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【按章节考点整理】2013年全国各地中考数学分类最新汇编第二十九章:锐角三角函数及解直角三角形

发布时间:2013-10-08 12:35:53  

(最新最全)2013年全国各地中考数学解析汇编(按章节考点整理)第二十九章锐角三角函数及解直角三角形

29.1 锐角三角函数以及特殊角

(2013江苏省无锡市,2,3′)sin45°的值是( ) A. 1

B.

C. D.1 22

【解析】sin45°

【答案】B

【点评】本题主要考查常见锐角三角函数值。需要学生记忆,这是对基础知识的考查,属于容易题。

(2013四川内江,11,3分)如图4所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的

值为

A.图4

1 B

C

D

2

【解析】欲求sinA,需先寻找∠A所在的直角三角形,而图形中∠A所在的△ABC并不是直角三角形,所以需要作高.观察格点图形发现连接CD(如下图所示),恰好可证得CD⊥AB,于是有sinA=CD. AC

图4

【答案】B

【点评】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形,将这类问题以格点图形为背景展现时,要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造.解决这类问题,一要注意构造出直角三角形,二要熟练掌握三角函数的定义.

29.2 三角函数的有关计算

(2013福州,9,4分,)如图,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°,如果此时热气球C处的高度CD为100米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是( )

A.200米

B.

C.

D. 1)米

解析:由题意,∠A=30°,∠B=45°,则tanA?

AB=AD+DB=CDCD,又CD=100,因此

,tanB?ADDBCDCD100100????100。 00tanAtanBtan30tan45

答案:D

点评:本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值,考察了用三角函数模型解决实际问题的能力,难度中等。

20A ( 2013

如图,Rt△ABC,∠C=90,AB=6,cosB= ,则BC的长为 3

C 8题图 B

(A)4 (B)25 (C) 18 131213 (D) 1313

BC2【解析】由三角函数余弦的定义=,又∵AB=6∴BC=4,故选A AB3

【答案】A

【点评】本题考查三角函数的定义,比较容易.

(2013福州,15,4分,)如图,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,则AD的长是 ,cosA的值是 .(结果保留根号)

解析:由已知条件,可知△BDC、△ADB是等腰三角形,且DA=DB=BC,可证△BDC∽△ABC,则有BCDCx1?x,设BC=x,则DC=1-x,因此??,即x2?x?1?0,解方程得, ACBC1x

x2?; x1?

AB

cosA=?AD1

??42

点评:本题考查了等腰三角形的判定、性质,三角形相似的判定和性质,一元二次方程的解法,二次根式的化简,构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等,涉及知识点较为广泛,具有较强的综合性,难度较大。

(2013连云港,3,3分)小明在学习―锐角三角函数‖中发现,将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC上的点E处,还原后,再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC上的点F处,这样就可以求出67.5°的角的正切值是

B. +1

C. 2.5 【解析】注意折叠后两点对称,也就是说△ABE和△AEF都是等腰三角形。得到67.5°的角为∠FAB。

【答案】设

AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE中,用勾股定理求出

x,于是BF=+1)x.

在直角三角形ABF中,tan∠FAB=BF

?+1=tan67.5°.选B。 AB【点评】根据折叠得到A、E关于折痕对称,从而根据轴对称的性质得到等腰三角形。求出两线段的长。

(2013山东德州中考,7,3,)为了测量被池塘隔开的A,B两点之间的距离,根据实际情况,作出如下图形,其中AB?BE,EF?BE,AF交BE于D,C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据:①BC,∠ACB; ②CD,∠ACB,∠ADB;③EF,DE,BD;④DE,DC,BC.能根据所测数据,求出A,B间距离的有( )

(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组

F 【解析】对于①,可由公式AB=BC×tan∠ACB求出

A、B两点间的距离;对于②,可设AB的长为x,则BC=x

tan∠ACB,BD=x

tan∠ADB,BD-BC=CD,可解出AB.对于③,

易知△DEF∽△DBA,则DEBD

EF?AB,可求出AB的长;对于④无法求得,故有①、②、③

三个,故选C.

【答案】C.

【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定.在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素;判定两三角形相似的方法有:AA,SAS,SSS,两直角三角形相似的判定还有HL.

(2013贵州铜仁,22,10分)如图,定义:在直角三角形ABC中,锐角?的邻边与对边的比叫做角?的余切,记作ctan?, 即ctan?=角?的邻边

角?的对边?AC

BC,根据上述角的余切定

义,

解下列问题:

(1)ctan30?

(2)如图,已知tanA=3

4,其中∠A为锐角,试求ctanA

的值. 【分析】(1)可先设最小边长为一个特殊数(这样做是为了计算方便),然后在计算出其它边长,根据余切定义进而求出ctan30?。

(2)由tanA=3

4为了计算方便,可以设BC=3 AC=4根据余切定义就可以求出ctanA

的值.

【解析】(1)设BC=1,

∵α=30?

∴AB=2

∴由勾股定理得:AC=

ctan30?=AC

BC=3

(2) ∵tanA=3

4

∴设BC=3 AC=4

∴ctanA=AC4= BC3

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和直角三角形的性质,锐角三角函数往往和直角三角形联系在一起考查。命题时常常和现实中的一些实际问题结合在一起。需要注意的是,在运用三角函数概念及其关系式时,计算易错,名称易混淆;特殊角的三角函数值易混淆,也容易把一个角与其余角的三角函数值混淆。

(2013浙江丽水4分,16题)如图,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=120°,AD=3,AB=6.在底边AB上取点E,在射线DC上取点F,使得∠DEF=120°.

(1)当点E是AB的中点时,线段DF的长度是________;

(2)若射线EF经过点C,则AE的长是________.

【解析】:AE=1AE3AB=3.在Rt△ADE中,tan∠ADE==3.所以∠ADE=60°,?2AD所以DE=AD3??2,∠AED=∠EDF=∠BEF=30°,所以ED=EF.过点E作1cos?ADE

2

=6;(2)过C作CH⊥直线2EG⊥DC于G,则DF=2DG=2×DE·cos30°=2×23×

AB于E,那么CH=AD=3,由勾股定理D得BH=1。所以CD=7。易知△BCE~△EDC,所以BE:CE=CE:CD,所以CE=CD×DC,设BE=x,则CE=7x。在Rt△CEH中,由勾股定理得2222CE=EH+CH,得(x+1)+3=7x,解之,得x=1或4。当x=1时,AE=5;当x=4时,AE=2。故AE的长为5或2。

【答案】:(1)6;(2)2或5

【点评】:本题考查梯形、解直角三角形、勾股定理、相似三角形等知识,应注意知识点的融会贯通.本题具有一定的难度.

(2013江苏泰州市,18,3分)如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB、CD相交于点P,则tan∠APD的值是

22

【解析】 要求tan∠APD的值,只要将∠APD放在直角三角形中,故过B作CD的垂线,然后利用勾股定理计算出线段的长度,最后利用正切的定义计算出结果即可.

【答案】作BM⊥CD,DN⊥AB垂足分别为M、N,则

BM=DM=,易得:

2PNPNDN?设PM=x,则

PD=-x,由△DNP∽△BMP,,

即∴

PN=x,?25xPMBM由DN2+PN2=PD2,得:2112

+x-x),解得:x1

=,x2

(舍去),∴tan∠

105

BMAPD=?=2. PM4

【点评】选择合适的格点直角三角形是计算线段长、锐角三角函数值的基础,还要注意网格中线段的长度都可以在直角三角形中去解决.

(2013福州,9,4分,)如图,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°,如果此时热气球C处的高度CD为100米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是( )

A.200米

B.

C.

D. 1)米

解析:由题意,∠A=30°,∠B=45°,则tanA?

AB=AD+DB=CDCD,又CD=100,因此

,tanB?ADDBCDCD100100????100。 00tanAtanBtan30tan45

答案:D 点评:本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值,考察了用三角函数模型解决实际问题的能力,难度中等。

(2013福州,15,4分,)如图,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,则AD的长是 ,cosA的值是 .(结果保留根号)

解析:由已知条件,可知△BDC、△ADB是等腰三角形,且DA=DB=BC,可证△BDC∽△ABC,则有BCDCx1?x,设BC=x,则DC=1-x,因此??,即x2?x?1?0,解方程得,

ACBC1x

111,x2?(不合题意,舍去),即

AD=; 222x1?

