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2013西南交大数学竞赛题解答

发布时间:2013-10-10 08:04:51  

线 订 装 封 密 名 姓 线 订 装 封 密号 学 线 订 装 封级密 班西南交通大学2013年数学竞赛试卷评分标准

???2n2?2nx?x2?nx?0

一、已知?limn????

f?x???

?2n2?

?

?

,求f??0?。

?limn??

2??nnn??x?0

?

??n?1?2??n?2?2????n?n?2????n

解 当x?0时,lim?2n2?2nx?x2?

?2nx?x2?n

n????lim?2n2??

n???1??

?2n2??

2n2

?2nx??lim?2nx?x22nx?x???nx2?

?

?2n??

n????1??

2n2??

?2nx??2n2

???x2?

2n?2???

?lim?2?n?????1?2nx?x?nx?x??e?x。…………………4’

???2n2????

?

又limn??2??n??n???n?

n??2lim??n?1?2?n?2?2?n?n?2??n???11?2?211dx?1……….7’ i?1?i?n?0?1?x?2?1?n?

?

所以f?x????

e?x

x?0?1

x?0

,故f??0??lim

f?x??f?0?

x?0

?lime?x?1x

x?0x

??1……………10’ 二、设f?x?函数在?0,1?上连续,在?0,1?内可微,且f??x??0。

证明:存在?,???0,1?使得

f????

??e?1?e??f??。 证明 对f?x?即e?x在?0,1?满足柯西中值定理条件,对其应用柯西中值定理知有???0,1?使得e?e?1

f???

f1?f0?1? …………………6’

对f?x?在?0,1?应用拉格朗日中值定理知有???0,1?使得f?1??f?0??f?????2?……8’由(1)(2)可得存在?,???0,1?使得

f????

f????e?1?e??…………………10’

三、设f?x?在?0,1?上二阶可导,f?0??f?1?,f???x??1,求证当0?x?1时有f??x??证明 由泰勒公式可知对?x??0,1?,存在?1??0,x?,?2??x,1?使得

1。 2

f?0??f?x??f??x??0?x??f?1??f?x??f??x??1?x??

f????1?2f????2?2

?0?x??1?x?

2

2

?1?…………………3’ ?2?…………………6’

?2???1?得

f??x??

f????2?2

?1?x?

2

?

f????1?2

x2

…………………8’

f??x??

f????2?2

?1?x?

2

?

f????1?2

x2?

1?2

1?x??x2?…………………9’ ??2?

函数g(x)?

11?2

1?x??x2?在?0,1?最大值为1,故对?x??0,1?有f??x??………10’ ??22?

四、设f?x?在?0,???上具有连续的导数,且f?0??0,且f?x??f??x??1,求证

f?x??ex?1

证明 ef?x???

?x

x

x??t

??eftdt?e????f??t??f?t???dt,…………………5’ ???0

?t

故 e?xf?x???e?tf??t??f?t?dt??e?tdt?1?e?x…………………8’

x

所以 f?x??e?1 …………………10’

xx

五 设f?x?在?a,b?上可导,f?a??0,f??x??0,证明存在???a,b?使得由y?f?x?,

x?b,y?f???所围的面积与由y?f?x?,x?a,y?f???所围的面积之比是2013。 证明 由 f??x??0可知f?x?在?a,b?上严格增,故

y?f?x?,x?b,y?f???所围的面积为S1??

b

?

?f?x??f????dx;……………3’

?

a

y?f?x?,x?a,y?f???所围的面积为S2??令函数F?x??2013?

x

b

a

x

?f????f?x??dx………………6’

?f?x??f?t??dt???f?t??f?x??dt…………………8’

ba

F?a??2013?F?b??2013?

a

ab

?f?a??f?t??dt??

?f?t??f?a??dt?0

?

a

?f?b??f?t??dt???f?t??f?b??dt?0

b

b

故由零点定理可知存在???a,b?,2013?

a

?f????f?t??dt??

b

?

