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从数学历史形态看小学数学基础知识

发布时间:2013-10-08 08:02:44  

从数学历史形态看小学数学基础知识

冯德雄

(成都大学 师范学院 四川 成都 610036)

摘 要 一直存在这种观点,认为小学数学知识,人人都容易掌握,不必再研究和学习了,有的学院就在教育系开设小学数学教育专业,其实不然。实事上,作为高师范院校数学教育专业课程,就已开设有中学数学的近代基础,高观点下的初等数学,也包括了小学数学的部分内容。运应而生的是居高临下看小学数学知识,见[1]。我们发现在进行小学数学研究时,不能回避数学史的问题,即从数学历史形态研究小学数学内容。

关键词 小学数学;历史形态;教育形态;数学课程;教学

1.小学数学的课程内容

新课程的小学数学内容包括四个领域:数与代数、空间与图形 、统计与概率 、实践 与应用。再细划分并概括有:(1)数、算与关系:认数、写数、进位制、分数、小数、百分数、代数、比例、+-×÷、负数;比大小、因数、倍数、质数与合数;(2)计量:时间、人民币、长度、面积、体积、重量;(3)空间图形:识图、观察、测量、画、形、体;(4)方法:运算律、规律、生活问题;(4)统计:分类、可能性、大小、统计表 。

目前对小学数学的研究,从高观点看小学数学知识内容,见[1],以及中学数学的近代基础中包括了小学数学的部分内容。数学知识是逐级抽象的,从高观点看,就是从数学抽象的上级向下一级看,更抽象的看较抽象的对象。如对于自然数,有冯诺.伊曼的序数构造,自然数的皮亚诺公理系统。容易被一般中小学教师接受的是用等价有限集合的共同特征说明自然数[2],通过等价类定义分数;用一般的进位制说明十进制,用代数学的群环域来看自然数的运算,通过计算数学的算法看自然数的运算;用测度来说明长度,面积等。

对小学数学课程内容的研究,不能回避数学史的问题,要从数学产生与发展的历史来研究小学数学,从数学的各时期和各阶段的历史形态来认识小学数学。

2. 数学知识的三种形态

张奠宙教授在“关于数学知识的教育形态”一文[3]中提出了数学知识的学术形态和教育形态两个概念。他把以准确的定义、逻辑的演绎,严密的推理为呈现特征的数学形态称作为学术形态,把能够展示数学美感,结合学生的认知特点和年龄特征,对数学知识重新整理加工,展现数学活动的过程和数学家的思想方法,体现数学价值,提示数学本质,能够感染激励学生的散发着数学巨大魅力的数学形态称之为教育形态。学术形态体现数学结果,教育形态多反映数学过程。数学的教学目标之一就是要通过教师对数学教学内容进行策略性和实际性的再创造,从而把数学知识的学术形态转化为教育形态。数学的学术形态是理性的,是一种“冰冷的美丽”,它掩盖了数学本身所具有的“火热思考”。因此,如何从“冰冷的美丽”到“火热的思考”是每一个数学教师共同需要面对的问题,如何优化数学教育形态不仅需要数学本身,而且需要历史地去思考数学的知识形态。

关于上述的两种形态,我们认为基于数学教学和优化教育形态需要而言,应提出数学知识的另一种形态,就是历史形态。把数学知识的产生和发展过程,并在数学发展的各个历史时期和阶段所处的形态称为历史形态或原始形态。微观地看也包括数学家发明创造、证明数学命题时所进行的繁复曲折的数学思维过程。所谓返朴归真就是要还数学知识的历史形态。比如,数系的教学发展与数系的历史发展,这就反映了数系的教育形态与历史形态。这 1

两种形态的发展过程形态类似,其中数系的学习有历史过程的,也有非历史过程的。又如,自然数的教学两种形态一致,但负数的教学就不一样了。对于新课程中“勾股定理”与“数的开方”两部分,从发现数学的角度,即历史的形态来看,先学“勾股定理”,后学“数的开方”,同时也是符合教育教学规律的。但历史形态的数学知识成为教育形态需要选取和加工。比如,对自然数的教学就不能完全按自然数形成的历史过程进行教学。如欧几里得的《几何原本》刚写成面市是学术形态的,但后来作为教材就应该是教育形态了。但是相对地说,几何原本的公理体系,是学术形态的,而扩大了的公理体系是教育形态的。又如“对数”与“指数”,历史形态是“对数”先于“指数”,而教育形态是“指数”先于“对数”,教材中的对数、指数概念是历史、学术、教育形态的融合,是在对“对数”、“指数”的学术形态作教学法的加工后形成的。“微分”与“积分”概念也类似。如果说学术是冰冷的,教育是火热的,那么历史是原始的,生态的和天真活泼的。