AB

cosA=?AD1

??4答案:11, 24

点评:本题考查了等腰三角形的判定、性质,三角形相似的判定和性质,一元二次方程的解法,二次根式的化简,构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等,涉及知识点较为广泛,具有较强的综合性,难度较大。

(2011山东省潍坊市,题号9,分值3)9、轮船从B处以每小时海里的速度沿男偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在观测灯塔A北偏东60°方向上,则C处与灯塔A的距离是( )海里

A. 253 B. 252 C. 50 D.

25

考点:方位角和等腰三角形的判定

解答:根据路程=速度时间得 BC=50×0.5=25海里;

根据方位角知识得,∠BCD=30°,=75°-30°;

CB=∠BCD+∠ACD=30°+60°=90°;

∠A=∠CBD=45°所以CA=CB 所以CB=25海里,本题正确答案是

D

点评:本题考查了方位角和等腰三角形的判定的有关知识。在解决方位角问题时,利用平行线的有关知识得到角度的关系,从而得到线段的关系是解决问题的常用方法和思路。

(2013湖北襄阳,10,3分)在一次数学活动中,李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪,去测量学校内一座假山的高度CD.如图5,已知李明距假山的水平距离BD为12m,他的眼睛距地面的高度为1.6m,李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C,此时,铅垂线OE经过量角器的60°刻度线,则假山的高度为

A.

1.6)m

C.

1.6)m

C B.

1.6)m D.

A O

E

B 图5 D

【解析】如下图,过点A作AF⊥CD于F,则AF=BD=12m,FD=AB=1.6m.再由

AFOE∥CF可知∠C=∠AOE=60°.所以,在Rt△ACF中,CF==

CD=tan60CF+FD=

1.6)m.

C A O

E

B D

【答案】A

【点评】通过作高将问题转化为解直角三角形问题是解答关键,其间需要具有良好的阅读理解能力,能将对应线段和角之间的关系理清.

(2013浙江丽水4分,16题)如图,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=120°,AD=3,AB=6.在底边AB上取点E,在射线DC上取点F,使得∠DEF=120°.

(1)当点E是AB的中点时,线段DF的长度是________;

(2)若射线EF经过点C,则AE的长是________.

【解析】:AE=1AE3?AB=3.在Rt△ADE中,tan∠ADE==.所以∠ADE=60°,2AD

所以DE=AD3??2,∠AED=∠EDF=∠BEF=30°,所以ED=EF.过点E作1cos?ADE

2

3=6;(2) 2EG⊥DC于G,则DF=2DG=2×DE·cos30°=2×23×

【答案】:(1)6;(2)2或5

【点评】:本题考查梯形、解直角三角形、勾股定理、相似三角形等知识,应注意知识点的融会贯通.本题具有一定的难度.

(2013安徽,19,10分)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长,

C

B

第19题图 30°A

解析:本题在一个三角形中已知两个角和一边,求三角形的边.不是直角三角形,要利用三角函数必须构筑直角三角形,过点C作CD⊥AB于D,利用构造的两个直角三角形来解答. 解:过点C作CD⊥AB于D,

在Rt△ACD中,∠A=30°,AC=2

∴CD=AC×sinA=23×0.5=,

AD=AC×cosA=2×3=3, 2

在Rt△BCD中,∠B=45°,则BD=CD=3,

∴AB=AD+BD=3+

点评:解直角三角形中,除了直角外,还知道两个元素(至少有一个是边),就能求出其余的边和角. 一般三角形中,知道三个元素(至少有一个是边),就能求出其余的边和角. 这时将三角形转化为直角三角形时,注意尽量不要破坏所给条件.

(2013湖南娄底,20,7分)如图9,小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度,在C处测得∠ADG?30?,在E处测得∠AFG?60?,CE?8米,仪器高度CD?1.5米,求这棵树AB的高度(结果保留两位有效数字,3≈1.732).

A

C E G B

【解析】在Rt△ADG中,可设AG=x,利用已知角的三角函数可用x表示出DG的长,在Rt△AFG中,根据∠AFG的正切函数可用x表示出FG的长,因为DG-FG=DF,所以可列方程求出x的长,AG再加上仪器的高度即为大树的高.

【答案】解:设AG=xm,在Rt△ADG中,∠ADG=30°,∴

在Rt△AED中,∠AFG=60°,AG=x,

FG=x,∵DG-FG=DF,DF=CE=8

x=8,33解得

≈6.93, ∴AB=AG+BG=6.93+1.5≈8.4.

答:大树AB的高约为8.4米.

【点评】本题考查直角三角形的解法,首先构造直角三角形,再借助角边关系、三角函数的定义解题.

(2013重庆,20,6分)已知:如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形。若AB=2,求△ABC的周长。(结果保留根号)

解析:由△ABC是直角三角形和△ABD是等边三角形,可求出∠C=30°,利用三角函数可求出答案。

答案:解:∵△ABD是等边三角形∴∠B=60°∵∠BAC=90°∴∠C=30°∵sinC=

∴BC=AB BCABAC=4, ∵cosC= ∴AC=BC·cosC=2 ∴△ABC的周长是6+2 sinCBC

点评:在直角三角形中计算线段长度问题,通常利用勾股定理和三角函数来解决,本题也可由勾股定理来计算AC的长。

(2013浙江省温州市,21,9分)某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图)。救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况,发现其正北方向的B处有人发出求救信号。他立即沿AB方向径直前往救援,同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙。乙马上人C处入海,径直向B处游去。甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处,再向B处游去。若CD=40

米,B在C的北偏东35方向,甲、乙的游泳速度都是2米/秒。问谁先到达B处?请说明理由。(参考数据:sin55?0.82,cos55?0.57,tan55?1.43)

????

【解析】根据特殊角的三角函数值,利用直角三角形的边角关系,利用直角三角形的边CD建立等式

.

【答案】解:由题意得∠BCD=55°,∠BDC=90°, ∴tan?BCD?BD, CD

?∴BD?CD?tan?BCD=40?tan55?57.2(米) CD40=?70.2(米) cos?BCDcos55?

57.270.2∴t甲?,t乙? ?10?38.6(秒)?35.1(秒)22∴BC?

∴t甲?t乙.答:乙先到达B处.

【点评】本题考查了利用三角函数值解决实际问题.重点考查学生是否认真审题,挖掘出题目中的隐含条件,运用数学知识解决实际问题的能力,难度一般.

(2011山东省潍坊市,题号20,分值10)20、(本题满分

10分)

校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主

要是超载和超速.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD =60°

(1)求AB的长(精确到0.1米,参考数据:3?1.73,2?1.41);

(2)已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速?说明理由.

(1)AD=36.33 BD=`12.11 AB=24.2 (2)该车速度43.56>40 所以超速

考点:直角三角形的边角关系

解答:(1)由题意得 ,在RT△ADC中, AD=CD21??21?36.33, tan30?3

CD21??73?12.11 tan60?在RT△BDC中,BD?

所以AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22≈24.2(米)

(2)汽车从A到B用时2秒,所以速度为24.2÷2=12.1(米/秒)

因为12.1×3600=43560,

所以该车速度为43.56千米/小时

大于40千米/小时,所以此校车在AB段超速.

点评:本题考察了直角三角形的边角关系,已知一边和一锐角解直角三角形。在解决此类问题时,要找到所解的直角三角形,分析其中已知的边和角,分析类型,选择方法求解。

(湖南株洲市3,13)数学实践探究课中,老师布置同学们测量学校旗杆的高度。小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方,用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°,则旗杆的高度是 米。

【解析】设旗杆的高度为x米,由题意,得tan60??

【答案】 x,解之得:

x=

10

【点评】在直角三角形,已知一角与一个角可以利用直角三角形的边角关系来求线段的长.

