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2013年最新全国大学生高等数学竞赛试题及解答

发布时间:2013-10-11 08:05:46  

2012年全国大学生数学专业竞赛试题及解答

(1)计算积分 ?

2??0e??x?e??xdx,??0,??0. x222解 方法一 直接利用分部积分法得

???0??e??x?e??x1??x2??x2?(e?e)(?)?dx 2?0xx2

?????

0221(?2?xe??x?2?xe??x)(?)dx x

???

方法二 不妨设0??

??2??0(2?e??x?2?e??x)dx ??x222 ??2(?2???2)?(??); ??,由于e?ex2??x2???e??yx2dy, 而积分?

?0??e?yxdx关于y在[?,?]上一致收敛,故可交换积分次序 e??x?e??x

?2x220?

???0dx?e???yx2dy????dy???0e?yx2dx ?

方法三 将???1y??

022?(??); 2 ?0固定,记I(?)??e??x?e??x, ??0, 可证I(?)在(0,??)上收敛. 2x

22??x?e??x设??[?,??), ??0 因为e,,而?+?

0e??x2dx收敛,

即 所以由Weierstrass判别法知道 ?+?

0e??xdx对??[?,??)一致收敛.所以可以交换微分运算和积分运算的次序,

22

I?(?)????

0?e??x?e??x()dx??x222????0(?

e??x)dx?

由?的任意性,上式在(0,??)上成立.

所以

I(?)?

C,由于I(?)?0,C? 所以I(?)?(??), 即

???0e??x?e??x?(??). 2x22

(2)若关于x的方程kx?1?1,?k?0?在区间?0,???内有唯一的实数解,求常数k. 2x

解:设12?f?x??kx?2?1,则有f?x??k?3, xx

1

11????3322????当x??0,???时,f??x??0;当x????,???时,f??x??0. ??k????k??????

1

3

由此?2?f?x?在x????k?处达到最小值,

又f?x??kx?1?1在?0,???内有唯一的零点, 2x

必有131???2?3?k?2?2?3??f???0,k??????1?0, ??k???k??2???3?1?2271???1,

k?23?????1,k2??4?4????23

所以k?.

x

(3)设函数

在且非零, f?x?在区间?a,b?上连续,由积分中值公式,有?f?t?dt??x?a?f???,?a???x?b?,若导数f???a?存a

x?a?lim??ax?a.

解:??f?t??f?a??dt??x?a??f????f?a??, ax

??ax??a1??ft?f?a??dt, 2?a???x?af??fa?x?a?

由条件,可知

x?ali?

x??a1?, f??faf??ax?a?f?t??f?a??dtf?x??f?a?1lim?lim?f??a?, a??x?a?

?2x?a?2x?a2?故有

x?alim???ax?a1. 2

二、设函数f?x?在x?0附近可微,f?0??0,f??0??a,

2

定义数列xn?1??f?2???n??2??n?f?2????f?2?. ?n??n?证明:?xn?有极限并求其值.

??0,存在??0,当0?|x|??时,有f?x??a??. x证明:由导数的定义, 对于任意

于是?a???x?f?x???a???x,?0?x???

?1k1??, 从而,当n??时,有2?nn

?a???kk?k??f?a?????2?n2n2?n?

n,其中k?1,2,?,n. 对于上式求和,得到 nkka???x?a?????2n???2nk?1k?1n,

即?a???n?1n?1?xn??a???, 2n2n

令n??,有

11xn??a???, ?a????xn?limn??n??22

由??0的任意性,得到 limxn?n??a. 2

设f?x?在??1,1?上有定义,在x?0处可导,且f?0??0. 证明:limn???k?1n?k?f??0?f?2??. 2?n?

三、设函数fx?[0,1],有在[0,??)上一致连续,且对任何

。 limf(x?n)?0n??, 证明: limf(x)?0x???

试举例说明,仅有

证明 证法一

f在[0,??)上的连续性推不出上述结论。 3

由f在[0,??)上一致连续,对?

??0???0, , 当y1,y2?[0,??)

且|y1?y2|??时, 便有|f(y1)?f(y2)|??2;

1??取定充分大的正整数k,使得k

于ix?,i?0,1,?,k,每个小区间的长度小。现把区间[0,1]k等分,设其分点为ik?。

对于任意x?1,x?[x]?[0,1);

xi,i?{0,1,?,k},使得|

xi,有i

n??从而必有x?[x]?xi|??; ; 由条件对每个limf(x?n)?0

N时,于是存在N,当n?|f(xi?n)|??

