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2011年高等数学竞赛例题选讲

1

n

n??3n--------------------------------------------------------------------1 )?2，1n1n注意到lim2?1，由夹逼定理得 当x?1时，f(x)?1；----------------------------------1 113同理，当x?1时，f(x)?xlim(1?)n?x.------------------------------------------1 n??x

1?1x3?1?0，f?'(1)?lim?3，---------------------------2 而x?1时，因f?'(1)?limx?1?x?1x?1?x?1

x4f(x)?ln(1?x2)?x22?， 例2（8分）、设f(x)在x?0处具有二阶导数，且有lim6x?0x3

x4f(x)?ln(1?x2)?x22???,其中lim??0---------------------------------------------1 解：因x?0x63

ln(1?x2)?x2222?x??x,---------------------------------------------------------1 则f(x)??4x3

ln(1?x2)?x21?,-------------------------------------------2 于是，f(0)?limf(x)??lim4x?0x?0x2

1ln(1?x2)?x2?x4f(x)?f(0)?0-----------------------------------2 f'(0)?lim??lim5x?0x?0xx

f'(x)?f'(0)f(x)?f(0)2?2lim?．故f''(0)?lim---------------------------------------2 x?0x?0xx23

t1?x???1t4?4dt确定了y?y(x)，求dy|t?2． 例3（8分）、?dx?y?eysin(t?2)?1?

∴dy??8e．--------------------------------------------------------------------------------2 dtt?2dx

dtt?2dydtt?2

1

F2(x)??2sin22xdx?x?sin4x?C ----------------------------------------------------- 2

4

1

F2(0)?C?1 ，故F2(x)?x?sin4x?1 -----------------------------------------------2

4

1?cos4x

．----------------------------------------------------------------- 2 ?f(x)?

1

x?sin4x?14xearctanx

dx． 例5（8分）、计算?2(1?x)

tt

??

ttttt

=?(ecost?ecostdt)=?ecost?esint?esintdt，-------------2

??

1t

e(sint?cost)?C.--------------------------------------------------------1 ?2

(x?1)earctanx

2

2?x

xearctanxearctanxxarctanx

??------------------------------4 解（二）： 原式=? =222

?x?x(1?x)而esintdt?

t

=

xearctanx?x

2

??

1?x

2

de

arctanx

=

xearctanx?x

2

?

earctanx?x

2

??

xearctanx(1?x)

2

， -----2

(x?1)earctanx2?x

2

?C.------------------------------------------------------------2

secx3

secxsecx(xtanx?1)

)??解 ：由题意有f(x)?(---------------------------------2 xx2

3232?secx?原式?xf(x)?3?xf(x)dx?xf(x)?3?xd??----------------------------3

x??

secx

?x3f(x)?3(x2??2?secxdx)=xsecx(xtanx?4)?6lnsecx?tanx?C.------3

x

?

x?f?x?

x

g?t?x?dt??2x?1?f?x?，（1）求?g?x?dx；（2）求f'?0?．

1

?

x?f?x?

x

g?t?x?dt??2x?1?f?x?，易得?g?x?dx?1----2

1

?

x?f?x?

x

g?t?x?dt??

f?x?

g?u?du??2x?1?f?x?-------------------3

'

?1[2(2x2?1)f(x)?f''(x)]exdx?2e，且f'(?1)?f'(1)，

22求f(?1)?f(1)． 解：?1

?12(2x2?1)f(x)exdx??exdf'(x)?2e-----------------------------------------------------2 ?1

2212?1

?12(2x2?1)f(x)exdx?[f'(x)ex]1f'(x)xexdx?2e-------------------------------2 ?1?2??1

12122?f(x)dxex?2?xexdf(x)?2e------------------------------------------------------------------2 ?112?1

?2e故f(?1)?f(1)?1．则2[f(x)xex]1------------------------------------------------------------2 ?1

111limf(x)limf(x)f(x)dx?1,求与?f(x)dx. 0x?001?x2x?0

1a?1 -------------------------2 解：令limf(x)?a,?

f(x)dx?b，则f(x)?20x?01?x

a?1]?a?b------------------------------------------------------1 ?1故有

a?li2?x?01?

x

1a?b??(?1)dx??a?b??1-------------------------------------------------------3 01?x24

18??, ?f(x)dx?b?1. ----------------------------------2 由上述两式解之得limf(x)?a?2例9（8分）、

（2）利用（1）计算

x???t??0?0xf(sinx)dx??2?0?f(sinx)dx ?

