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初中数学竞赛试卷A

发布时间:2013-10-09 08:08:26  

初中数学竞赛试卷A

考试时间:120分钟;分值:120分

姓名: 得分:

说明:

1.全卷共6页,共5大题22小题.考试时间为100分钟,满分120分.

2.答卷前,考生必须将试室号、座位号、班别、姓名、学号填写在答题纸密封线内相应的空格

内.

3.答题可用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔按各题要求答在答题纸指定的位置内,不能用铅笔或红色

字迹笔,不能使用计算器.

一.选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分):在每小题给出的四个选项中,只有

一个是正确的,请将所选选项的字母写在题目后面的括号内。

1.在?4,-π,?2,2四个数中,最小的无理数是( )

A.?4 B.-π C.?2 D.2

2.函数y?1的自变量x的取值范围是( ) x?2

B. x??2 C.x??2 D. x??2 A. x??2

3.空气的体积质量是0.001239/厘米3,此数保留三个有效数字的近似数用科学记数法表示为( )

A.1.239×10-3 B.1.23×10-3 C.1.24×10-3 D.1.24×103

4.如图,在□ABCD中,已知AD=8㎝, AB=6㎝, DE平分∠ADC

交BC边于点E,则BE等于 ( )

A.2cm B.4cm C.6cm

5.一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示,

则其主视图的面积是( )

A.6 B.8

C.12 D.24

D.8cm B E C A

D

二.填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分) :请把下列各题的正确答案填写在

横线上。 1

6.因式分解:ab2?25a=

7.据某地气象部门2010年5月8日7时30分发布的天气预报,我国内地31个城市5月9日的最高气温(℃)统计如下表:

那么这些城市5月9日的最高气温的中位数和众数分别是 和 8.如图,已知AB?AD,?BAE??DAC,要使

A

△ABC≌△ADE,可补充的条件是可).

9B

D

_________. 10.如图,如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形

ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去,…,已知正方形ABCD的面积s1为1,按上述方法所作的正方形的面积依次为s2,s3…sn(n为正整数),那么第8个正方形的面积s8

= .

三.解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)

125

11.已知二次函数y?x?2x?,求其顶点坐标及它与y轴的交点坐标.

22

12.先化简,后求值:?1?

13.如图,平行四边形ABCD中,以A为圆心,AB为半径的圆分别交AD、BC于F、G,?延长BA交圆于E.求证:EF=FG.

14.四张质地相同的卡片如图所示. 将卡片洗匀后,背面朝上放置在桌面上.

(1)求随机抽取一张卡片,恰好得到数字2的概率;

??1?1

???x?2?,其中x? ?2

x?1?x?1

E

F

D

A

C

2

(2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏,游戏规则 见信息图.你认为这个游戏公平吗?请用列表法或画 树状图法说明理由,若认为不公平,请你修改规则, 使游戏变得公平.

15.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示. (1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出△A1B1C1各顶点的坐标;

(2)将△ABC向右平移6个单位,作出平移后的△A2B2C2,并写出△A2B2C2各顶点的坐标;

(3)观察△A1B1C1和△A2B2C2,它们是否关于某直线对称?若是,请在图上画出这条对称轴.

四.解答题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)

16.某市七年级有15000名学生参加安全应急预案知识竞赛活动,为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况,从中抽取了400名学生的得分(得分取正整数,满分100分)进行统计:

频 率 分 布 表

请你根据不完整的频率分布表,解答下列问题: (1)补全频率分布表和频数分布直方图;

(2)若将得分转化为等级,规定得分低于59.5分评为“D”,59.5~69.5分评为“C”, 69.5~89.5分评为“B”,89.5~100.5分评为“A”,这次15000名学生中约有多少人评为“D”?

成绩(分)

(3)以(2)的等级为标准,如果随机抽取一名参赛学生的成绩等级,则这名学生的成绩评为“A”、“B”、“C”、“D”哪一个等级的可能性大?请说明理由.

3

17.如图,线段AB与⊙O相切于点C,连结OA,OB, OB交⊙O于点D,已知OA?OB?

6,AB? (1)求⊙O的半径; (2)求图中阴影部分的面积.

18.如图,在平面直角坐标系中,函数y?x?0,常数k?0)的图象经过点A(1,2),B(m,n),(m?1),过点B作y轴的垂线,垂足为C.若△ABC的面积为2,求点B的坐标.