2,对i?0,1,?,k都成立;

故当x?N?1时,便有

|f(x)|?|f(xi?[x])|?|f(x)?f(xi?[x])|??????, 22即得limf(x)?0x???,结论得证。

证法二 设fn(x)?f(x?n),由题设条件知

n??{fn(x)}在[0,1]上等度一致连续,对每一x?[0,1],有limfn(x)?0;

利用Osgood定理得,

{fn(x)}在[0,1]上一致收敛于0, 4

对???0,存在N,当n?N时,

有|f(x?n)|?|fn(x)|??,x?[0,1],

从而当x?N?1时,有|f(x)|??,

即得limf(x)?0x???,结论得证。

设f在[0,??)上的连续,且对任何x?[0,1],

有limf(x?n)?0,但推不出f(x)?0n??lim。

x???

例如函数

f(x)?xsin?x

1?x2sin2?x满足在[0??,上的连续,且对任何x?[0,1]

lf(x??)n

n??im, 0

但不成立limf(x)?0x??? 。

四、设D???x,y?:x2?y2?1?,f?x,y?在D内连续,g?x,y?在D内连续有界,且满足条件: 当x2?y2?1时,f?x,y????;

在D中f与g有二阶偏导数,

?2f2

?x2??2f?y2?ef,?g?2g?x2??y2?eg.

证明:f?x,y??g?x,y?在D内处处成立.

证明:设u?x,y??f?x,y??g?x,y?,

则有 ?u??f??g?ef?eg??1etf??1?t?g

0???dt

5 有,

于是 ??e01tf?1?tg??dt?u ?C?x,y??u. ??u?C?x,y??u?0,?x,y??D , C?x,y??0; 由已知条件,存在0

有 ?r0?1,当r0?r?1时, u?x,y??f?x,y??g?x,y??0, x2?y2?r2.

?r????x,y?:x2?y2?r2?,

设 m?u?x,y?,我们断言,必有m?0, ?x,y??D(r)记D

假若m?0,则必有

易知??u

?x0,y0??D?r?,使得 u?x0,y0??m; ?0 ?x0,y0??0, C?x0,y0?u?x0,y0??0. x0,y0????u?C?x,y??u??

m?0 这与??u所以 ?C?x,y??u?0矛盾,

从而 u?x,y??0,?x,y??D?r?;

由r的任意性,得

u?x,y??0, ?x,y??D.

f?x,y??g?x,y?. 故在D内处处成立

五、 设R

考虑积分I???x,y?:0?x?1,0?y?1?R????x,y?:0?x?1??,0?y?1???. ???R

?dxdydxdy,I??,定义I?limI?, ????0?1?xy1?xyR?

; (1)证明 I??1

2

n?1n

1?u?x?y????2?1?2(2)利用变量替换:?,计算积分I的值,并由此推出??2. 6n?1n?v?1?y?x???2

证明:(1)由??xy?

n?1?n?1?1,在R?上一致收敛,可以进行逐项积分 1?xy

dxdy??n?1n?1?I?????????xy?dxdy 1?xyR??n?1?R?

6

???n?1?1??0?1??01????n?1n?1xydxdy ??n2

n?1?2n,

1????1又?n2n2

1????所以?n2

n?1?2n2n, 关于???0,1?是一致收敛的,可以逐项求极限,

于是有

??0?limI??lim????0n?1??1???n22n1??2

n?1n?.

故有 I??1

2

n?1n?;

(2) x?u?v,y?u?v

??x,y??2, xy?u2?v2 ?u,v11????????u,v?:0?u?,0?v?u????u,v?:?u?1,0?v?1?u? 22????

11?????u?1,?1?u?v?0? ???u,v?:0?u?,?u?v?0????u,v?:22????

注意到区域?关于u轴对称

dxdy2 I??dudv ????221?xy?1?u?vRu1?1?u?111???2? ?2?2?dv?du?1??dv?du? ?0??01?u2?v201?u2?v2???2???

?4?I1?I2?;

1

2

I1???udu

?0

??1

0?

?6

?2tdt 21?1??? ?6tdt??; ???02?6?418

7

I2??11??1?u?0du

1?sint?costdt cost

u?sint?2

6t1?tan??1?sintdt ??2arctan ??2arctandt6cost61?tan2

???t????2arctan?tan????dt

??42??6

??22??122?t???11??????2 ???dt????????????; 6?4?2?4?26?22?436?418?

或者利用分部积分,得

?

?2arctan

61?sintdt cost

?

21?sint ?tarctancost??

6??26?1?sint??t?dt 2??1?sint??cost?1????cost?1

????

66??

???2

6?1?t???dt ?2?