(2013四川攀枝花,19,6分)(6分)如图6,我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀

速航行,在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场.若渔政310船航向不变,航行半小时后到达B处,此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上.问渔政310船再航行多久,离我渔船C的距离最近?(假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值.)

【解析】解直角三角形的应用-方向角问题.

【答案】作CD⊥AB于D,设BD=x,∵∠BCD=30°,∴CD

,因为∠CAD=45°,∴AD=CD

,AB

–x

–x=0.5,x

=

离渔船C的距离最近。

11,答:再航行小时,44

【点评】利用勾股定理或三角函数都可很顺利的解出结果。此题的关键是用小时来表示AB间的距离。

(2013江西,22,9分)小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图1.如图2是晒衣架的侧面示意图,立杆AB、CD相交于点O, B、D两点立于地面,经测量: AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开,扣链EF成一条线段,且EF=32cm.

(1)求证:AC∥BD;

(2)求扣链EF与立杆AB的夹角?OEF的度数(精确到0.1°);

(3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm,垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由.

(参考数据:sin61.9??0.882,cos61.9,可使用科学计??0.471,tan28.1??0.533

算器)

图1 图2

解析:(1)利用等腰三角形的性质或三角形相似,可得AC∥BD;

(2)过点O作OG⊥EF交EF于G,构造直角三角形,利用三角函数可求得∠OEF的度数;

(3)利用三角形相似或三角函数可求解。

答案:解:(1)证法一:

∵AB、CD相交于点O,∴∠AOC=∠BOD,

∵OA=OC,∴∠ OAC=∠OCA=

同理可证:∠ OBD=∠ODB=

1(180°-∠AOC), 21(180°-∠BOD), 2∴∠ OAC=∠OBD, ∴AC∥BD.

证法二: ∵AB=CD=136 cm,OA=OC=51 cm,

∴OB=OD=85 cm,OAOC3??; OBOD5

又∵∠AOC=∠BOD, ∴ △AOC∽△BOD,∴∠ OAC=∠OBD,

∴AC∥BD.

(2)在△OEF 中,OE=OF=34cm ,EF =32cm;

作OM⊥EF于点M,则EM=16cm;

∴cos?OEF?EM16??0.471, OE34

用科学计算器求得∠OEF=61.9°;

(3

)解法一:小红的连衣裙晒衣架后会拖落到地面.

在Rt△OEM 中,∴OM???30cm;

同(1)可证: EF∥BD ,∴∠ABD=∠OEF,

过点A作AH⊥BD于点H,则Rt△OEM∽Rt△ABH,

∴OEOMOM?AB30?136,AH???120cm. ?OE34ABAH

∴小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度122cm>晒衣架高度AH=120cm.

解法二:小红的连衣裙晒衣架后会拖落到地面.

同(1)可证: EF∥BD ,∴∠ABD=∠OEF=61.9°,

过点A作AH⊥BD于点H,在Rt△ABH中, AH, AB

∴AH?AB?sin?ABD?136?sin61.9??136?0.882?120.0cm; ∵sin?ABD?

∴小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度122cm>晒衣架高度AH=120cm.

点评:这是一道几何应用题,体现了新课标理念:数学来源于生活,并服务于生活。背景情境的设置具有普遍性和公平性。涉及到知识点有:平行线的判定、等腰三角形的性质或三角形相似、锐角三角函数等。题目设置由易到难,体现了对数学建模思想的考察,以及由理论到实践的原则,比较全面地考察了学生对几何基础知识的掌握情况和对知识的应用能力。题目平实、新颖、综合性强。

(2013湖北黄石,22,8分)如图(9)所示(左图为实景侧视图,右图为安装示意图),在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器:先安装支架AB和CD(均与水平面垂直),再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高,公司规定:AD与水平线夹角为1,且在水平线上的的射影AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2,并已知tan1=1.082,tan2=0.412.如果安装工人已确定支架AB高为25cm,求支架CD的高(结果精确到1cm)?

【解析】如图所示,过A作AE∥BC交CD于点E,则所求CD转化为CE+DE,而CE=AB=25cm,只要求出DE,而DE=DF-EF,分别在Rt△DAF与Rt△EAF中表示出DF与EF.

【答案】如图所示,过A作AE∥BC交CD于点E,则∠EAF=∠CBG=θ2,

且EC=AB=25cm ?????????2分 Rt△DAF中:∠DAF=θ1,DF=AFtanθ1 ???1分

Rt△EAF中:∠EAF=θ2,EF=AFtanθ2 ∴DE=DF-EF=AF(tanθ1-tanθ2) 又∵AF=140cm, tanθ1=1.082, tanθ2=0.412

∴DE=140×(1.082-0.412)=93.8

∴DC=DE+EC=93.8+25=118.8 cm≈119cm

答:支架DC的高应为119cm.

【点评】本题着重考查了解直角三角形的应用,难点在于作出辅助线,将问题转化到直角三角形中及线段和差.

(2013年四川省德阳市,第6题、3分.)某时刻海上点P处有一客轮,测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向,且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行2小时到达B处,那么tan∠ABP= 3

A.1525 B.2 C. D. 552

2=40. 所以tan∠3【解析】如图6所示,根据题意可知∠APB=90°.且AP=20, PB=60×

ABP=PA201??,故选D.

PB402

【答案】D

【点评】本题主要考查了方向角含义,正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键

(2013连云港,24,10分)(本题满分10分)已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向,且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km。一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行,15min后到达C 处。现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向。求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km).

(参考数据:sin53.2°≈0.80,cos53.2°≈0.60,sin79.8°≈0.98,cos79.8°≈0.18,tan26.6°≈0.50

,≈1.41

【解析】过点B作AC的垂线,把所求线段AC换为两线段的差。利用Rt△ABH和Rt△BCH求线段AH、CH的长,利用AH-CH确定AC的长。

【答案】15=10. 60

DB, sin53.2°≈0.8。 AB在Rt△ADB中,sin∠DAB=

所以AB=1.6DB≈=20. sin?DAB0.8

D

如图,过点B作BH⊥AC,交AC的延长线于H。

在Rt△AHB中,∠BAH=∠DAC-∠DAB=63.6°―37°=26.6°,

tan∠BAH=BHBH,0.5=,AH =2BH. AHAH

BH2+CH2=AB 2,BH 2

+(2BH)2=202

所以

在Rt△AHB中, BH2+CH

2=BC 2,

?

所以

【点评】本题的关键是把方位角放到相应的直角三角形中,找到直角三角形利用三角函数求出线段的长。

(2013山东省聊城,22,8分)周末,小亮一家在东昌湖游玩,妈妈在湖心岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图),小船从P处出发,沿北偏东60°方向划行200米到A处,接着向正南方向划行一段时间到B处.在B

处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上,这时小亮与妈妈相距多少米(精确到1米)?

解析:题目相当求线段PB长,需要把图形转化

为解直角三角形来解决,过点P作PC⊥AB于

C,先解Rt△APC,求出PC长,在解Rt△PBC

即可求出PB长.

解:过点P作PC⊥AB于C,

在Rt△APC中,AP=200m,∠ACP=90°,∠PAC=60°.

∴ PC= 200×sin60°=200 ×3=1003 m. 2

∵在Rt△PBC中,sin37°=PCPC100?1.732, ∴PB=??289(m) PBsin37?0.60

答:小亮与妈妈相距约289米.

(2013山东泰安,13,3分)如图,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30o,朝物体AB方向前进20米到达点C,再次测得A点的仰角为60o,则物体的高度为( )

3

【解析】设AB高为x米,在Rt△ABD中,∠D=30o,所以

x,在Rt△ABC中,米 B.10米

D.∠ACB=60o,所以

BC=AB=x,因为BD-BC=CD

x=20,解得

3

33

即物体的高为

米.

【答案】

A.

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用,分别在两个直角三角形中,设出未知数,由锐角三角函数把与已知线段在同一条直线上的两条未知线段表示出来,然后构建方程,解方程即可求出未知线段的长.

(2013四川成都,17,8分)如图,在一次测量活动中,小华站在离旗杆底部(B处)6米的D处,仰望旗杆顶端A,测得仰角为60°,眼睛离地面的距离ED为1.5米.试帮助小华求出旗杆AB的高度.(结果精确到0.1

?

