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2008_高等数学竞赛试题

发布时间:2013-10-07 17:30:02  

08 高等数学竞赛试题

一、填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)

1.设函数f(x)??sinx

0sin(at2)dt,g(x)?x3?x4,且当x?0时,f(x)与g(x)为等

价无穷小,则a? 。

2.设函数y?x2x在x?x0点处取得极小值,则x0?。 ??dx?。 3.?21x(x?1)

4. 设函数y?y(x)由方程e2x?y?cos(xy)?e?1所确定, 则曲线y?y(x)在点(0,1)处的法线方程为二、选择题:(本题15分,每小题3分。)

1.设函数f(x)连续,则下列函数中必为偶函数的是( )

(A)?t[f(t)?f(?t)]dt; (B)?t[f(t)?f(?t)]dt; 00xx

(C)?f(t2)dt; (D)?[f(t)]2dt。 00xx

2.设函数f(x)具有一阶导数,下述结论中正确的是( )

(A)若f(x)只有一个零点,则f?(x)必至少有两个零点;

(B)若f?(x)至少有一个零点,则f(x)必至少有两个零点;

(C)若f(x)没有零点,则f?(x)至少有一个零点;

(D)若f?(x)没有零点,则f(x)至多有一个零点。

3.设函数f(x)在区间(0,??)内具有二阶导数,满足f(0)?0,f??(x)?0,又0?a?b,则当a?x?b时恒有( )

(A)af(x)?xf(a); (B)bf(x)?xf(b);

(C)xf(x)?bf(b); (D)xf(x)?af(a)。

tanxxdx,I1??4dx,则( ) 4.设I1??0xtanx

(A) I1?I2?1;(B)1?I1?I2;(C)I2?I1?1;(D)1?I2?I1 ?40? 1

5.设平面?位于平面?1:x?2y?z?2?0与平面?2:x?2y?z?6?0之间,且将此两平面的距离分为1:3,则平面?的一个方程为 ( )

A.x?2y?z?0 B. x?2y?z?8?0

C. x?2y?z?8?0 D. x?2y?z?3?0

三、(本题6分)已知曲线y?f(x)与曲线y??arctanx

0处具有相(0,0)edt在点?t2

2同的切线,写出该切线方程,并求极限limn?f()。 n??n

?2?x2(1?cosx),若x?0

?若x?0 四、(本题10分)设函数f(x)??1,

?1x??cost2dt,若x?0?x0

试讨论f(x)在x?0处的连续性和可导性。

五、设f(x)?x2sin2x,求f(n)(0)(n?3)。(本题10分)

dx 六、(本题8分)计算不定积分?x

ex?e2

七、(本题8分)已知f(x)具有二阶连续导数,f(?)?1,且

?[f(x)?f??(x)]sinxdx?3 求f(0) 0?

八、(本题10分)过坐标原点作曲线y?lnx的切线,该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形D.

(1) 求D的面积A;

(2) 求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V.

九、(本题8分)计算?

?03x?sin5xdx

2

十、(本题10分)设f,g:[a,b]?R是可导函数,且g??0,证明:存在

f(a)?f(c)f?(c) ?c?(a,b),使?g(c)?g(b)g(c)

3

一、填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)

1. 。

12.? 。 ln2

3.1?ln2 。

1x?1 2

二、选择题:(本题15分,每小题3分。)

1.( A )

2.( D )

3. (B)

4.( B )

5.( D )

三、(本题6分)2

四、(1) f(x)在x?0连续。

(2) f(x)在x?0可导。 4. y?

五、设f(x)?x2sin2x,求f(n)(0)

六、?2e?1?2ln(1?e)?C

七、 f(0)?2

1八、(1)面积A;e?1 2

(2)体积?

九、??x2x2(n?3)。(本题10分) ?6(5e2?12e?3) 4 5

十、证明:取辅助函数为F(x)?f(x)g(x)?f(a)g(x)?f(x)g(b), 则F(x)在区间

[a,b]上连续且可导,显然F(a)?F(b)??f(a)g(b)

故由罗尔中值定理,存在c?(a,b),使得F?(c)?0,再由g??0,知g(b)?g(c),因此,结论成立。

4

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