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2008初中数学竞赛

发布时间:2013-10-07 17:30:04  

“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛

试题参考答案及评分标准

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分.每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分)

(1)已知实数x,y满足 42442,则. ??3,y?y?3?y4的值为( A )424xxx

(C)

(D)5 (A)7 (B)

22解:因为x?0,y≥0,由已知条件得

12??y??

, x2所以422422?y??3?3?y??y?6?7. 422xxx

2(2)把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数y?x?mx?n的图象与x轴

有两个不同交点的概率是( C ).

(A)54117 (B) (C) (D) 129236

解:基本事件总数有6×6=36,即可以得到36个二次函数.

由题意知?=m?4n>0,即m>4n.

通过枚举知,满足条件的m,n有17对. 故P?2217. 36

(3)有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可以确定的不同直线最少有( B ).

(A)6条 (B) 8条 (C)

10条 (D)12条

解:如图,大圆周上有4个不同的点A,B,C,D,

两两连线可以确定6条不同的直线;小圆周上的两个点

E,F中,至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与

1

BD的交点,则它与A,B,C,D的连线中,至少有两条不同于A,B,C,D的两两连线.从而这6个点可以确定的直线不少于8条.当这6个点如图所示放置时,恰好可以确定8条直线.所以,满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条.

(4)已知AB是半径为1的圆O的一条弦,且AB?a?1.以AB为一边在圆O内作正△ABC,点D

为圆O上不同于点A的一点,且DB?AB?a,DC的

延长线交圆O于点E,则AE的长为( B ).

(A

)a (B)1 2

(D)a (C

解:如图,连接OE,OA,OB. 设?D??,

则?ECA?120?????EAC. 11?ABD??60??180??2???120???, 22

所以△ACE≌△ABO,于是AE?OA?1. 又因为?ABO?

(5)将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( D ).

(A)2种 (B)3种 (C)4种 (D)5种

解:设a1,a2,a3,a4,a5是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列.

首先,对于a1,a2,a3,a4,不能有连续的两个都是偶数,

否则,这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾.

又如果ai(1≤i≤3)是偶数,ai?1是奇数,则ai?2是奇数,

这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数,

除非接的这个奇数是最后一个数.

所以a1,a2,a3,a4,a5只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下5种情形满足条件: 2,1,3,4,5; 2,3,5,4,1; 2,5,1,4,3;

4,3,1,2,5; 4,5,3,2,1.

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

(6)对于实数u,v,定义一种运算“*”为:u?v?uv?v.若关于x的方程

1x?(a?x)??有两个不同的实数根,则满足条件的实数a的取值范围是. 4

2

【答】a?0,或a??1.

解:由x?(a?x)??11,得(a?1)x2?(a?1)x??0, 44

2依题意有 ??a?1?0,

???(a?1)?(a?1)?0,解得,a?0,或a??1.

(7)小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟

从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟.

【答】4.

解:设18路公交车的速度是x米/分,小王行走的速度是y米/分,同向行驶的相邻

两车的间距为s米.

每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则6x?6y?s. ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则3x?3y?s. ② 由①,②可得 s?4x,所以 s?4. x

即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟.

(8)如图,在△ABC中,AB=7,AC=11,点M是BC的中点, AD是∠BAC 的平分线,

MF∥AD,则FC的长为 .

【答】9.

解:如图,设点N是AC的中点,连接MN,

则MN∥AB.又MF//AD,

所以 ?FMN??BAD??DAC??MFN,

1AB. 2

11因此 FC?FN?NC?AB?AC?9. 22所以 FN?MN?

(9)△ABC中,AB=7,BC=8,CA=9,过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC,分别与

AB,AC相交于点D,E,则DE的长为 . 【答】16. 3

3

解:如图,设△ABC的三边长为a,b,c,内切圆I的半径为r,BC边上的高为ha, 则11aha?S△ABC?(a?b?c)r, 22

ra. ?haa?b?c所以

因为△ADE∽△ABC,所以它们对应线段成比例,

因此 ha?rDE?, haBC

ha?rraa(b?c)?a?(1?)a?(1?)a?, hahaa?b?ca?b?c所以DE?

故DE?8?(7?9)16?. 8?7?93

22(10)关于x,y的方程x?y?208(x?y)的所有正整数解为 .

【答】??x?48,?x?160, ??y?32,?y?32.

解:因为208是4的倍数,偶数的平方数除以4所得的余数为0,奇数的平方数除以4所得的余数为1,所以x,y都是偶数.

设x?2a,y?2b,则a?b?104(a?b),

同上可知,a,b都是偶数.设a?2c,b?2d,则c?d?52(c?d), 所以,c,d都是偶数.设c?2s,d?2t,则s?t?26(s?t),

于是(s?13)?(t?13)=2?13,其中s,t都是偶数.

所以(s?13)?2?13?(t?13)≤2?13?15?11. 2所以s?13可能为1,3,5,7,9,进而(t?13)为337,329,313,289,257,故222222222222222

?s?6,?s?20,?x?48,?x?160,s?13只能是(t?13)=289,从而=7.有?故 ? ??y?32,y?32.t?4;t?4,????2

三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)

4

(11)在直角坐标系xOy中,一次函数y?kx?b的图象与x轴、y轴的正(k?0)

半轴分别交于A,B两点,且使得△OAB的面积值等于OA?OB?3.