1.732 )

解析:由题意可知,四边形BCED是矩形,所以BC=DE,然后在Rt△ACE中,根据tan∠AEC=AC,可求出AC的长。 EC

答案:由题意可知,四边形BCED是平行四边形,

所以CE=BD=6米,CB=ED=1.5米

在Rt△ACE中,tan∠AEC=

即tan60°=AC ECAC 6

6?1.732?6?10.4(米)

∴AB=AC+CB=10.4+1.5=11.9(米)

点评:解直角三角形问题时,要选准三角函数并加以应用,是解题的关键。

(2013贵州贵阳,19,10分)小亮想知道亚洲最大的瀑布黄果树夏季洪峰汇成巨瀑时的落差.如图,他利用测角仪站在C点处测得∠ACB=68°,再沿BC方向走80m到达D处,测得∠ADC=34°,求落差AB.(测角仪高度忽略不计,结果精确到1m,可以使用计算器)

A 第19题图 C B

解析: 由已知可得△ACD是等腰三角形,故得AC=CD=80,在Rt△ACB中解直角三角形可求AB.

解:∵∠ACB=68°, ∠D=34°,

∴∠CAD=68°-34°=34°,

∴∠ CAD=∠D,

∴AC=CD=80.

在Rt△ABC中,AB=AC×sin68°=80×sin68°=74,

∴瀑布的落差约为74m.

点评:解直角三角形在实际生活中的应用是中考热点之一,解题时,首先是根据题意画出图形(已经画图的则需要弄懂图形所表示的实际意义),解直角三角形时就结合图形分清图形中哪个是直角三角形,已知锐角的对边、邻边和斜边.此外还应正确理解俯角、仰角等名词术语.

(2013浙江丽水,19,6分)学校校园内有一小山坡,经测量,坡角∠ABC=30°,斜坡AB长为12米.为方便学生行走,决定开挖小山坡,使斜坡BD的坡比是1:3(即为CD与BC的长度之比),A,D两点处于同一铅垂线上,求开挖后小山坡下降的高度

AD.

【解析】:因为AD=AC-CD,故欲求AD,只需先求AC、CD.为止可先解直角△ABC,求出BC,再根据坡比即可求出CD.

【解】:在Rt△ABC中,∠ABC=30°,

∴AC=13AB=6,BC=ABcos∠ABC=12×=63. 22

1BC=2, 3∵斜坡BD的坡比是1:3,∴CD=

∴AD=AC-CD=6-2.

答:开挖后小山坡下降的高度AD为(6-23)米.

【点评】:把应用问题转化为直角三角形问题,再运用直角三角形的关系进行求解.利用锐角三角函数解决实际问题中的易错点有三处, 一是锐角三角函数关系式的选择, 二是特殊角的三角函数值的识记, 三是计算是否正确.

(2013湖北随州,20,9分)在一次暑假旅游中,小亮在仙岛湖的游船上(A处),测得湖西岸的山峰太婆尖(C处)和湖东岸的山峰老君岭(D处)的仰角都是45°,游船向东航行100米后(B处)

?1.732,结果精确到米)。

解析:设太婆尖高h1米,老君岭高h2米。可分别在直角三角形中利用正切值表示出水平线段的长度,再利用移动距离为AB=100米,可建立关于h1、h2的方程组,解这个方程组求得两山峰高度。 )答案:设太婆尖高h1米,老君岭高h2米,依题意,

h1?h1??tan30?tan45??100???h2?h2??100???tan60?tan45 第20题图h1?

h2?100?50(3?1)?50(1.732?1)?136.6?137(米) tan60??tan45?100100?tan45??tan30?1?3

?503(3?1)?50(3?3)?50(3?1.732)?236.6?237(米)

答:太婆尖高度为137米,老君岭高度为237米。

点评:本题考查了直角三角形的解法。解题的关键是要首先构造直角三角形,再借助角边关系、三角函数的定义解题.

(2013浙江省绍兴,19,8分)如图1,某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米,按坡角∠BAC为32°.

(1)求一楼与二楼之间的高度BC(精确到0.01米);

(2)电梯每级的水平级宽均是0.25米,如图2.小明跨上电梯时,该电梯以每少上升2级的高度运行,10秒后他上升了多少米(精确到0.01米)?

备用数据:sin32°=0.5299,cos32°=0.8480,tan32°

=0.6249.

【解析】(1)在Rt△ABC中,已知∠BAC=32°,斜边AB的长为16.50米,根据锐角三角函数的定义即可求得一楼与二楼之间的高度BC.(2)先计算1级电梯的高,再根据10秒钟电梯上升了20级可计算10秒后他上升的高度.

【答案】解:(1)∵sin∠BAC=BC,∴BC=AB×sin32° AB

=16.50×0.5299≈8.74米.

(2)∵tan32°= ,

∴级高=级宽×tan32°=0.25×0.6249=0.156225,

∵10秒钟电梯上升了20级,∴小明上升的高度为:20×0.156225米.

【点评】正确地构造出直角三角形,然后根据直角三角形的性质求解,是解决此题的关键.

(2013四川省资阳市,20,8分)小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼.为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离,小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°,测得办公大楼底部点B的俯角为60°,已知办公大楼高46米,CD=10米.求点P到AD的距离(用含根号的式子表示). 来%︿~&源#:中教网

(第20题图)

【解析】

连结PA、PB,过点P作PM⊥AD于点M;延长BC,交PM于点N

则∠APM=45°,∠BPM=60°,NM=10米……………………………1分

设PM=x米

在Rt△PMA中,AM=PM×tan∠APM=xtan45°=x(米)……3分

来@源中国教育︿%出版网 在Rt△PNB中,BN=PN×tan∠BPM=(x-10)tan60°=(x-

………5分

由AM+BN=46米,得x +(x-

=46………………………6分

解得,x?,

∴点P到AD

的距离为

可)………8分

米.(结果分母有理化

为8米也??

8米也可) ??

【点评】本题综合考查了直角三角形中的三角函数、特殊角的三角函数值及构造出的方程思想.解决本题的关键是作垂线构造出直角三角形从而再运用三角函数解题.难度中等.

(2013江苏泰州市,24,本题满分10分)如图,一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上,小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°,然后他从P处沿坡角为45°的山坡上走到C处,这时,PC=30m,点C与点A在同一水平线上,A、B、P、C在同一平面内.

(1)求居民楼AB的高度;

(2)求C、A之间的距离.

(精确到0.1m,参考数据:2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45)

(第24题图)

【解析】过C作BP的垂线,垂足为G,利用特殊Rt△PCG和Rt△ABP中的边角关系,我们容易计算出CG(即AB)的长,最后用AC=BP+PG,就是C、A之间的距离.

【答案】(1)过C作BP的垂线,垂足为G,在Rt△PCG中,CG=PCsin450=30

×2

所以

(m)

(2)PG= PCcos450=30

×?,所以C、A之间的距离

=15,

BP=2

(m)

【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一,主要考查直角三角形的边角关系及其应用,难度一般不会很大,本题是基本概念的综合题,主要考查考生应用知识解决问题的能力,很容易上手,容易出错的地方是近似值的取舍.

(2013四川内江,18,9分)水务部门为加强防汛工作,决定对某水库大坝进行加固,大坝的横截面是梯形ABCD.如图9所示,已知迎水坡面AB的长为16米,∠B=60°,背水坡面CD的长为

ABED,CE的长为8米.

(1)已知需加固的大坝长为150米,求需要填土石方多少立方米?

(2)求加固后大坝背水坡面DE的坡度.

B

图9 E

【解析】(1)求出横截面△DCE的面积,然后乘以坝堤长度即可得出体积.可以分别过点A,D作BC边上的高将问题转化为解直角三角形问题.(2)求大坝背水坡面DE的坡度就是求坡面DE上一点到BE的铅直高度与它到点E的水平宽度的比,这一点通常取梯形的顶点.

【答案】解:(1)过点A作AG⊥BC于G,过点D作DH⊥BC于H,

∴AG=DH.

