可以交换b,c的位置,这称为一次操作.

(1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a?d)(b?c)≤0?请说明理由.

(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,…,2003,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a?d)(b?c)≤0?请说明理由.

解:(1)答案是肯定的. 具体操作如下:

2

2……(5分)

(2)答案是肯定的. 考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P. ……(7分)

开始时,P0=1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1,经过k(k≥0)次操作后,这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk,此时若圆周上依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式(a?d)(b?c)>0,即ab+cd>ac+bd,交换b,c的位置后,这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk?1,有

Pk?1?Pk?(ac?cb?bd)?(ab?bc?cd)?ac?bd?ab?cd?0.

所以Pk?1?Pk??1,即每一次操作,相邻两数乘积的和至少减少1,由于相

13

邻两数乘积总大于0,故经过有限次操作后,对任意依次相连的4个数a,b,c,d,一定有(a?d)(b?c)≤0. ……(15分)

14

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