数学历史形态对我们数学课程呈现形式和对教育形态的启示:(1)各阶段的数学历史形态的元素可吸收到教育形态中,有的几乎是历史形态的再现,只是时间的长度不同而已;

(2)数学课程选择的数学知识一般来说是先进的、成熟的形态,不是原始的、朴素的形态,但对于在数学教学活动中,需要原始的、朴素的元素;(3)对一段时期的数学知识成果选取,并作一定的加工、整理后的转化为教育形态,但纯粹的形式化(如公理方法)的加工,不考虑学生的年龄特征和教育心理学的原理的加工,就掩盖了数学活动的过程,使数学又回到了学术形态,使数学重新变成了“冰冷”,就破坏了数学知识三种形态的有机联系。

3.从数学历史形态看小学数学基础知识

3.1 关于自然数的认识

德国数学家克罗内克有一句名言:“上帝造就了自然数,其它的数都是人为的”。分数、小数都是人为的模型。数系的历史发展过程是:自然数(不包括零)——零——正分数——负数——有理数——无理数——实数——虚数——复数。我们在中小学对数系进行教学也是按这一过程进行的,数系的教育形态与历史形态基本一致。但是数系的逻辑扩展与之是不同的,即数系学术形态与之不一样。自然数概念的形成经历了漫长的历史过程,古代人们先是把一个物体与多个物体的区分,才认识1,2。甚至认识3和3以上就是多了,就不再区别。记数是用手指,树木上刻痕,绳上打结。开始是用象形字表示数,如古巴比伦和古埃及,中国在三千多年前已用甲骨文表示一、二、三。。。,后来中国古代用算筹记数。阿拉伯数字“1,2,3,4,5,6,7,8,9,0”是在十六世纪才发展成现在的形状。在记数的同时各种进位制记数法也产生,如二进制,二十、六十、十进制等。这时零还被认识为空位,不作为数来看,后来才是用“0”表示没有。现在通用的表示“零”的数码“0”,大约在公元6~8世纪由印度人首先使用。两千多年前,老子的《道德经》总结了自然数的生成:“道生一,一生二,二生三,三生万物”。可见自然数的历史形态:物体多少区分——抽象出1,2,。。。——再产生3,4,5,7,8,9——进位制与0——现代的阿拉伯数。

新课程中自然数的呈现过程:先从区分物体,数数,认识序数开始,用古代人们记数类似的替代物——数捧。在学龄前的儿童已经开始认识数,这一过程类似我们的古代先祖认识数。教育心理学家皮亚杰认为,数概念的发展不会早于类(分类结构)的发展,这一成果未反映在小学教材中,因为教材开始呈现的并不是分类。通常我们认为分类是在后面的学段来学习。我们可以想像人类的祖先对分类的认识和数的认识几乎是同时的。

3. 2 关于分数、小数的认识

分数与小数是人为的模型,但仍它产生于生产和实际需要,由于度量和均分的需要,就产生了分数。人类认识分数,也经历了一个漫长的历史过程。古代人们认识分数最先从整 2

体与部分的关系开始的。如一个度量单位的一定部分,开始只使用了具体的分数,如一半、一半的一半等。后来才逐渐出现了三分之一、三分之二等分数。古巴比伦按照整数的六十进制来表示分数,古埃及(公元前1700年),用一个卵形或点写在整数上来表示分数,古希腊开始用分子和分母了,但没有分数线,并都是用字母表示数。中国古代表示分数是用算筹除法。世界上最早系统阐述分数的著作是中国的《九章算术》。关于分数线,最早是在中亚细亚阿尔.哈萨的著作中。几乎同时,意大利的数学家斐波那契的著作中,如121写成2