在Rt△ABG中,AG=sin60°·AB

∴DH=

∴S△DCE=11·DH·CE=×

8=

22×16=

∴需要填土石方

150=

3).

(2)在Rt△DHC中,HC

24,

∴HE=HC+CE=24+8=32.

∴加固后大坝背水坡面DE的坡度=

DH.

HE

E G

【点评】解直角三角形是每年中考必考知识点之一,主要考查直角三角形的边角关系及其应用,难度一般不会很大,本题是基本概念的综合题,主要考查学生应用知识解决问题的能力,很容易上手,本题容易出错的地方是不理解坡度的概念,认为求坡度是求∠E的度数.

(2013湖南益阳,17,8分)超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.上周末,小明和三B

位同学尝试用自己所学的知识检测车速,如图,观测点设在A处,离益阳大道的距离(AC)为30米.这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒,∠BAC=75°.

(1)求B、C两点的距离;

(2)请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度?

(计算时距离精确到1米,参考数据:sin75°≈0.9659, cos75°≈0.2588, tan75°≈3.732,

1.732,60千米/小时≈16.7米/秒)

【解析】第(1)小题主要考查正切的用法,

BC BC?AC tan?BAC?30?tan75??30?3.732?112(米). AC

112?14(米/秒) <16.7 (米/秒) =60(千米/小时) 第(2)小题主要是计算此车的车速8tan?BAC=

【答案】解:⑴法一:

,∠BAC=75°,AC =30, ?在Rt△ABC中 ,∠ACB=90°

∴BC=AC·tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112(米).???????5分

法二:在BC上取一点D,连结AD,使∠DAB=∠B,

则AD=BD,

∵∠BAC=75°,

∴∠DAB=∠B=15°,∠CDA=30°,

在Rt△ACD中 ,∠ACD=90°,AC =30,

∠CDA=30°, ∴ AD=60,CD=30,BC=60+30≈112(米) ??????5分

⑵ ∵此车速度=112÷8=14(米/秒) <16.7 (米/秒) =60(千米/小时)

∴此车没有超过限制速度.

【点评】本题以实际生活中的例子为背景,综合考查了考生正切的用法,速度的计算方法和单位换算。解法二辅助线的添加成为部分学生的一大难题,方法二中的辅助线AD的添法是关键,就这辅助线就可以将中下层次的学生拒之题外.难度较大.一般考生用方法一比较适合。

(2013江苏盐城,24,10分)如图所示,当小华站立在镜子EF前A处时,他看自己的脚

0在镜中的像的俯角为45 :如果小华向后退0.5米到B处,这时他看自己的脚在镜中的像的

俯角为30 .求小华的眼睛到地面的距离。(结果精确到0.1

?1.732)

. 0

第24题图

【解析】本题考查了解直角三角形有关知识.掌握直角三角形边角关系是解题的关键.在Rt△ACA1中,由条件可求表示出AA1的长;而在Rt△DBB1中,由条件可表示出BB1的长,最后由BB1-AA1=列出方程解决问题.

【答案】设AC=BD=x,在Rt△ACA1中,∠AA1C=45,∴AA1=x,在Rt△DBB1中,BB1=0121212x

,0tan30又∵BB1-AA1=,即-x=,解得:

1

2121212

12121.4(米). 【点评】这是一道常规的三角函数应用题,主要考查利用三角函数相关知识解决实际问题的能力,本题不能直接通过计算求解,需要列方程求解,但应注意结果的精确要求.

第二十九章 解直角三角形

29.1 锐角三角函数以及特殊角

29.2 三角函数的有关计算

解直角三角形的应用

29.1解直角三角形的应用——航行问题

29.2解直角三角形的应用——测量物体高度问题

(2013山东省滨州,10,3分)把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦函数值( )

A.不变 B.缩小为原来的1 C.扩大为原来的3倍 D.不能确定 3

【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,所以锐角A的大小没改变,所以锐角A的正弦函数值也不变.

【答案】选A.

【点评】本题考查锐角三角函数的定义,三角函数值只与角的大小有关,与角的边没有关系.

(2013湖南衡阳市,20,3)观察下列等式

①sin30°= cos60°=

②sin45°=

③sin60°= cos=45°= cos30°=

2 2根据上述规律,计算sina+sin(90°﹣a)= .

22解析:根据①②③可得出规律,即sina+sin(90°﹣a)=1,继而可得出答案.

答案:

解:由题意得,sin30°+sin(90°﹣30°)=1;

22sin45°+sin(90°﹣45°)=1;

22sin60°+sin(90°﹣60°)=1;

22故可得sina+sin(90°﹣a)=1.

故答案为:1.

点评:

此题考查了互余两角的三角函数的关系,属于规律型题目,注意根据题意总结,另外22sina+sin(90°﹣a)=1是个恒等式,同学们可以记住并直接运用.

(2013广安中考试题第7题,3分)如图2,某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1:3,堤坝高BC=50m,则迎水坡面AB的长度是( A ) 22

A.100m B.100m C.150m D.50m

思路导引:注意坡比是垂直高度与水平距离的比值,即是坡角的正切值,注意锐角三角函数

在解直角三角形问题中的灵活运用;

解析:tan∠

1BC,因此∠BAC=30°,sin∠BAC=, sin∠BAC=,AB=2BC=100 2AB点评:在解直角三角形问题中,注意三个内角与三边的平方关系的灵活运用

B

69??(精确到0.01).

69??2.470?2.47

【答案】

2.47

【点评】主要考查利用科学计算器进行计算,应注意精确要求.难道较小.

(2013,黔东南州,11)计算cos60o=

解析:cos60o=

答案:1 21 2

点评:本题考查了特殊角的三角函数值,属于记忆类题目,难度较小.

(2013甘肃兰州,1,4分) sin60°的相反数是( ) A. ?1

B.

C.

D. 2

,相反数是?,2

2解析:根据特殊角的三角函数值和相反数的定义解答即可.sin60°

=

故选C.

答案:C

点评:本题考查特殊角的三角函数值和相反数的定义,要求学生牢记并熟练运用.

(2013湖北武汉,13,3分)计算:tan60°= .

解析:特殊角的三角函数需要学生记忆,如果部分学生记不住,也可以通过画图寻找。 答案:3.

点评:本题在于考察特殊角的三角函数,学生可以将几个特殊角的三角函数加以记忆,也可以通过画图寻找,难度低.

(2013贵州黔西南州,7,4分)兴义市进行城区规划,工程师需测某楼AB的高度,工程师在D处用高2m的测角仪CD,测得楼顶端A的仰角为30°,然后向楼前进20m到达E,又测得楼顶端A的仰角为60°,楼AB的高度为( ).

A.3+2)m B.3+2)m

C.(53+2)m D.3+

2)m

【解析】设过C点的平行线与AB交于点G.求AB的高度,关键是求出AG的长.

设AG=x,由题意知∠ACG=30°,∠AFG=60°,则∠CAF=30°=∠ACF,所以CF=AF.

AGx3x在Rt△AFG中,∠AGF=90°,CF=AF===20,解得x=10. Sin60°33

2

所以,AB=103+2.楼AB的高度为3+2)米.

【答案】A.

【点评】本题考查三角函数似的实际应用,特别掌握30°、45°、60°角的三角函数值,当图形中出现这些角的时候,要能够寻找或构造含有这些特殊角的直角三角形解题. 解题思路:

(2013·哈尔滨,题号5分值 3)如图,在Rt△ABC中,∠C=90,AC=4,AB=5,0

则sinB的值是( ). 2334(A) (B) (C) (D) 5345

【解析】本题考查了锐角三角函数的意义.解题思路:在直角三角形中,锐角的正弦等于对边比邻边,故sinB=4,选D. 5

【答案】D

【点评】解直角三角形是历年中考中的重要内容,考题灵活多变,考查方法多种多样, 本题要求同学们掌握锐角三角函数的定义,并能熟练地根据它们与直角三角形的三边关系求直角三角形的锐角三角函数值

(2013陕西11,3

分)计算:2cos45??=.

【解析】原式=2?-3?

2

【答案】

【点评】本题考查了特殊角度的三角函数值与实数的运算.难度较小.