19.课外实践活动中,数学老师带领学生测量学校旗杆的高度.如图,在A处用测角仪(离地高度为1.5米)测得旗杆顶端的仰角为15,朝旗杆方向前进23米到B处,再次测得旗杆顶端的仰角为

?

D

A

C

B

k

x

30?,求旗杆EG的高度.

4

23米

五.解答题(本大题共3小题,每小题9分,共27分)

20.(1)观察与发现

小明将三角形纸片ABC(AB>AC),沿过点A的直线折叠,便得AC落在AB边上,折痕为AD,

展开纸片(如图①),再次折叠该三角形纸片,使点A与点D重合,折痕为EF,展开纸片后得到 △AEF(如图②),小明认为△AEF为等腰三角形,你同意吗?请说明理由.

(2)实践与运用

将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,折痕为BE(如图③),

再沿过点E的直线折叠,使点D落在BE上的点D′处,折痕为EG(如图④),再展开纸片(如图⑤),求图中∠α的大小.

21.2009年4月7日,国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案(2009~2011年》,某市政府决定2009年投入6000万元用于改善医疗卫生服务,比2008年增加了1250万元.投入资金的服务对象包括“需方”(患者等)和“供方”(医疗卫生机构等),预计2009年投入“需方”的资金将比2008年提高30%,投入“供方”的资金将比2008年提高20%.

(1)该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元?

(2)该市政府2009年投入“需方”和“供方”的资金各多少万元?

(3)该市政府预计2011年将有7260万元投入改善医疗卫生服务,若从2009~2011年每年的资金投入按相同的增长率递增,求2009~2011年的年增长率.

5

22.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=4,点M是AD的中点,△MBC是等边三角形.

(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形;

(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且∠MPQ?60?保持不变.

PC?x,MQ?y,求y与x的函数关系式;

(3)在(2)中当y取最小值时,判断△PQC的形状,并说明理由.

A M D

60°

B P C

6 设

7

参考答案:

三.解答题(每小题6分,共30分)

1251211、解:∵y?x?2x?=(x+2)-4.5 ------------------------------------ 3

分 222

∴ 顶点坐标为(-2,-4.5) ------------------------------------ 4分

5 ------------------------------------ 5分 2

5∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,?)------------------------------------ 6分 2

x?1?112、解:原式=?(x?1)(x?1)?(x?2) ------------------------------------ 2分 x?1令x=0,则y=?

=x(x?1)?(x?2) ------------------------------------3分

=x?x?x?2

=x?2 ------------------------------------ 4分 当x?=(2)?2?4 ------------------------------------6分

13、证明:连结AG.

∵A为圆心,∴AB=AG

∴∠ABG=∠AGB ------------------------------------ 2分

∵四边形ABCD为平行四边形

∴AD∥BC,∠AGB=∠DAG,∠EAD=∠ABG -----------------------------------4分 ∴∠DAG=∠EAD. ------------------------------------ 5分

∴EF=FG------------------------------------ 6分

8 222

14、解:(1)P(抽到2)=

(2)根据题意可列表

从表中可以看出所有可能结果共有16种,符合条件的有10种 ∴P(两位数不超过32)=∴游戏不公平

调整规则:

方法一:将游戏规则中的32换成26~31(包括26和31)之间的任何一个数都能使游戏公平. 方法二:游戏规则改为:抽到的两位数不超过32的得3分,抽到的两位数超过32的得5分,能使游戏公平. ------------------------------------6分

15.解:(1)A1(0,4),B1(2,2),C1(1,1) ------------------------------------ 2分 (2)A2(6,4),B2(4,2),C2(5,1) ------------------------------------ 4分

(3)△A1B1C1与△A2B2C2关于直线x?3轴对称. ------------------------------------6分

21

? ------------------------------------ 1分 42

105

? ------------------------------------4分 168

16、解:(1)表中数据分别是:80,0.05;图略(4分) (2)15000?0.05?750(人)(5分)

9

(3) ?B的频率为0.2?0.31?0.51,大于A、C、D的频率,故这名学生评为B等的可能性最大 (7分)

17、解:(1)连结OC

∵AB与⊙O相切于点C

∴OC⊥AB ------------------------------------ 1分 ∵OA?OB

∴AC?BC?11AB???分 22

在Rt△

AOC中,OC???3

∴ ⊙O的半径为3 ------------------------------------4分

(2)在Rt?BOC中

∵ OC=1OB ∴ ∠B=30o, ∠COD=60o 2

∴扇形OCD的面积为

60?π?323S扇形OCD==π ------------------------------------6分 3602

阴影部分的面积为

S阴影=SRtΔOBC?S扇形OCD =

18、解:∵A(1,2)是函数y?

