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初中数学竞赛试卷及答案

发布时间:2013-10-09 08:08:28  

初中数学竞赛试卷

考试时间:120分钟;分值:120分

姓名: 得分:

一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分. 以下每小题均给出了代号为A、B、C、

D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里.

不填、多填或错填均得零分)

x2?x? 1.如果???,那么代数式m是 ( ) 6(2x?1)?m?

(A)?(2x?1) (B)?(2x?1) (C)(2x?1) (D)(2x?1)

2.在平面直角坐标系中,点A(?x,y?1)在第四象限,那么点

B(y?1,x)在 ( )

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

3.如图,以数轴的单位长线段为边作一个正方形,以数轴的原点为圆心 ,正方形的32322

对角线长为半径画弧,交数轴于点A,点A表示数x,则x2的平方根是 ( )

(A) ?2 (B)?2

O

1 A 2 (C)2 (D)2

4.如果a?221?1,b??2,,那么c?等于 ( ) abc(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

5.考虑下列4个命题:

①有一个角是100°的两个等腰三角形相似;

②斜边和周长对应相等的两个直角三角形全等;

③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;

④对角线相等的梯形是等腰梯形.

其中正确命题的序号是 ( )

(A)①②③④ (B)①②④ (C)②③④ (D)①④

6.已知如图,在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形.则它们的公共部分(即阴影部分)的面积是 ( )

(A)大于1

(B)等于1

(C)小于1

(D)小于或等于1

7.已知梯形的两条对角线分别为m与n,

两对角线的夹角为60 0.

( )

(A)那么,该梯形的面积为 3mn (B)mn (C)mn (D)3mn 248

8.已知,正整数n,k满足不等式6n5??,那么当n与k取最小值时,n+k的值11k9

为 ( )

(A)29 (B)30 (C)31 (D)32

二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)

9.已知⊙O的直径AB=22cm,过点A有两条弦AC=2cm,AD=cm,那么劣弧CD 的度数为_________.

10.已知,关于x的一元二次方程x?kx?6?0与x?6x?k?0只有一个公共的根,那么方程x?k|x|?2k?5?0所有的根的和是

11.在写有整式 5,r,a?b,m,?,5x,2222

(x?y)2,3mn的卡片中,任意选取其中两张分别作

为分子和分母,得到一个分式的概率是

.

12.如图,直线y??12x?12与x轴、 5

y轴分别交于A点和B点,C是OB上的一

点,若将?ABC沿AC翻折得到?AB/C,B/

落在x轴上,则过A,C两点的直线的解析

式是 .

x3?x?11?13.若x?,则. 2x4

14.如图,在?ABC中,?C=90?,D、E

分别是BC上的两个三等分点,以D为圆心的

圆过点E,且交AB于点F,此时CF恰好与

⊙D相切于点F. 如果AC=

径= .

三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分、14分,满分50分)

15.已知,一次函数y?24,那么⊙D的半 51?kx(k是不为0的自然数,且是常数)的图象与两坐标k?1

轴所围成的图形的面积为Sk(即k=1时,得S1,k=2时,得S2,┅).试求S1+S2+S3+??S2006的值.

16.一商店销售某种食品,每天从食品厂批发进货,当天销售. 已知进价为每千克

5

元,售价为每千克9元,当天售不出的食品可以按每千克3元的价格退还给食品厂. 根据以往销售统计,该商店平均一个月(按30天计算)中,有12天每天可以售出这种食品100千克,有18天每天只能售出60千克. 食品厂要求商店每天批进这种食品的数量相同,那么该商店每天从食品厂批进这种食品多少千克,才能使每月获得的利润最大?最大利润是多少?

17.已知,?ABC和?A1B1C1均为正三角形,BC和B1C1的中点均为D,如图1.

(1)当?A1B1C1绕点D旋转到?A2B2C2时,试判断AA2与CC2的位置关系,并证明你的结论.