(2013湖北咸宁,12,3分)如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高

为18cm,深为30cm,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡

(第12题)

的起始点为C,现设计斜坡BC的坡度i?1:5,则AC的长度是 cm.

【解析】如图,过点B作BD⊥AC于D,依题意可求得AD=60cm,BD=54cm;由斜坡

BC的坡度i=1:5,求得CD=270cm,故AC=CD-AD=270-60=210(cm).

【答案】210

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用:坡度问题.此题难度适中,注意掌握坡度的定义、数形结合思想的应用与辅助线的作法.

(2013,湖北孝感,14,3分)计算:cos245°+tan30°·sin60°=________.

【解析】分别把cos45°

的值,tan30°

=的值,sin60°

的值代入进行计算即可. 【答案】1

【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算,特殊角三角函数值计算在中考中经常出现,题型以选择题、填空题为主.牢记特殊角的三角函数值是解题的关键.

(2013河南,20,9分)某宾馆为庆祝开业,在楼前悬挂了许多宣传条幅,如图所示,一条幅从楼顶A处放下,在楼前点C处拉直固定,小明为了测量此条幅的长度,他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°,再沿DB方向前进16米到达E处,测得点A的仰角为45°,已知点C到大厦的距离BC=7米,?ABD?90?,请根据以上数据求条幅的长度(结果保留整数.参考数据:tan31??0.6,sin31??0.52,cos31??0.86)

解析:在Rt△ABC中,已知BC=7,而不知角度,显然要用勾股定理,Rt△AEB是等腰直角三角形,AB=BE,利用Rt△ABD,能求出AB边,从而利用勾股定理求出AC的长.

解:设AB?x米,∴?AEB?45,?ABE?90.?BE?AB?x

在Rt△ABD中,tan?D???ABx,即tan31??. BDx?16

16tan31?16?0.6??24. ∴x??1?tan311?0.6

即AB?24(米)

在Rt?

ABC中AC???25

即条幅的长度约为25米.

点评:解直角三角形中,除了直角外,还知道两个元素(至少有一个是边),就能求出其余的边和角. 有时题目中一个直角三角形所给条件只有一个,需要有两个直角三角形联立才可.

(2013湖北黄冈,23,8)新星小学门口有一直线马路,为方便学生过马路,交警在门口设有一定宽度的斑马线,斑马线的宽度为4米,为安全起见,规定车头距斑马线后端的水平距

离不得低于2米,现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下,汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为∠FAE=15°和∠FAD=30°.司机距车头的水平距离为0.8 米,试问该旅游车停车是否符合上述安全标准?(E、D、C、B 四点在平

行于斑马线的同一直线上.) (参考数据:tan15°

sin15°

=cos15°

4

=

1.732

1.414)

【解析】求出CD长与2m比较即可.但CD不可直接求

出,可在Rt△ABD和

Rt△ABE中利用30°和15°角的正切值用AB的代数式表示出BD、

BE,再列方程求解.

【答案】解:设AB=x,在Rt△ABD中,∠ADB=∠FAD=30°,∴BD =

在Rt△ABE中,∠AEB=∠FAE=15°,tan15°=AB, BE∴

, ?2?x ∴

ED=BE-DB=2

xx=4 ∴x=2,

??∴

-0.8>2 ∴该车路口停车符合规定的安全标准.

【点评】本题是常规的解直角三角形应用题,解题关键是利用方程思想先求出相关的量.难度中的.

(2013·湖北省恩施市,题号21 分值 8)新闻链接,据【侨报网讯】外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退。

2013年5月18日,某国3艘5条刚刚完成黄岩岛护渔任务的“310”船人船未歇立即往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔,保护100多名渔民免受财产损失和人身伤害某国发现目前最先进的船正疾速驰救,立即掉头离去。

解决问题

如图10,已知“中国渔政310”船(A)接到陆地指挥中心(B)命令时,(C)位于陆地指挥中心正南方向,位于“310”船西南方向,“310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向,AB= 1406海里,“中国渔政310”船最大航速20海里/时。根以上信息,请你求出“中3

国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间。

【解析】过点A作AD⊥BC于点D,在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出AD的值,同理在Rt△ADC中求出AC的值,再根据中国渔政310”船最大航速20海里/时求出所需时间即可.

【答案】解:过点A作AD⊥BC于点D,在Rt△ABD中,∵AB=1406,∠B=60°, 3

∴AD=AB?sin60°=702,在Rt△ADC中,AD=702,∠C=45°,∴AC=2AD=140,∴“中国渔政310”船赶往出事地点所需时间为140÷20=7(小时)。

答:“中国渔政310”船赶往出事地点需要7小时.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键.

解双直角三角形,如果两个三角形中有一个能解,则直接解此三角形为解另一个三角形提供条件,如果两个三角形都不能直接解,一般设出两三角形公共边列方程求解。

(2013甘肃兰州,22,6分)在建筑楼梯时,设计者要考虑楼梯的安全程度。如图(1),虚线为楼梯的倾斜度,斜度线与地面的夹角为倾角?,一般情况下,倾角越小,楼梯的安全程度越高;如图(2),设计者为了提高楼梯的安全程度,要把楼梯的倾角?1减至?2,这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2 ,已知d1=4米,??1?40,??2?36,楼梯占用地板的长度增加了多少米?

(计算结果精确到0.01米。参考数据:tan40°=0.839,tan36°=0.727)

??

第22题图 d2

解析:根据在Rt△ACB中,AB=d1tanθ1=4tan40°,在Rt△ADB中,AB=d2tanθ2=d2tan36°,

即可得出d2的值,进而求出楼梯占用地板增加的长度.

解:由题意可知可得,∠ACB=∠θ1,∠ADB=∠θ

在Rt△ACB中,AB=d1tanθ1=4tan40°,

在Rt△ADB中,AB=d2tanθ2=d2tan36°,

得4tan40°=d2tan36°, 2

4tan40?

∴d2=≈4.616, ?tan36

∴d2-d1=4.616-4=0.616≈0.62,

答:楼梯占用地板的长度增加了0.62米.

点评:此题主要考查了解直角三角形中坡角问题,根据图象构建直角三角形,进而利用锐角

三角函数得出d2的值是解题关键.

(2013贵州遵义,21, 分)为促进我市经济的快速发展,加快道路建设,某高速公路建设工

程中需修隧道AB,如图,在山外一点C测得BC距离为200m,∠CAB=54°,∠CBA=30°,

求隧道AB的长.(参考数据:sin54°≈0.81,cos54°≈0.59,tan54°≈1.38,≈1.73,精确到个

位)

(2013,湖北孝感,

7,3分)如图,在塔AB前得平地上选择一点C,测出看塔顶的仰角为

30°,从C点向塔底B走100米到达D点,测出看塔顶的仰角为

45°,则塔AB的高为( )

A.米

B

. C米

D

【解析】根据题意,有∠ACB=30°,∠ADB=45°,∠ABC=90°,所以BD=AB,

于是在Rt△ACB中,由tan30°=

ABAB,解得AB

. ?100?ABBC【答案】D

【点评】本题考查仰角的定义和解直角三角形的应用,关键是能借助仰角结合图形利用三

角函数解直角三角形.

(1)(2013呼和浩特,17,5

分)(5

分)计算:

【解析】三角函数、绝对值、乘方

【答案】 1

?|1?2?1 sin

45?1?|1?2?1 sin45?

??1)?

1

212 ?1?

?3

2

【点评】本题考查了45°正弦函数值,绝对值的化简以及乘方的运算。

(2013湖南衡阳市,24,6)如图,一段河坝的横截面为梯形ABCD,试根据图中数据,求出坝底宽AD.(i=CE:ED,单位:m)

解析:作BF⊥AD于点于F,在直角△ABF中利用勾股定理即可求得AF的长,在直角△CED中,利用坡比的定义即可求得ED的长度,进而即可求得AD的长.

答案:解:作BF⊥AD于点F.则BF=CE=4m,

在直角△ABF中,AF=

在直角△CED中,根据i==,则ED===3m, =4m.