?xsin2008x． 20082008sinx?cosx??00证明：（1）左

??sin2008x（2）原式??dx------------------------------------------------------------------1 20sin2008x?cos2008x

20082008???sinxsinx ?(?2dx?dx)-------------------------------------1 ?2008200820082008?02sinx?cosxx?cosx2sin??0xf(sinx)dx?

?x例11（8分）、求曲线y?esinx,x?0与x轴所围成图形的面积A. 解：A?22sinx?sin2008x?cos2008x2008x??u2???20cos2008xdx------------------------------2 sin2008x?cos2008x???

??esinx??(?1)?xn?0?n???n??n(n?1)?e?xsinxdx---------------------------------------------3 ??

x?n??t?e

n?0??0esintdt ??esintdt(?e?n?)----------------------------------------3 ?t0n?0?t?1?1?e????01e??1esintdt? .-------------------------------------------------------------------2 ?2e?1?t

1

V?V1?V2???[(kx)2?f2(x)]dx???[f2(x)?(kx)2]dx--------------------1 0tt23

??f(t)

t22(?x2dx??x2dx)???f2(x)dx???0t0

21t123t123tf2(x)dx 2f(t)??[tf2(t)?2]??f2(x)dx??f2(x)dx}--------------------------1 0t3t

41V'??(1?3)[tf'(t)?f(t)]f(t)-------------------------------------------2 3t

tt4解：令lnx?t即x?e，考虑方程4e?t?4t?k?0 ①--------------------------1 13

t3t2则f??t??4e?t?1 及 f???t??4e?3t?0②-------------------------1 ????

1?1有且仅有一个根，求k的取值范围. 2x

11解：设f(x)?kx?2?1，当k?0,f'(x)?k?3?0，f(x)为减函数-----------------2 xx

f(x)=??，limf(x)?0，故k?0满足题意-----------------------------------------2 又lim?例14（8分）、设当x?0时，方程kx?x?0x???

2，由f''(x)?0知其为极小点，------------2 k

23时有且仅有一个根， 若f(x0)?0,原方程或无解或有两解，仅当f(x0)?0,k?9

23.-------------------------------------------------------2 综上所述，k的取值范围为k?0及k?9当k?0，令f'(x)?0，得唯一驻点x0?

1n??

)对所有的正整数n都成立的最小的数?. n111n??

? -----------------------------------------------------2 解：由e?(1?) 解得??

11n

ln(1?)

nn

x

ln(1?x)?

11x?x令f(x)??,x?0，f'(x)?[ln(1?x)?] -----------2 22ln(1?x)xxln(1?x)?x

x

?x?1?

x?0， 记g(x)?ln(1?x)?，由x?0得g'(x)?3?x

(1?x)2

1111

x?022n2

11

2n

12

n??4xn

122(xn?xn?xn?3)?xn?xn?xn??2则数列有下界，-----------------4 4xnxn

xn?112

n??xn4xn

1

?xn?1?xn例17（10分）、设数列{xn}、{yn}满足0?x1??，xn?1?sinxn，yn???

?xn?

(n?1,2,3,?)，请问{xn}、{yn}收敛吗？若收敛，求limxn,limyn；若发散，说明理由.

n??

n??

0----------------2 令limxn?A，在xn?1?sinxn两边取极限得A?sinA，有limxn?

n??

n??

?sint?t2

?t?

n??

?16

1

sint

limlnt?0tt

1

?e

sint

?1

limtt?0t

?et?0

lim

sint?tt

?et?0

lim

cost?13t

?e--------------3

?

16

，从而{yn}收敛.-------------------------------------------------2

b?0

?2

b2

.

arctanbb1??故lim

b?0

?

2

b2

?lim

b?arctanbb?arctanb

?lim?limb?0b?0b2arctanbb?0b3

1?

1

2?1.------------------5

33b2

?(x2?y2)xy,(x,y)?(0,0)例1（8分）、证明：f(x,y)??在(0,0)连续. 0,(x,y)?(0,0)?