11??2?2?122 ??????????, 3622?436?418

于是I?2?4?I1?I2??

?122212?????, 18186

故?21??2. 6n?1n

2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答

一、计算题

(1) 求极限 limkk?(1?)sin?n??nn2k?1n

8

解法1 直接化为黎曼和的形式有困难.

注意到 sinx=

nx+O(x3), n?k3?3??k??k??k??k?lim??1??sin2?lim??1???2?O?6??, n??n??n?nn??nk?1?k?1??n??

33nk3?3?k?k??0,(n??), 由于 |??1??O(6)|??2C6n?nnk?1?k?1n

所以

nk??k??k?k?lim??1??sin2?lim??1??2n??n??n?nn?nk?1?k?1?n

1kk215???lim?(?2)???(x?x2)dx?0n??6nnk?1nn.

解法2 利用x-13x<sinx<x,得 6

, k?1k3?3k?k???sin?n26n6n2n2

nnnkk3?3k??k?k?1n?k??k?k?1??(1?)?1?sin???????2???1??262n?n6k?1nnn?nn?nk?1?k?1?k?1?, 33nk3?3?k?k?|??26?0,(n??), 由于|??1??6nnn?k?1?k?1n

n1kk215??k?k?lim??1??2??lim?(?2)???(x?x2)dx?0n??n??6n?nnnk?1?k?1nn, 所以limkk?5?(1?)sin??2n??nn6k?1n .

(2)计算

I??axdydz?z?adxdy2,

其中?为下半球z?a?0.

2122解法一. 先以?x2?y?z??a代入被积函数,

?zI????axdydz??z?a?dxdy1axdyd?z? ???a?a?2?a2dx,d y?x2?y2?a2

补一块有向平面S:?,其法向量与z轴正向相反,

?z?0

9

利用高斯公式,从而得到

?1?22I????axdydz??z?a?dxdy???axdydz??z?a?dxdy? a??S???+S-?

?1?2???????a?2?z?a??dxdydz???adxdy?, ??a??D?

其中?为?+S围成的空间区域,D为z??0上的平面区域x2?y2?a2, 1?2322?于是I???3a??a?2zdxdydz?a?a? ???a?3??

2?a014??a?2?d??dr?

?00a??

???

2a3.

解法二. 直接分块积分

I1?1axdydz,

??2????a?Dyz

其中Dyz为yOz平面上的半圆y2?z2?a2,z?0.

利用极坐标,得 I1??2?d???2?02???a3, 3

I2?12z?a??dxdy ??a?

21?

?a?dxdy, ???aDxy?

其中Dxy为xOy平面上的圆域,x

用极坐标,得

2?y2?a2,

a12?I2??d??2a2?2?r2rdr 0a0??

??3a, 6?I1?I2??因此I?

2

(3)现要设计一个容积为V的圆柱体的容积,已知上下两低的材料费为单位面积a元,而侧面的材料费为单位面积b元.试给出最节省的设计 10 a3.

方案:即高与上下底面的直径之比为何值时,所需费用最少?

解:设圆柱体的高为h,底面直径为d,费用为f, ?d?根据题意,可知???h?V?2?22,d2h?4V? ?d?f?a?2?????b??dh ?2?

?1????ad2?bd?h ?2?11?1????ad2?bdh?bdh? 22?2?

1??

2

?

?当且仅当ad2, ?bdh时,等号成立,

ha?, db

故当ha?时,所需要的费用最少. db

(4)已知1?11?f?x?在?,?内满足f??x??求f?x?. 33sinx?cosx?42?

1dx 33sinx?cosx解:f??x???

?2?11sinx?cosx????dx,

22?3?sinx?cosx2sinx?sinxcosx?cosx?

11dx?dx ?sinx?cosxsin?x?????4??

11

?tanx?2??C, 1

sinx?cosxsinx?cosxdx ?sin2x?sinxcosx?cos2xdx??112?sinx?cosx??22

?sinx?cosx??1

d?sinx?cosx? ?2?2?sinx?cosx??1

?2arctan?sinx?cosx??C2

所以,?2?sinx?cosx2dx x??2arctan?sinx?cosx??C. f?

x??tan23?

二、 求下列极限.

??1?n?

(1)limn??1?; ??e??n?????n??

?a?b?c? (2)limn???3??1n1n1n?????n,其中a?0,b?0,c?0.

??1?n???1?x?

解:(1)limn??1??limx??1???e? ??e???n???x????x???n?????

e?1?xln?1???x?