AD=AF+EF+ED=3+4.5+4=(7.5+4)m.答:坝底宽AD为(7.5+4)m.

点评:本题考查了坡度坡角的问题,把梯形的计算通过作高线转化成直角三角形的计算是解决本题的基本思路.

(2013呼和浩特,22,6分)如图,线段AB、DC分别表示甲、乙两建筑物的高。某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高,用自制测角仪在B处测得D点的仰角为α,在A处测得D点的仰角为β。已知甲、乙两建筑物之间的距离BC为m。请你通过计算用含α、β、m的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度。

【解析】三角函数

【答案】

解:过点A作AM⊥CD于M 在Rt△BCD中,

CDtanα= BC

∴CD=BC·tanα=m tanα

在Rt△AMD中,tanβ=DM AM

∴DM=AM·tanβ=m tanβ

∴AB=CD–DM=m(tanα–tanβ)

【点评】本题考查了锐角三角函数的运用,利用含有字母和三角函数的式子表示线段的长。

(2013·湖南省张家界市·21题·8分))黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠A=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=32千米,请据此解答如下问题:

(1) 求该岛的周长和面积(结果保留整数,参考数据2≈1.414 ?1.73 6?2.45)

(2) 求∠ACD的余弦值.

【分析】(1)解Rt△ABC及Rt△ACD求出AC、AD即可求周长;(2)利用余弦定义求解.

【解答】(1)结AC,∵AB=BC=15千米,∠B=90°, C ∴∠BAC=∠ACB=45°,AC=152千米.

又∵∠D=90°,

∴AD=AC2?CD2?(152)2?(32)2=12(千米)

∴周长=AB+BC+CD+DA=30+32+12=30+4.242+20.784≈55(千米).

面积=S△ABC+S△ADC=11225×15×15+×123×32=+18≈157(平方千米). 222

CD321??. AC1525(2)cos∠ACD=

【点评】解直角三角形时,如果已知两边,通常先根据勾股定理求出第三边,再根据三角函数求出其中的一个锐角,最后再利用两锐角互余求出另一个角.如果已知锐角和一边在解直角三角形时,先由两锐角互余,求出另一个锐角,然后利用恰当的三角函数求出另外两条边,或者利用三角函数求出另一条边后,再利用勾股定理求出第三边.如果是非直角三角形通常是添加辅助线,将非直角三角形问题转化为直角三角形问题.

(2013珠海,16,7分)如图,水渠边有一棵大木瓜树,树干DO(不计粗细)上有两个木瓜A、B(不计大小),树干垂直于地面,量得AB=2米,在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°.求C处到树干DO的距离CO.(结果精确到1米)(参考数据:?1.73,2?1.41)

D

A

B

第16题图

【解析】如图,根据题意,得∠COD=90°, ∠ACO=45°, ∠BCO=30°, AB=2,求CO.设CO为x米, 根据AO=CO,列方程,解得即可.

【答案】解:设CO为x米

在Rt△BCO中,tan30°=BOx ,则BO

=3CO

x+2=x 3在Rt△ACO中,AO=CO,

得方程

解得x≈5.答: CO长大约是5米.

【点评】本题考查锐角三角函数的应用, 此类题适用方程来解.

(2013云南省,20 ,6分)如图,某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30 ,荷塘另一端D与点C、B在同一条直线上,已知AC?32米 , CD?16米 ,求荷塘宽BD

?1.73 ,结果保留整数)

【解析】本题主要考查正切的用法,

在Rt?ACB中:tan?ABC=oAC

BC

BC?AC ?tan?BAC?30?

tan30??

BD?BC?CD?16

?32?1.73?16?39

【答案】解:在Rt?ABC中:

tan?ABC=AC

BC

tan30?? BC?AC 儍

tan?BAC?30

BD?BC?CD?16?32?1.73?16?39

答:荷塘宽BD为39米。

【点评】本题以实际生活中的例子为背景,综合考查了考生正切的用法,线段的加减。

(2013江苏省淮安市,24,10分)如图,△ABC中,∠C=90o,点D在AC上,已知∠BDC=45o,BD

AB=20.求∠A的度数.

【解析】先根据锐角三角函数的定义,在Rt△BDC中求出BC的值,再在Rt△ABC中利用特殊角的三角函数值即可求出∠A的度数.

【答案】解:在Rt△BDC中,因为sin∠BDC=

所以BC=BD×sin∠BDC

×sin45o

在Rt△ABC中,因为sin∠A=BC, BD=10. BC101==,所以∠A=30o. AB202

【点评】本题考查的是解直角三角形问题,涉及到锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值,难度适中.解题的关键是选择正确的边角关系解直角三角形.

(2013山东省青岛市,20,8)(8分)如图,某校教学楼AB的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22°时,教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE;而当光线与地面夹角是45°时,教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离(B、F、C在一条直线上)

⑴求教学楼AB的高度;

⑵学校要在A、E之间挂一些彩旗,请你求出A、E之间的距离(结果保留整数).

3152(参考数据:sin22°≈,cos22tan22°≈ ) 8165

【解析】(1)过点D作DM⊥AB,若假设AB=x米,可表示出AM、ME的长,然后在Rt△AEM中,利用22°正切建立关系式来解.(2)根据(1)求出ME的长,再Rt△AME中,可求得AE之间的距离.

【答案】解:⑴过点E作EM⊥AB,垂足为M.设AB为x.

Rt△ABF中,∠AFB=45°,∴BF=AB=x,∴

BC=BF+FC=x+13

在Rt△AEM中,∠AEM=22°,AM=AB-BM=AB-CE=x-2,∴tan22°=

x-22=,x=12.即教学楼的高12m. x+135

⑵由(1)可得ME=BC=x+13=12+13=25.在Rt△AME中,cos22°=

∴AE= ME AEAM MEME25≈ ≈27.即AE之间的距离约为27m. cos22°1516

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.

(2013,黔东南州,22)如图,一艘货轮在A处发现其北偏东45o方向有一海盗船,立即向位于正东方向B处的海警舰发出求救信号,并向海警舰靠拢,海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援,此时距货轮200海里,并测得海盗船位于海警舰北偏西60o方向的C处。

(1)求海盗船所在C处距货轮航线AB的距离。

(2)若货轮以45海里/时的速度向A处沿正东方向海警舰靠拢,海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截:问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮(结果保留根号)

D

解析:(1)要求C到AB的距离,可以过点C作AB的垂线CD,然后通过CD的长分别表

示出AD 和BD的长,再根据AB=200,即可求出CD的长.(2)

解:(1)如图所示,过点C作AB的垂线CD,设CD的长为x,那么可知:

??CAD?90?45?45,?在Rt?ACD中,AD?CD?x,

???

??CBD?90?-60??30?,?在Rt?CBD中,tan30??

CDx ?BDBD

?BD?x

3

3?3x;

?x?3x?200;

?x?200200(3-1)200-1???1003-100(海里). 23?13?1-1)?

(2)设海警舰的速度应为x才能抢在海盗之前去救货轮.

海盗从C点到D点所用的时间为:1003?100?23?2(时) 50

?(1003?100) 海警舰要抢在海盗之前去救货轮,则(2?2)x?

?x?50

答:(1) 海盗船所在C处距货轮航线AB的距离为(100?100)海里

(2)海警舰的速度应为50海里/时才能抢在海盗之前去救货轮.

点评:本题考查了学生把实际问题转化为数学问题的能力以及利用方程思想求值的能力,在

解直角三角形的过程中,作垂线构造直角三角形是常用的方法,这就要求学生不仅要会读题, 还要会看图,在解方程的过程中,还用到了分母有理化的思想,难度中等.

(2013江苏苏州,26,6分)如图,已知斜坡AB长60米,坡角(即∠BAC)为30°,BC⊥AC,现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.(请讲下面2小题的结果都精确到0.1米,参考数据:≈1.732).

(1)若修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°,则平台DE的长最多为 11.0 米;

(2)一座建筑物GH距离坡角A点27米远(即AG=27米),小明在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B、C、A、G、H在同一个平面内,点C、A、G在同一条直线上,且HG⊥CG,问建筑物GH高为多少米?