122222222?lim(x?y)|ln(x?y)|?0----2 tlnt?0因lim(x?y)ln(x?y)?lim，x?0,y?02x?0t?0?

y?0而0?|xyln(x?y)|?22

x?(x,0)，且lim?(x,0)??(0,0)--------------------------------------------2 x?0x?0x

x若?(0,0)?0，因lim不存在，故?x(0,0)不存在，从而?(x,y)在(0,0)处不可微-----1 x?0x

?lim(x,y)??lim(x,y)??0-----------------------------2

(x,y)?(x,y)?0，即?(x,y)在(0,0)处可微．--------------2

，试确定常数 ，使

. 例3（8分）、设

-------------------------------2

-------------------------------3 由

，可得

.----------3

1

2

xy?xy0(xy?t)f(t)dt??(xy?t)f(t)dt--------------------------------------2

xy

xy

0?xy[?zx?y[?f(t)dt??f(t)dt]??tf(t)dt??tf(t)dt------------------------1 xyxy011xy

f(t)dt??f(t)dt] ---------------------------------------------2 xy1

zxx?2y2f(xy)，由对称性知zyy?2x2f(yx)---------------------------------2 故zxx?zyy?2(x2?y2)f(xy). ---------------------------------------------1 例6（10分）、已知f?u?具有二阶导数，且f?(0)?1， y?y(x)由y?xey?1?1所确定，

dzd2z设z?f(lny?sinx)，求x?0,x?0. dxdx2

d2zy?y??y?y?2

2 2?(?cosx)f??(lny?sinx)?(?sinx)f?(lny?sinx)--------------2 dxyy2

dzd2zy??(0)?2，f?(0)?1代入上面两式得将y(0)?1，y?(0)?1，x?0?0,x?0?1.---2 dxdx2

?2z?2z1例7（10分）设f?u?在?0,??

?内二阶可导，z?f， 满足2?2?22?x?yx?y

x2

u??2zx2x2y2?f???u?2?f??u?2?f???u?2?f??u?3------------------------------------------2 2?xuuuu

?2zy2x2

1?2z?2z1代入2?2?2得uf??(u)?f?(u)?，即[uf'(u)]'?(lnu)'----------------------3 u?x?yu

lnuc11?f?(u)??，由f?(1)?1,得c1?1,于是f(u)?ln2u?lnu?c2,-------------------1 uu2

1由f(1)?0,得c2?0故f(u)?ln2u?lnu.---------------------------------------------------------1 2

y2

f(x,y)在椭圆域D?{(x,y)x??1}上的最大值和最小值. 42

?1上的情形： 再考虑其在边界曲线x?42

y2

?1)，-----------------------------1 令拉格朗日函数为L(x,y)?f(x,y)??(x?4

??Lx?2(1??)x?0,?1?解 ?Ly?(?2??)y?0, --------------------------------------------------1 2??2y2

?1?0?x??4

y2

?a?b?c?ab2c3?108??. 6??

??F?2?2?y?0(2)?yy有?------------------------------------2 ?3(3)?Fz??2?z?0z?

2222?(4)?x?y?z?6r?0

62r,3r)222

2462?x?y?z6即 lnx?2lny?3lnz?ln(6r)，亦即 xyz?(6)??6????-------2 ?

?a?b?c?222令x?a,y?b,z?c, 于是ab2c3?108??.--------------------------2 6??6

?b. 例1（8分）、设非零向量a,b，求证：lim(|a?tb|?|a|)?prja??

?

t?0??21?t?0tt?0?????右.--------8

?y?z?1?0 ?x?2z?0例2（8分）、在已知平面?：x?y?z?1?0内，求一直线l通过已知直线L：?

?x?y?z?1?0?解：联立方程组?y?z?1?0,易得L与?之交点P(0,?1,0)----------------------------------2 ?x?2z?0?

L的方向向量为s?(0,1,1)?(1,0,2)?(2,1,?1)，------------------------------------------------------2 可求得过P点且与已知直线L垂直的平面?方程为2x?y?z?1?0.-----------------------2

?x?y?z?1?0由题意知，所求直线l应为平面?与平面?的交线，其方程为?. ---------2 2x?y?z?1?0?

?2x2?y2?z?4例3（8分）、(1)求空间曲线?：?2 在xoy面的投影曲线L的方程； 2?x?y?z?0

(2)求以L为准线，母线与向量s=(1,0,?1)平行的柱面方程.

?2x2?y2?z?422z,解：（1）对?2，消得投影柱面方程x?2y?4，-------------------1 2?x?y?z?0

?x2?2y2?4故投影曲线L的方程为? -----------------------------------------------------------2 z?0?