?f?t??f????dt?0

即S1?2013S2 …………………10’

G?x?是六、设F?x?是可微函数f?x?的一个原函数,f?0??1。求f?x?。

解 F?x?G?x???1?G?x???

1

的一个原函数,且F?x?G?x???1,fxf?x?11

?2? ……………3’ fxFxFx?F

2

?x??f2?x??F?x??f?x?,或F?x???f?x?,……………5’

即由题的条件得

f?x??f??x?或f?x???f??x?。……………7’

解微分方程

??f?x??f??x???f?x???f??x?或? ?

f0?1f0?1????????

x?x

得f?x??e或f?x??e ……………10’

?10x?2y?2z?27?0

七、求通过直线?且与曲面3x2?y2?z2?27相切的平面方程。

?x?y?z?0解 设切点为?x0,y0,z0?,所求平面的法向量为?3x0,y0,?z0?,……………3’ 切平面方程为3x0x?y0y?z0z?27 ……………5’

27?81x??808y0?27?

19?81?2727??2719?x?y0?z0?27 直线有两点为?,?,0?,?,?,1?,故?0

88??88??8?8222?3x0?y0?z0?27???x0?3?x0??3??y?1解得 ?0或?y0??17……………8’ ?z?1?z??17?0?0

故所求平面方程为9x?y?z?27或9x?17y?17z??27……………10’

???x,y??fyy???x,y?,八 已知函数f?x,y?的二阶偏导数都连续,且f?x,2x??x2,fx??x,2x??x,fxx???x,2x?,fxy???x,2x?。 试求fxx

解 由f?x,2x??x2得fx??x,2x??2fy??x,2x??2x……………2’ 得 fy??x,2x??

x

……………4’ 2

???x,2x??2fxy???x,2x??1……………6’ 由fx??x,2x??x得fxx

由fy??x,2x??

x1???x,2x??2fyy???x,2x??得fyx

22

……………8’

???x,2x??fyx???x,2x?,且题有条件fxx???x,y??fyy???x,y?,故有 由f?x,y?的二阶偏导数都连续有fxy

???x,2x??2fxy???x,2x??1?fxx

??1????fx,2x?2fx,2x??xx???xy??2

???x,2x??0,fxy???x,2x??得fxx

1

……………10’ 2

8??xdydz?九、证明,其中?:x2?y2?z2?1。 33?

证明:设函数f

?x??x?2y?2z?5,函数连续故在x2?y2?z2?1上有最值。由于

fx??1,fy??2,fz???,2故函数无驻点,故f?x?的最值不可能在x2?y2?z2?1取得。……………2’

做拉格朗日函数L?x,y,z,???x?2y?2z?5???x2?y2?z2?1?……………4’

??1?2?x?0?Lx

?L??2?2?y?0?y?122??122?由?得条件极值点P,,,?P,?,进而1?1??,???333333?L??2?2?z?0????z

?L??x2?y2?z2?1?0??g?

x??g?P1??8,最小值g?P2??2, ……………6’

即在在x2?y2?z2?

1?2……………8’

8?xdydz??故……………10’ 33?

十、设f?x?在实数轴上连续,

?1:z??2

由z?与z?R

?R?0? 围

???

lim成空间闭区域。计算R?0?

?1

f?x2?y2?z2?dxdydz

???

?2

2

fz2dxdydz

2?

解 由于

???

?1

f?x?y?z?dxdydz??d??sin?d??f?r2?r2dr……………2’

2

2

2

R

?

R

?2??f?r2?r2dr ……………3’

???

?2

f?z?dxdydz??dz

2

R

x?y2?z2

2

??

f?z?dxdy???z2f?z2?dz,……………6’

2

R

???

R?0?

f?x2?y2?z2?dxdydz

lim

?1

???

?2

fz2dxdydz

?lim

2??f?r2?r2dr

R

R?0?

?

R

?zf?z?dz

2

2

……………8’

?lim

2?f?R2?R2

R?0?

?RfR

2

2

?2 ……………10’

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