“radices12”。这是在欧洲最早出现的分数线。分数线出现后,并没有被大家所采用,直到十八世纪末叶,开始用a/b来表示12a。 b

分数的历史发展过程:度量和均分——朴素的分数、粗繁的分数记法和运算——分数线的出现——现代的分数记法和运算。新课程中分数的呈现过程:除法——平均分与度量长度——分数的定义和运算。分数的历史形态是先有除的运算后才出现分数的,分数在教材中呈现顺序与历史发展一致。分数的记法经历了漫长的时期,而在分数的学习中是瞬间的事,度量与平均分与分数的单位是学习的难点。教学分数的定义有四种[1],如选择“将一个单位的物体平均分,表示这样的一份或几份的数叫分数”,新课程教材选用的这个较直观的定义,这与分数产生的历史形态相关。

小数产生是十进制记数和度量衡计量的需要,是十进制记数沿着相反方向的延伸[1]。中国自古以来就使用十进制记数法,度量衡单位也采用十进制,因此小数的应用开始很早(公元三世纪),但是当时计算都用算筹算,所以小数只有文字表示,如“微数”。在西方,小数出现很晚。欧洲长期采用六十进制分数,到十六世纪末才完全掌握小数的性质和运算方法。1530年德国人开始用小数,用一竖把整数与小数部分隔开。1585年荷兰人采用了十进制,用小数来书写分数,但记法很不方便。以小数点作为整数与小数部分分界,在1608年才使用。十九世纪末,还有不同的小数点,现在是逗号和小黑点两种[2]。循环小数在十七世纪才出现,关于它的理论,到十八世纪、十九世纪才有人研究。小数历史发展过程:进位制(六十,十)、分数——度量单位——更小的度量单位——记法——文字——小数点(竖线——小黑点,逗号)。小学数学课程呈现过程:分数到小数,度量到小数。在社会生活中,儿童较早接触了货币,元、角、分,长度,米、分米、厘米、毫米。小数比分数好学,甚至对无限小数只要通过除法的运算就可直观感知无限。教材中小数教育形态与其历史形态不相同。

3.3 自然数的运算

古代人们已能够用替代物和符号记数了,但进行四则运算却不是容易的事,尽管现在每一个小学生都能够掌握。埃及的四则运算是采用迭加法,计算起来比较繁复。中国古代用算筹,靠摆弄算筹进行四则运算。由于算筹要不断地改变算筹的摆列形式,计算速度很慢。后来发展成由算筹演变而来的珠算。欧洲在阿位伯数字传入之前,采用罗马数字,计算起来也十分复杂。公元十五世纪,乘法的计算方法已有好几种。到十五世纪末,现代使用的笔算乘法已开始出现。中世纪欧洲流行的除法和现在也很不相同。四则运算的种种符号是从十五世纪才开始逐渐使用的。加号“+”、减号“—”,是德国数学家魏德曼首创,在十七世纪,乘号“×”是由英国数学家欧德莱最先使用的,除号“÷”是由瑞士人拉恩创造的。等号“=”是在十六世纪由一位英国人首先使用。乘号“﹒”,及比号“︰”是在十七世纪由著名德国数学家莱布尼兹正式使用。可见,在十七世纪以前,四则运算和笔算法还是很繁复的,一方面是记数符号和运算符号不简洁,另一方面是算法不先进。

值得一提的是,古代西方以《几何原本》为代表,数学发展成以公理化的演绎体系,而古代东方以《九章算术》为代表,数学发展成以算术、以术为主的算法体系[5]。 3

小学数学的记数、运算符号都是成熟的,它的算术、算法相对先进。小学的算法中,有加减的横式与竖式算法,凑十法,先乘除后加减,从内到外脱括弧,九九表口诀,最小公倍数、最大公约数的求法等。小学四则运算笔算法的竖式方法,它的完善和成熟大约在十七世纪。算术和算法理论基础是进位制、位值记数和总结出的运算律。一般来说小学生学习算法的步骤而不学原理,现在的新课程学习算法是多样性的,打破以前只重视竖式计算的局面。如先做横式计算,然后做竖式计算。算法的多样性可发展学生探索寻求好的算法的思维能力。