(2)如果当?A1B1C1绕点D旋转一周,顶点A1和AC仅有一个交点,设该交点为A3,如图3. 当AB=4时,求多边形ABDC3C的面积

.

18.给出一个三位数. 重排这个三位数三个数位上的数字,得到一个最大的数和一个最小的数,它们的差构成一个三位数(允许百位数字为零),再重排这个得到的三位数三个数位上的数字,又得到一个最大的数和一个最小的数,它们的差又构成另一个三位数(允许百位数字为零),重复以上过程. 问重复2007次后所得的数是多少?证明你的结论.

初三数学竞赛参考答案和评分意见

一、选择题(每小题5分,共40分)

1—8:ACAD BCBC

二、填空题(每小题5分,共30分)

9. 30?或150? 10. 0 11.3210 12. y??x? 13.1 14

433

三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分、14分,满分50分)

15.一次函数y?1?kx11的图象与两坐标轴的交点为(,0)、(0,), kk?1k?1

所围成的图形的面积为Sk?11111. …………4分 ???2kk?12k(k?1)

∴S1+S2+S3+??S2006 11111111 …………8分 ?????????21?222?323?422006?2007

11111=(?????) 21?22?33?42006?2007

11111111=(1?????????) 22233420062007

11=(1?) 22007

1003=. …………12分 2007=

16.设该商店每天批进这种食品x千克,每月获得的利润为y元.

(1)当60?x?100时,由题意,30天中批进这种食品的成本为5?30x元,销售收入为元9(12x?60?18),退货所得为3?18(x?60)元,

于是可得 y?9(12x?6?018?)?3x18?(?60)? x5

即y?12x?6480 …………4分

∵y?12x?6480是一次函数,且y随x的增大而增大,

∴当x?100时,即每天批进这种食品100千克时,可获得最大利润,最大利润为7680元. …………8分

(2)当x?100时,由题意,

y?9(12?100?60?18)?3?12(9x?100)?3?18(x?60)?5?30x

化简得 y??60x?13680

∵y??60x?13680是一次函数,且y随x的增大而减小,

∴当x?100时,即每天批进这种食品100千克时,可获得最大利润,最大利润为7680元. …………12分

17.AA2⊥CC2. …………2分 (1)在图2中,连接AD、A2D、延长AA2 交BC于E,交CC2于F,

B

BD

C2

F

C

A

ADDC∵?ADA2=90?-?A2DC=?CDC

2, =

DA2DC2

(2)在图3中,连接A3D,过C3作C3G⊥BC于G,由(1)得AC⊥CC3, 由题意又得A3D⊥AC, 四边形A3CC3D是矩形.

∴C3C=A3D=2sin60??

C3??60?)?

A

, 2

BB

D

3

A3 C

∴多边形ABDC3C的面积=S?ABC?S?CC3D

=

21=. …………12分 4??2

?

4222

18.经过2007步后得到495或0. …………2分

不妨设选定的三位数中的最大数字为x,最小数字为z,还有一个数字为y,则

P?(100x?10y?z)?(100z?10y?x)?99(x?z), …………4分

现讨论如下:

(1)x?z?0,P?0,第一步结果0.

(2)x?z?1,P?99,第一步结果099,第二步结果891,第三步结果792 ,第四步结果693,第五步结果954,第六步结果495.

(3)x?z?2,P?198,第一步结果198,第二步结果792,第三步结果692,第四步结果954,第五步结果495.

(4)x?z?3,P?297,第一步结果297,第二步结果693,第三步结果954 ,第四步结果

495.

果495.

(10)x?z?9,P?891,第一步结果891,第二步结果792 ,第三步结果693,第四步结果954,第五步结果495.

由以上讨论可知至多6步可将一个三位数变为495或0,然后就进入循环,所以经过2007步后将得到495或0.

当x?z时,得到0;当x?z时,得到495. …………14分(讨论一种情况给1分)

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