?lim?e

x???x

?lim?1??1??x??x

x?????1?1???1ln1??x???????x1?xx???? 1?2x

12

1?1?ln?1???x1?x?elimx???1?2x

111??1?xx?1?x?2

?elim x???123x

1?21?x?e? ? limx???12

x2

e1e ??. lim??2x???22?1??1???x?

?a?b?clim?

n???3??1n1n1n(2) ????lim?a?b?c?x????3????

ln

x???n1x1x1x?????x 111xxa?b?cx

?limex???xln111xxa?b?cxlim3 ?ex, a?b?clnlimx???x1x1x1x

11?1??1?xxxalna?blnb?clnc???2?111???x?xxx??lim x????2x1

11?1?xxx?lim1alna?blnb?clnc? 11?x????ax?bx?cx?1

13

?1?lna?

lnb?lnc??

3

11?1

an?bn?cn?故limn???3?????

???

???????

1

xn???ak?1一般地,有lim?n???m??m1nknak?0,k?1,2,?,m, ?ex?e2x???enx?lim?e??limx?0x?0n??lnex?e2x???enx?lnnex?e2x???enxlnx ??

?limex?0x?e

n?1

2. 1ex?2e2x???nenxlime?e???ex?01?? ?e1?1?2???n?n?e

三.设f?x?在x?1点附近有定义,且在x?1点可导,f?1??0,f??1??2, 求limx?0f?sin2x?cosx?x?xtanx

f?sin2x?cosx?

x?xtanx22. 解:limx?0

?sin2x?cosx?1f?sin2x?cosx??f?1??? ?lim??22x?0??x?xtanxsinx?cosx?1??

sin2x?cosx?1?f??1?lim 2x?0x?xtanx

xsinx?2sin ?2lim2x?0x?xtanx22

x?x?2sin2?cos2?1?2?2? ?2limx?0?sinx1?x2?1??xcosx??

14

x??2xcos?1?sin??lim??lim?x?0x?0x??1???xcosx

?1?

四、 设2 2?11?. 1?12f?x?在?0,??上连续,无穷积分?x?01yf?x?dx收敛,求lim?xf?x?dx. y???y0

解:设F

?x???0f?t?dt,由条件知,F??x??f?x?, ??0x???

ylimF?x???f?t?dt?A, y利用分部积分,得 ?0xf?x?dx??xF??x?dx?yF?y???F?x?dx, 00y

1y1yxf?x?dx?F?y???F?x?dx, ?0yy0

y???F?x?dxlim?limF?y??A, yyy???

于是1y1ylimxf?x?dx?limF?y??lim?F?x?dx y???y?0y???y???y0

五.设函数?A?A?0. ?1?f?x?在?0,1?上连续,在?0,1?内可微,且f?0??f?1??0,f???1. ?2?

?1????,1?证明:(1)存在?2?,使得f?????;

(2)对于每一

证明:(1)令F?,存在???0,??,使得f??????f???????1. ?x??f?x??x, ?1?1??, ?2?2由题设条件,可知F?

F?1???1;

利用连续函数的介值定理,得

15

存在???,1?2?1???,使得F????0,即f?????.

(2)令G?x??e??x?f?x??x?,

由题设条件和(1)中的结果,可知,

G?0??0,G????0;

利用罗尔中值定理,得

存在???0,??,使得G?????0,

由G?

即得

?x??e??x?f??x??1??e??x??f?x??x?, f??????f???????1.

六、 试证:对每一个整数n?2,成立

nnnen

????. 1?1!n!2

分析:这是一个估计泰勒展开余项的问题,其技巧在于利用泰勒展开的积分余项. 证明:显然n

下设n?1. kn1nnn???n?t?etdt, 由于e??n!0k?0k!n?0时,不等式成立;

这样问题等价于证明

n!?2e

即 ?n?0?n?t?

?nnnetdt, ???

??tedt?2en?tn?t?n0?n?t?etdt, n令u?n?t上式化为 tedt?2?une?udu, 0n?0

从而等价于

只要证明

设???nuedu??une?udu, 0n0n?un?2nnuedu??une?udu, n?uf?u??une?u,则只要证明

f?n?h??f?n?h?,?0?h?n?,

?f?n?h?dh??f?n?h?dh,

?f?u?du??f?u?du, 就有002nnn0nn

则问题得证.

16

以下证明f?n?h??f?n?h?,?0?h?n?,成立

nn?n?h??n?h?eh?n, 上式等价于?n?h?e

即nln

令g

则g?n?h??h?nln?n?h??h, ?h??nln?n?h??nln?n?h??2h, ?0??0,并且对0?h?n,有

dgnn???2 dhn?hn?h

2n22h2

?2??2?0, ?222n?hn?h

从而当0?h?n时,g?h??0,

这样问题得证.