3.4 几何概念与几何图形

小学数学包含了一定比重的几何与图形,主要是直观几何的内容。点、线、面,体基本概念从现实世界抽象出来类似于自然数的抽象过程。古代人们是先看到了物体的形状,再动手画物体的图形。史前人大概首先是从自然界本身提取几何形式,太阳、月亮的圆形,树干、树叶的形状以及人的身体和动物的一些形状。古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量。在古代中国,几何学起源于天文观测。具体的自然形象,产生和想像并画出,可以说形先于数,因为先有象形文字,再用它来表示数。“点”与“线”是人们观察自然界抽象的结果,单词“点”和“线”都是从拉丁语翻译过来的。在中国古代数学著作《周髀算经》(公元前2世纪西汉时期)中,有测量长度,计算面积、体积的公式,测日高方法。书中记载有西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话,周公后人荣方与陈子的对话中,包含了勾股定理的一般形式[5]。三国时期的赵爽运用相当于面积的出入相补证明了勾股定理。论证数学发端于希腊,泰勒斯(公元前600年)是论证数学的鼻祖,他发现并证明了许多几何定理。在公元前600年至公元600年间,古希腊的哲学、逻辑学与数学紧密结合,出现了很多数学以及几何成果,欧几里得的《几何原本》是希腊论证几何学的集大成。

几何的部分历史发展过程:测量——计算与度量——观测与画图形——位置与度量关系(规律)——论证几何实事——欧氏几何——解析几何。小学几何主要是直观几何以及一点演绎几何意识。这部分知识成果是欧氏几何以前的内容,也有它以后的坐标思想与几何变换的思想。小学的几何知识一开始与几何历史形态接近,有几何概念形成过程的历史沉淀。如观察几何图形,学习画直线、线段,度量线段、角。描述直线、点、射线、线段、角。认识几何图形,如三角形、长方形,圆、多边形。用三角板画平行线、垂线。通过动手操作,积累对图形的经验,如多连块拼图,正方体的表面展开图;认识对称与轴对称图形,镶嵌平面。因此小学的数学教学强调直观感知与操作确认两个环节。关于演绎的成分:对几何概念的明确、本质属性的把握,如直线、线段的概念与生活中习惯的认识不一样。三段论的推理,如由三角形内角和结论指出具体的一个三角形内角和;几何图形的分类。小学先学几何基本概念再到几何实事的猜想、验证,历史形态先发现几何实事再到证明和整理成演绎体系。

3. 5 统计与概率

小学数学课程内容是可变的,如新增加的一定的概率与统计的内容和几何变换的知识。概率与统计是20世纪发展最快的学科之一,也是小学课程中最新的数学知识,同时也是儿童在现实生活中经常接触到的。这部分知识很接近现实生活,概率与统计的历史时间也离他们近,课程内容的呈现不同于历史形态,但也有一些历史的元素,如博弈的例子、古典概型。从儿童的生活经历、见闻呈现数学课程的知识,这是最近的历史形态。

参考文献

[1] 张奠宙,孔凡哲等. 小学数学研究[M].北京:高等教育出版社,2009.1.

[2] 人民教育出版社小学数学室. 小学数学教材教法(第一册)[M].北京:人民教育出版社,2001.12.

[3] 张奠宙. 关于数学知识的教育形态[J]. 数学通报,2001.4.

[4] 张奠宙、王振辉. 关于数学知识的教育形态[J] .数学教育学报,2002.2.

[5] 李文林.数学史概论[M]. 北京:高等教育出版社,2002.8.

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Mathematical History from Primary School Mathematics

Elementary Knowledge See Form

Feng De-Xiong

(Chengdu university teachers College Chengdu in Sichuan province 610036)

Abstract:There has always been this view, think the elementary school mathematics knowledge, everyone is easy to grasp, don't have to study and learning, some college education in elementary school mathematics education professional open, actually otherwise. In fact, as normal university mathematics education high professional courses, has opened the middle school mathematics foundation, the modern high point of elementary mathematics, also including the elementary school mathematics, in part. Shipment should be born and look at the elementary school mathematics knowledge is commanding see [1]. We found that in the elementary school mathematics study, can't avoid the problem of the history of mathematics, that is, from mathematical history morphology research elementary school mathematics content. In this paper, the natural number, fractions and arithmetic analysis and research content such as, in order to the elementary school mathematics teaching material compilation and teaching get enlightenment.

Key words: elementary school mathematics; Historical form; Education form; Mathematics course; teaching

作者简介:冯德雄(1963-),男,重庆市人,硕士,成都大学师范学院副教授, 研究方向:数学教育心理与初等几何教学研究。

通迅地址:(610072)成都市金牛区白果林小区百寿路13号2栋8单元

电话号码:手机 13018277119, 固话 (028)87718979

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