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2008年上海新知杯初中数学竞赛试题解析

发布时间:2013-10-08 08:04:27  

2008年上海市“新知杯”初中数学竞赛

一、填空题
1、如图:在正 ?ABC 中,点 D 、 E 分别在边 BC 、CA 上,使得 CD ? AE , AD 与 BE 交于点 P , BQ ? AD 于点 Q .则

QP ? _____________. QB

C Q E P A D

从常识出发:△QPB 必为等腰直角三角形或为一内角 60°的直角三角 形,否则怎么可能求得出具体的值呢?一次三角形全等就可以搞定

B

一、填空题
2、不等式 x 2 ? 2 x ? 6 ? a 对于一切实数 x 都成立.则实数 a 的最大值为_____________.

应该用函数图像来解。 2 2 即: |2x-6|≥a-x 一作图可知: 6-2x≥a-x 有唯一交点, 则⊿=0, 完毕。 事实上:类似的方程或不等式均可以改为两个函数图像的方法来解决, 希望学生好好体会

一、填空题
3、设 a n 表示数 n 4 的末位数.则 a1 ? a 2 ? ? ? a 2008 ? _____________.

这题是周期问题,没有难度,找一下规律就可以知道答案

一、填空题
4、在菱形 ABCD 中, ?A ? 60? , AB ? 1 ,点 E 在边 AB 上,使得 AE : EB ? 2 : 1 ,

P 为对角线 AC 上的动点.则 PE ? PB 的最小值为_____________.

此题等同于:一三角形两边长分别为 1、1/3,两边所夹的角为 60°, 求第三条边的长度。但此题有两次转折:即考查两点之间直线段最短与 如何转换的问题。连接 PD,由对称性可知:PD=PB,D、P、E 在一直 线时有最小值;下一步的难点是:解三角形,快一点的言辞是用“余弦 定理” ,如果不会也没有关系,作高也能求出正确答案。

一、填空题
ax 2 ? 2a ? a 2 ? 1 的解为_____________. 5、关于 x 的方程 x ?1

当 a=0 时无解,当 a≠0 时,x=a+1,x=1+1/ a。 考虑到填空题的特殊性,这一题学生可能不得分。虽说是一道简单的含 字母的方程,但填空题的难度在于:你的答案与标准答案有丝毫的差别 ——均不得分。

一、填空题
6、如图:设 P 是边长为 12 的正 ?ABC 内一点,过 P 分别作三条边 BC 、 CA 、 AB 的垂 线,垂足分别为 D 、 E 、 F .已知 PD : PE : PF ? 1 : 2 : 3 .那么,四边形 BDPF 的面积 是_____________.

A

F B

P D

E C

本题知识点是: 1) ( 正三角形内一点到三边的距离等于三角形的高, 2) ( 面积比等于对应边之比的平方

一、填空题
7、对于正整数 n ,规定 n! ? 1 ? 2 ? ?? n .则乘积 1!?2!??? 9! 的所有约数中,是完全平 方数的共有_____________个.

分解质因数而已。仅有一个的不考虑,则 n!=230×313×55×73 ,一个乘法原理即可

解:把积分解质因数,得 30 个 2,13 个 3,5 个 5,3 个 7; 最大完全平方约数的平方根为 15 个 2,6 个 3,2 个 5,1 个 7; 它的约数的个数即是原数完全平方因数的个数,即(15+1)×(6+1)×(2+1)×(1+1) =672

个. 故答案为:672.

一、填空题
8、已知 k 为不超过 2008 的正整数,使得关于 x 的方程 x 2 ? x ? k ? 0 有两个整数根.则所 有这样的正整数 k 的和为_____________.

解:∵关于x的方程x2-x-k=0有两个整数根, ∴△=1+4k为完全平方数, ∴k=n(n+1)(n为正整数), ∴1×2+2×3+3×4+…+44×45=30360. 故答案为:30360

一、填空题
9、 如图: 边长为 1 的正 ?A1 B1C 1 的中心为 O , 将正 ?A1 B1C 1 绕中心 O 旋转到 ?A2 B2 C 2 , 使得 A2 B2 ? B1C 1 .则两三角形的公共部分(即六边形 ABCDEF )的面积为_________.

A2

A1 A F

B E B1 C B2 D

C2 C1

一、填空题
10、如图:已知 ?BAD ? ?DAC ? 9? , AD ? AE ,且 AB ? AC ? BE .则 ?B ? _____________.

A

B D C

E

二、如图:在矩形 ABCD 内部(不包括边界)有一点 P ,它到顶点 A 及边 BC 、 CD 的距 离都等于 1,求矩形 ABCD 面积的取值范围.

D

F

C E B

P A

?x ? 2y ? 0 ? 三、已知实数 x 、 y 满足如下条件: ? x ? 2 y ? 0 ,求 x ? y 的最小值. ?? x ? 2 y ?? x ? 2 y ? ? 4 ?

四、如图:在凹六边形 ABCDEF 中, ?A 、 ?B 、 ?D 、 ?E 均为直角, p 是凹六边形

ABCDEF 内一点, PM 、 PN 分别垂直于 AB 、 DE ,垂足分别为 M 、 N ,图中每条
线段的长度如图所示(单位是米) ,求折线 MPN 的长度(精确到 0.01 米).

五、求满足不等式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n 的最大正整数 n ,其中 ? x ? 表示不超过实 ? 2 ? ? 3 ? ? 11? ? 13 ? 数 x 的最大整数.

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