∴2?313-π ------------------------------------ 7分 OC?CB-π=222

2k上的点 xk

1 ∴ k?2 ------------------------------------ 2分

∵B(m,n)是函数y?

∵S?ABC?2 k上的点 ∴mn?k?2-----------------------------3分 x

1m(2?n)?2,2m?mn?4 ---------------------------------6分 2

∴ m?3 -----------------------------------6

222∴ n??,B(3,) ----------------------------------7分 m33 ∴

10

19、解:??ECD?15,?EDF?30

??CED?15

??CED??ECD ------------------------------------ 2分

∴DC=DE=23米 ------------------------------------3分

在Rt?EDF中,由sin?EDF?000EF,得 DE

0 EF?DE?sin?EDF?23?sin30?23?

又FG=CA=1.5米 1?11.5(米) -----------------------------5分 2

∴EG=EF+FG=11.5+1.5=13(米)------------------------------------6分

答:旗杆EG的高度为13米. -----------------------------------7分

20.解:(1)同意小明的观点,△AEF为等腰三角形

∵AD垂直于EF,

∴∠AOE=∠AOF= 90°

又AD平分∠EAF,∠BAD=∠CAD,AO=AO

∴△AOE与△AOF全等

---------------------------3分

∴AE=AF

∴△AEF为等腰三角形---------------------------4分

(2)由题可得有正方形ABFE

∴∠AEB=∠BEF= 45°, ∠DEB=135° --------------------------6分 又∵EG平分∠BED

∴∠BEG=67.5° --------------------------7分

则∠α=∠FEG=22.5°- -----9分

21.解:(1)该市政府2008年投入改善医疗服务的资金是:

····························································································· 2分 6000?1250?4750(万元) ·

(2)设市政府2008年投入“需方”x万元,投入“供方”y万元,

由题意得??x?y?4750, ?(1?30%)x?(1?20%)y?6000.

?x?3000,解得? ····················································································································· 4分 y?1750.?

?2009年投入“需方”资金为(1?30%)x?1.3?3000?3900(万元)

11

2009年投入“供方”资金为(1?20%)y?1.2?1750?2100(万元).

答:该市政府2009年投入“需方”3900万元,投入“供方”2100万元. ······················· 6分

(3)设年增长率为x,由题意得

············································································································ 8分 6000(1?x)2?7260 ·

解得x1?0.1,x2 = —2.1(不合实际,舍去)

答:从2009~2011年的年增长率是10%. ············································································ 9分

22.(1)证明:∵△MBC是等边三角形

∴MB?MC,∠MBC?∠MCB?60? ··········· 1分

∵M是AD中点

∴AM?MD

∵AD∥BC

∴∠AMB?∠MBC?60?,

B ∠DMC?∠MCB?60? A M D 60° P C

∴△AMB≌△DMC ···························· 2分

∴AB?DC

∴梯形ABCD是等腰梯形 ········································································· 3分

(2)解:在等边△MBC中,MB?MC?BC?4, ∠MBC?∠MCB?60?,

∠MPQ?60?

∴∠BMP?∠BPM?∠BPM?∠QPC?120?

∴∠BMP?∠QPC ······························································································· 4分 ∴△BMP∽△CQP ∴PCCQ ··································································· 5分 ?BMBP

∵PC?x,MQ?y ∴BP?4?x,QC?4?y ·············································· 6分 ∴x4?y12 ∴y?x?x?4········································································· 7分 ?44?x4

(3)解:△PQC为直角三角形

理由是: ∵y?12?x?2??3 4

∴当y取最小值时,x?PC?2 ······························································ 8分

∴P是BC的中点,MP?BC,而∠MPQ?60?,

∴∠CPQ?30?,∴∠PQC?90? ···························································· 9分

12

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