(2013南京市,14,2)如图,将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上:顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合.OB与尺上沿的交点B在尺上的读书恰为2厘米,若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 厘米.(结果精确到0.1厘米,参考数据sin370≈0.60,cos370≈0.80,tan370≈0.75) 解析:由于∠AOB=45°,B点读书为2厘米,则直尺的宽为2厘米,解直角三角形得点C的读数为2÷tan370≈2B÷0.75≈2.7厘米.

34答案:2.7

点评:将问题转化到直角三角O形中,利用三角函数求得相

应结果.

(2013广安中考试题第17题,5分)计算:2?(?)?cos45o+3?1 ; 23

思路导引:题目中有二次根式的最简二次化简,负数的相反数计算,特殊角的三角函数值以

及负指数,分别运用相关的性质进行计算,并合并求解

解析:

2(?)?cos45??3?1

3

21?

1 33

点评:实数的混合运算,注意题目联系的知识点的综合运用

(2013广安中考试题第23题,8分)(8分)如图10,2013年4月10日,中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业,中国海监船在A地侦察发现,在南偏东60o方向的B地,有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶,企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民。此时,C地位于中国海监船的南偏东45o方向的10海里处,中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民,能不能及时赶到?(2≈1.41≈1.736≈2.45)

思路导引:构造直角三角形,便于运用题目中的特殊角的三角函数值,解直角三角形问题 解析:如图过点A作AD⊥BC,交BC 的延长线于点D,根据题意得出

∠DAC=45°,∠DAB=60°,

∵AD⊥BC,∴sin∠DAC=CDADBD,cos∠DAC=,cos∠DAC=, ACACAD

即是tan45°=CDAD

,CD=10, cos45°==

1010

∵tan60°

BD=

=∴

BC=

(海里),

101?(时), 303

5.202某国军舰以每小时13海里的速度向正西方向的C地所需时间是=(时), 135

21因为>,所以中国海监船以每小时30海里的速度赶往C,能及时救援我国渔民. 53中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地所需时间是

点评:结合图形信息解直角三角形问题,注意转化方法的运用,即是构造直角三角形,灵活运用锐角三角函数构造相关的三角函数式,进行有关线段以及角度计算,多个数据注意按照某种要求比较其大小,得出问题的答案.

(2013深圳市 11 ,3分)、小明想测一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上,如图3,此时测得地面上的影长为8米,坡面上的影长为4米,已知斜坡的坡角为30,同一时刻,一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米,则树的高度为( )

A.

(6米 B. 12米 C

(4?米 D. 10米

【解析】:本题主要考查直角三角形的边角关系、相似三角形的判定及性质,可根据题意正

确添加辅助性,构造基本图形求解

【解答】:如图3—1,根据坡角易求树的下半部分的高为2米,树的上半部分所在直角三

角形的水平距离为(8?米,由两个直接三角形相似易求树的上半部分高度

为(4

米,知树的高度为(6?米,选择A

【点评】:要熟悉教材。北师大版八年级下学期课本中,对如何求旗杆的高度有三个基本模

?图3 1图3-1

(2013年吉林省,第20题、7分.)如图,沿AC方向开山修一条公路,为了加快施工进度,要在小山的另一边寻找点E同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=127°,沿BD方向前进,取∠BDE=37°,测得BD=520m,并且AC,BD和DE在同一平面内.

(1)施工点E离D多远正好能使 A,C,E成一直线(结果保留整数);

(2)在(1)的条件下,若BC=80m,求公路CE段的长(结果保留整数) (参考数据:sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75)

【解析】(1)如果点A, B, C,E在同一条直线上时,∠ABD就是△BDE的外角,就能确定△BDE是直角三角形,根据三角函数即可求出DE的长.

(2)在Rt△BDE中,BD=520,∠BDE=37°可以求得BE的长,从而求出CE长.

【答案】

(1)∵点A,B,C,E在同一条直线上,

∴∠ABD=∠BDE+∠AED

∴∠AED=127°-37°=90°.

DE∴cos∠BDE= BD

DE=BDcos37°

DE=520×0.80

DE≈416

∴施工点E离D点为416m时,A,C,E成一直线

(2)在Rt△BDE中,BD=520,∠BDE=37

BE∴sin∠BDE= BD

∴BE=BDsin∠BDE

∴BE=520×0.6

DE≈312

∴CE=312-80

CE=232.

∴公路CE段的长为232m.

【点评】此题考查了解直角三角形的应用问题.解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解,注意数形结合思想的应用.

(2013山西,23,9分)如图,为了开发利用海洋资源,某勘测飞机预测量一岛屿两端A.B的距离,飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°,然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500

米,在点D测得端点B的俯角为45°,求岛屿两端A.B的距离(结果精确到0.1米,参考数据:)

【解析】解:过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F,

∵AB∥CD,

∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°,

∴四边形ABFE为矩形.

∴AB=EF,AE=BF.

由题意可知:AE=BF=100米,CD=500米.…2分

在Rt△AEC中,∠C=60°,AE=100米.

∴CE===(米). …4分 在Rt△BFD中,∠BDF=45°,BF=100.

∴DF===100(米).…6分

≈600﹣×1.73≈600﹣57.67≈542.3(米). …8∴AB=EF=CD+DF﹣CE=500+100﹣

答:岛屿两端A.B的距离为542.3米. …9分

【答案】542.3米

【点评】本题考查了仰俯角问题,解决此类题目的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角形的内角并用解直角三角形的知识解答即可,解决此类题型的关键是数学转化思想即不规则图形转化为我们所熟悉的特殊图形进行计算.难度中等.

(2013山东东营,22,9分)如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处,观测

到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°,轮船以21海里/时的速度向正北方向

行驶,下午2时该船到达B处,这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方

向,求此时轮船所处位置B与城市P的距离?(参考数据:sin36.9°≈

tan36.9°≈B 3,5

P 31212,sin67.5°≈,tan67.5°≈) 4135

A 【解析】过点P作PC⊥AB,构造直角三角形,设PC=x海里, 用含有x的式子表示AC,BC的值,从而求出x的值,再根据

三角函数值求出BP的值即可解答. (第22题图)

PC【答案】过点P作PC⊥AB,垂足为C,设PC=x海里.在Rt△APC中,∵tan∠A=,AC

PCPC5xx4x??.在Rt△PCB中,∵tan∠B=,∴BC=.∵AC+BCtan67.5?12tan36.9?3

5x4xPC??21?5,解得x?60.∵sin?B?BC=AB=21×5,∴,123PB

PC605∴PB???60??100(海里).∴向阳号轮船所处位置B与城市Psin?Bsin36.9?3∴AC=

的距离为100海里.

【点评】本题考查方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识.解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高,构造直角三角形.

(2013广东汕头,20,7分)如图,小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=,在与山脚C距离200米的D处,测得山顶A的仰角为26.6°,求小山岗的高AB(结果取整数:参考数据:sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°=0.50).

(2013山东莱芜, 20,9分)某市规划局计划在一坡角为16°的斜坡AB上安装一球形雕塑,其横截面示意图如图所示.已知支架AC与斜坡AB的夹角为28°,支架BD⊥AB于点B,且AC、BD的延长线均过⊙O的圆心,AB=12cm,⊙O的半径为1.5m,求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离.(结果精确到0.01m)

(参考数据:cos28°≈0.9,sin62°≈ 0.9, sin44°≈0.7, cos46°≈ 0.7)

【解析】过点O作水平地面的垂线,垂足为E.

在RT△AOB中,cos∠OAB=

所以OA=ABAB12,即cos28°== OAOAOA1212??13.3333 cos28?0.9

因为∠EAB=16°,

所以∠OAE=28°+16°=44°.

在RT△AOE中,sin∠OAE?OEOE,即sin44°? OA13.3333

所以OE?13.3333?0.7?9.3333 m

9.3333+1.5=10.83(米)

所以雕塑最顶端到水平地面的垂直距离约为10.83米.

【答案】10.83米

【点评】本题考查了用锐角三角函数解决实际问题,关键是找到要解的直角三角形,根据已知条件,选择恰当的三角函数.

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