(Ⅰ)用b表示k;

(Ⅱ)求△OAB面积的最小值.

解:(Ⅰ)令x?0,得y?b,b?0;令y?0,得x??b?0,k?0. k

b

k

1b于是,△OAB的面积为S?b?(?). 2k

1bb由题意,有 b?(?)???b?3, 2kk所以A,B两点的坐标分别为A(?,0),B(0,b),

2b?b2

解得 k?,b?2. ???????? 5分 2(b?3)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

1bb(b?3)(b?2)2?7(b?2)?10S?b?(?)?? 2kb?2b?

2

?b?2?102?7?)?7?7?2, b?2当且仅当b?2?10时,

有S?, b?2

即当b?2?,k??1时,不等式中的等号成立.

所以,△OAB面积的最小值7?2. ?????? 15分

(12)已知一次函数y1?2x,二次函数y2?x?1. 是否存在二次函数2

y3?ax2?bx?c,其图象经过点(-5,2),且对于任意实数x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1,y2,y3,都有y1≤y3≤y2成立?若存在,求出函数y3的解析式;若不存在,请说明理由.

解:存在满足条件的二次函数.

5

2因为 y1?y2?2x?(x?1)??x?2x?1??(x?1)≤0, 22

所以,当自变量x取任意实数时,y1≤y2均成立. 由已知,二次函数y3?ax?bx?c的图象经过点(-5,2), 得25a?5b?c?2. ① 当x?1时,有y1?y2?2,y3?a?b?c.

由于对于自变量x取任意实数时,y1≤y3≤y2均成立, 所以有2 ≤a?b?c≤2,故a?b?c?2. ② 由①,②,得 b?4a,c?2?5a,所以y3?ax?4ax?(2?5a).??? 5分 当y1≤y3时,有 2x≤ax?4ax?(2?5a),

即 ax?(4a?2)x?(2?5a)≥0,

所以二次函数y?ax?(4a?2)x?(2?5a)对于一切实数x,函数值大于或等于零, 22222

?a?0,?a?0,1故? 即所以.?????? 10分 a??223(4a?2)?4a(2?5a)?0.(3a?1)?0,??

当y3≤y2时, 有 ax?4ax?(2?5a)≤x?1, 即(1?a)x?4ax?(5a?1)≥0,

所以二次函数y?(1?a)x?4ax?(5a?1)对于一切实数x,函数值大于或等于零, 故?2222?1?a?0,

2?(?4a)?4(1?a)(5a?1)?0. 即??a?1,

2?(3a?1)?0, 所以 a?1. 3

141,b?4a?, c?2?5a?. 333

1241所以,存在二次函数y3?x?x?,在实数范围内,对于x的同一个值,333综上,a?都有y1≤y3≤y2成立. ?????? 15分 6

(13)是否存在质数p,q,使得关于x的一元二次方程px?qx?p?0

有有理数根?

解:设方程有有理数根,则判别式为平方数.令??q?4p?n,

其中n是一个非负整数.则(q?n)(q?n)?4p. ?????? 5分 由于1≤q?n≤q+n,且q?n与q?n同奇偶,故同为偶数.

因此,有如下几种可能情形: 22222

?q?n?2,?q?n?4,?q?n?p,?q?n?2p,?q?n?p2, ? ? ? ? ?22q?n?4p,q?n?2p,q?n?2p,q?n?p,q?n?4.?????

消去n, p25pp2

解得q?p?1. , q?2?, q?, q?2p, q?2?2222

?????? 10分

对于第1,3种情形,p?2,从而q=5;

对于第2,5种情形,p?2,从而q=4(不合题意,舍去);

对于第4种情形,q是合数(不合题意,舍去).

又当p?2,q=5时,方程为2x?5x?2?0,它的根为x1?

是有理数.

综上所述,存在满足题设的质数. ?????? 15分

(14)如图,△ABC的三边长BC?a,CA?b,AB?c,a,b,c都是整数,且

点G和点I分别为△ABC的重心和内心,且?GIC?90?.求a,b 的最大公约数为2.

△ABC的周长.

解:如图,延长GI,与边BC,CA分

别交于P,Q.

设重心G在边BC,CA上的投影分别

为E,F,△ABC的内切圆的半径为r,21,x2?2,它们都2

7

BC,CA边上的高的长分别为ha,hb,易知CP=CQ,

由S△PQC?S△GPC?S△GQC, 可得2r?GE?GF?

即 2?1?ha?hb?, 3??, ?2S△ABC1?2S△ABC2S△ABC????a?b?c3?ab

从而可得 a?b?c?6ab. ?????? 10分 a?b

因为△ABC的重心G和内心I不重合,

所以,△ABC不是正三角形,且b?a,否则,a?b?2,可得c?2,矛盾. 不妨假设a?b,由于?a,b??2,设a?2a1,b?2b1,?a1,b1??1, 于是,有6ab12a1b1?为整数, a?ba1?b1

所以有(a1?b1)12,即(a?b)24.

于是只有a?14,b?10时,可得c?11,满足条件.

因此有a?b?c?35.

所以,△ABC的周长为35. ?????? 15分 8

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