(2) 在所求柱面取M(x,y,z),由题意必有M0(x0,y0,0)?L,使得M0//s---------2 ?x02?2y02?4?22有?x?x0y?y0z 化简得柱面方程(x?z)?2y?4.------------------------3 ???0?1?1

222则M0M1的长等于半径R?1------------------------------------------------------------------------------1 故由距离公式得(2x?y?z)?(?x?2y?z)?(?x?y?2z)?9.----------------3

y?bz?c,)?0的所有切平面都通过定点. x?ax?a

''''FuFv(b?y)Fu?(c?z)Fv'''证明：由题意知，Fx?，Fy?，Fz?， 2x?ax?a(x?a)

n?{(b?y)Fu?(c?z)Fv,(x?a)Fu,(x?a)Fv} …（4'）

?minf(x,y,z)?x2?y2?z2

Lx(M0)?2x0??Fx(M0)?0,Ly(M0)?2x0??Fy(M0)?0,Lz(M0)?2x0??Fz(M0)?0于是向量(x0,y0,z0)与曲面F(x,y,z)?0在点M0处的法向量(Fy,Fy,Fy)0平行，-------5 故曲面F(x,y,z)?0在点M0处的法线通过通过原点.------------------------------1

222例8（8分）求函数f(x,y,z)?40?x?2y?3z在点M0(?3,3,?2)处沿的方向导数，其中为f(x,y,z)?1过M0处的内法向量.

23例9（8分）设x?y?z?3确定了隐函数z?z(x,y)，求该隐函数在点(1,1)处方向导数

2312Fy?2x,Fz?3z2 ,于是zx(1,1)??,zy(1,1)??----------------3

33?-------------------------------------------3

?

asin?

e

?y2

dyb2?y2a2?y

e2

?x2

dx??

bsin?

asin?

e

?y2

dy?

b2?y2

ytan?

e?xdx，其中

2

，且a,b,?均为常数．

2

0?a?b,0???

?

I??

asin?

e

?y2

dy?x2

dx??

2

bsin?

asin?

e

?y2

dyytan?b

2

?x2

dx

xtan?

???e?(x

D

2

?y2)

dxdy???e?rrdrd???d??re?rdr

D

a

2

2

?

??

?

?a?e1?r2?e?b2

d???ed(?r)??d?

a022

b

2

2

e?a?e?b

??.

2

?x,y?0?x?1,0?y?1?，求??f?x,y?y?x2dσ．例2（8分）设f?x,y??Max?x,y?,D??

D

D1???x,y0?x?1,x?y?1?

2

D

D3

1

1

2

D1

D2

???x,y?0?x?1,0?y?x???

2

2

2

D3

??y?y?x?d????x?y?x?d????x?x

2

2

1

x

2

1

x

?y?d?------------------------2

x2

??dx??y?yx?dy??xdx?2?y?x?dy??xdx?

x

1

?x

2

?y?dy----------------2

351?x1x?1x2x3x4?x5?114

???????dx????x??dx??dx ? ．-------------2 030022322240????

y2?2

?,x?y?1且x?0,

?其它.?0,

??f?x,y?dxdy，其中D???x,yx

D

2

?y2?2y．

?

2

2

??

??

D

π

2sin?y

f?x,y?dxdy???arctandxdy??π2?d??rdr----------------------------------2

1x6D1

π

1?1?2

????4sin??1?d??π2????cos2??d?--------------------------------------2

2?6?2

?

π

?23?121?212

?????sin2???πsin2?d???．-------------------------2

2188?4?

?26

6

π2π6

（1） 证明：

??f(x,y)d????f(y,x)d?,??f(x,y)d????f(y,x)d?；

D1

D2

D2

D1

（2）

D1?D2

??

2?yy

?.

2?xx

??

D1

f(x,y)d???dy?

D2

1

f(x,y)dx??dx?

D1

1

f(y,x)dy???f(y,x)d?--3

D2

??f(x,y)dxdy???f(y,x)dxdy------------------------------1

D1

（2）由（1

）知I? ?

D2

??D2

d??

??

D1

?

D1?D2

??

?---------------------------2

1

d?-------------2 2D1???D211

?(a?b)．---------------------------------2 (a?b)dxdy??42D1?D2

n??

x2?y2?1

?

???x

2

?y2

?

n

f

x

2

?y2dxdy?0．

1

?

x2?y2?1

???x

0?r?1

2

?y2

?

n

f

x

2

-------2 ?y2dxdy??d??r2n?1f?r?dr?2??r2n?1f?r?dr，

?

2π1

2

x?y?1

??

?

x2?y2?f

n

2

dxdy?2?M?r2n?1dr?

1

2?M

2n?2

1

?0，于是由夹逼定理可知要证结论成立．-------------------------5

n??n?1

)满足f(x,y)?

y2009

1?x2?y2?2x

??

f(x,y)d??1,

1?x2?y2?2x

??

f(x,y)d?．

f(x,y)d??A-------------------------------------------------------------------1

?

1?x2?y2?2x

??

1?x2?y2?2x

??

1)d??A

1?x2?y2?2x

??

y

2009

d??2?3d??

2cos?

1

(r?1)rdr-------3

?

16??3

??3cos?d??4?3cos2?d??------------------------------------------------------1

0309

??

?16?．----------------------3 ??3(1?sin2?)dsin??2?

3(1?cos2?)d??03309

?f?f?y?x?y若D为圆环域：?2?x2?y2?1，求lim dxdy. 22????0?x?yDx

f(x,y)在单位圆的边界上取值为零，则f(cos?,sin?)?0-------------------------1 I???Dxfx?yfyx2?y2

1rdxdy???D?frdrd? --------------------------------------------1 r2??d??02?2??fdr??f(rcos?,rsin?)|1?d?--------------------------------------2 ??r0

2???2?

0f(cos?,sin?)d???0f(?cos?,?sin?)d?----------------------------------1

?0?2?f(?cos?*,?sin?*)，?*?[0,2?]，-------------------------------------2 故limI??2?f(0,0)??2?．--------------------------------------------------1 ?

x2?y2?z2?t2???f1

πt4

?x2?y2?z2dxdydz． ?解：记G?t??x2?y2?z2?t2???fx2?y2?z2dxdydz，应用球坐标，并同时注意到积分区域t?与被积函数的对称性，有

8G?t??4πt?2

0d??sin?d??f?r?r2dr?200?t4?f?r?r2dr0t4-------------------------------------4

4f?t?t2f?t??f?0??lim?lim?f??0???3．于是有limG?t??lim-------443t?0t?0t?0t?0tt4t

（1）证明曲线积分I与路径无关；（2）当ab?cd时，求I的值.

1x22解：（1）记P(x,y)?[1?yf(xy)]，Q(x,y)?2[yf(xy)?1]，则 yy

Qx?f(xy)?xyf?(xy)?y?2?Py， 于是P(x,y),Q(x,y)满足：在y?0时，04?f?r?r2drtQx?C,Py?C且Qx?Py ，所以曲线积分I与路径L无关--------------------------4

（2）由于曲线积分与路径无关，取L为从(a,b)到(c,d)的折线段，于是

c1d(c,b)(c,d)cI??P(x,b)dx??Q(c,y)dy??(?bf(xb))dx??(cf(xy)?2)dy-------2 abb(a,b)(c,b)y

cbcdcdc?acccaca???f(t)dt??f(t)dt????f(t)dt????.--------------2 abbcabbdbdbdb

?3x2?y2?z?6例10（8分）（1）求空间曲线?：?2 在xoy面的投影曲线L的方程; 2?x?2y?z?0

2ydx?xdy（2）若取上述L为顺时针方向，求?． L2x2?3y2

?3x2?y2?z?622z,解：（1）对?2，消得投影柱面方程2x?3y?6----------------------2 2?x?2y?z?0

?2x2?3y2?6故投影曲线L的方程为? --------------------------------------------2 z?0?

1（2）原式??2ydx?xdy------------------------------------------------------------------1 6L

Green1 ．----------------------------------------3 ???

3d???62x2?3y2?6

ydx?xdy22L，其中圆周??x?1?y?2，L的方向为逆时针方向. L2x2?y2

??Q?P?ydx?xdyydx?xdy?? ?dxdy??????x?y?L2x2?y2l2x2?y2?D1?例11（8分）求-------------------------3?Px2?y2?Q∵ ，故上式为零----------------------------------3 ??222?y?xx?y

22222??rsin??rcos?ydx?xdy12??d???d????.-----2 ∴原式??2?l2x2?y2?0?02r2例12（10分）设函数Q(x,y)在x O y平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分?2xydx?Q(x,y)dy与路径无关，并且对任意的t恒有

?2xydx?Q(x,y)dy??2xydx?Q(x,y)dy，求Q(x,y). L(t,1)(1,t)

(0,0)(0,0)

2t?1?C(t)，于是知C(t)?2t?1，即C(y)?2y?1，------------------------------2

2x2?y4L恒为常数,

(1)对右半平面x?0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有???(y)dx?2xydy

2x?y24C?0；

(2)求函数?(y)的表达式.

???l2?l32x2?y4?0.-----------4 2x2?y4

?(y)2xy,Q?解：(2) 设P?，P,Q在单连通区域x?0内具有一阶连续偏导数， 24242x?y2x?y

?(y)dx?2xydy由(1)知， ?在该区域内与路径无关，故当x?0时，总有Qx?Py----2 L2x2?y4

?4x2y?2y52x2??(y)???(y)y4?4?(y)y3

???(y)??2y,① 得? ----------------------------------------2 435??(y)y?4?(y)y?2y. 　?② 22由①得?(y)??y?c，将?(y)代入②得 c?0,从而?(y)??y.------------------2 则?(y)dx?2xydy2x2?y4C??(y)dx?2xydyl1?l3??(y)dx?2xydy例14（10分）设C是取正向的圆周(x?1)?(y?1)?1，f (x)是正的连续函数， 证明：22Cxf(y)dy?ydx?2?. f(x)

2??Df(x)dxdy??dx?021??(x?1)21??(x?1)2f(x)dy?2?f(x)?(x?1)2dx，----------------------------2 0

??f(y)dxdy??dy?D021?1?(y?1)221??(y?1)f(y)dx?2?f(y)?(y?1)2dy，--------------------------2 02

x2y2

??z2?1的上半部分，点P(x,y,z)??，?为?在P例15（8分）设?为椭球面22

zdS点处的切平面，?(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面的距离，求??. ?(x,y,z)?

1?xXyY

x2y2

2?z)2???zZ?1,?(x,y,z)?(?解： ?的方程为4422x2y2

?(?),?22

112?3222(4?x?y)d??d??r)rdr??. ----------------4 ???004x2?y2?242

tx2?y2

1?x2?y2

3

?(1?x2?y2)2

?证明：dS?I(t)????1?x2?y2(1?x?y)

23221?x2?y2dS???

dxdy---------------------------2 221?x?yx2?y2?tr(1?r2)?2??dr，t?(0,??)----------------------------------------2 01?r2

?(1?t)?0-----------------------------------------------1 令I?(t)?1?t

r2?u11?u???du-------------------------------------------------------------1 01?u

?(2ln2?1)?，故原题得证.-----------------------------1

??是?的整个边界的外侧，求I???xdydz?ydzdx?zdxdy.

??

x?y?有3222 ----------------------------------------------2

???dv?3??2?0d?0r-----------------------------------------------------------------2

?6? 0r)rdr??R3(2?2).--------------------------------------------2

Σ

f?x,y,z?为连续函数，Σ是平面x?y?z?1在第四卦限部分的上侧.

?1解：设Σ的单位法向量n0??cos?,cos?,cos????1,?1,1?，---------------------------------2 则I??f?x,y,z??x??cos????2f?x,y,z??y??cos????f?x,y,z??z??cos??dS------1 ??

??

Σ

????f?

x,y,z?f?

x,y,z??f?

x,y,z??dS???

dS---------1 ?ΣΣ?

x?y?1?x?y?σ----------------------------------------------------------------1 Dxy

Dxy??dxdy?1.------------------------------------------------------------------------------------1 2

Ω??x,y,z?x?2,y?2,z?2边界曲面的外侧.

?x2?y2?z322?，Q??x2?y2?z322，R?z?x2?y2?z322。

I?

Σ?Σ1xdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y2?z

22322???Σ1xdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y2?z322，----------------------------2 其中Σ?Σ1???xdydz?ydzdx?zdxdy322

2?x?y?z?3?x?y?z??3x?3y?????x?y?z?222?122522??P?Q?R?????????dxdydz ?x?y?z?Ω1?2?3z2dxdydz?0 --------------------------------3

（Ω1为Σ与Σ1之间的空间区域）。所以

I???Σ1xdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y2?z3

22??1

ε3??xdydz?ydzdx?zdxdy

Σ1

?11433dxdydz??3?πε?4π.--------------------------------------------3 3??3εΣ1ε3