注:利用这一结论,我们可以证明如下结论.

?ntt2tn??n?Fx?六、设n?1为整数,F?x??,证明方程,在e1?????dt???,n?上至少有一个根. ??0?2n!??2??1!2!x?t

knax11?xedx?n. 六、 证明:存在a?(n,n),使得??022k?0k!

证明:令f?y???y

0xke?, k?0k!?xn

则有nnknxn?n?f????2e?x???2e?xexdx?, 02?2?0k?0k!

n?xnnnxknk

?nf?n???e???e? 00k?0k!k?0k!

1n??e?n?endx?, 022n

由连续函数的介值定理,得 存在a??n?n?,n?,使得f?a??, 2?2?

n故问题得证. knxx?x?x?0, 这里是由于g?x??e?, g??x???en!k?0k!

g?x?在?0,???上严格单调递减,

17

所以,当0?x?n时,有g?x??g?n?.

f(x),使得f(f(x))?1?x2?x4?x3?x5,若存在,请给出一个例子;若不存在,请给出证明。 七、 是否存在R上的可微函数

证明 如果这样的函数

我们来求f(x)存在, f(f(x))的不动点,即满足f(f(x))?x的x,

x?1?x2?x4?x3?x5,

(x?1)(x4?x2?1)?0,

由此得x?1,这表明f(f(x))有唯一的不动点x?1,易知f(x)也仅有唯一的不动点x?1,f(1)?1,在等式f(f(x))?1?x2?x4?x3?x5,两边对x求导,得

f?(f(x))f?(x)?2x?4x3?3x2?5x4,

让x?1,即得(f?(1))2??2,这是不可能的,故这样的函数不存在。

八、设函数f在[0,??)上一致连续,且对任何x?[0,1],有

。 limf(x?n)?0n??, 证明: limf(x)?0x???

试举例说明,仅有

证明 f在[0,??)上的连续性推不出上述结论。

由f在[0,??)上一致连续,对?

??0???0, , 当y1,y2?[0,??)

且|y1?y2|??时, 便有|f(y1)?f(y2)|??2;

1??取定充分大的正整数k,使得k

ix?,i?0,1,?,k,每个小区间的长度。现把区间[0,1]k等分,设其分点为ik18

小于?。

对于任意x?1,x?[x]?[0,1);

|x?[x]?x|??从而必有xi,i?{0,1,?,k},使得i;

由条件对每个xi,有limf(xi?n)?0

n??;

于是存在N,当n?N时,|f(xi?n)|??

2,对i?0,1,?,k都成立;

故当x?N?1时,便有

|f(x)|?|f(xi?[x])|?|f(x)?f(xi?[x])|??

2??

2??,

即得limf(x)?0x???,结论得证。

设f在[0,??)上的连续,且对任何x?[0,1],有limf(x?n)?0n??, 但推不出上述结论。

例如函数

f(x)?xsin?x

1?x2sin2?x满足在[0??,上的连续,且对任何x?[0,1]

lf(x??)n

n??im, 0

但不成立limf(x)?0x??? 。

高等数学竞赛试题7答案

一、求由方程x2?y3?xy?0所确定的函数y?y?x?在?0,???内的极值,并判断是极大值还是极小值.

x2?y3?xy?2x?3y2y???y?xy???0y??y?2x

解:对0两边求导得,3y2?x

19 有,

令y??0x?1,y?1

得y?2x,代入原方程解得84. y??2??3y2?x???y?2x??6yy??1?

x?11??y??

8,y?4?3y2?x?2x?1

8,y?1

4,y??0

.

x?11

故当8时,y取极大值4. u?arctanx?y?u?2u

二、设1?xy,求?x, ?x2.

?u11?xy??x?y?y

?x?2

1???1?xy2

?x?y?1

解:?1?xy???=1?x2,

?2u?2x

?x22

=1?x2

I?xdy?ydx

L2

三、计算曲线积分4x?y2

,其中L是以点(1,0)为中心,R为半径的圆周R?0,R?1,取逆时针方向.

P?x,y???yQ?x,y??x?Py2?4

:4x2?y2

, 4x2?y2

解, 当?x,y???0,0?时, ?y?x2?Q4x2?y22??x, ?0,0??D,由格林公式知,I?0.

?

C:?x??cos?

当R?1时, ??20,0??D,作足够小的椭圆曲线??y??sin?,?从0到2?.

xdy?ydx

L?C?

当??0充分小时,C取逆时针方向,使C?D,于是由格林公式得4x2?y2?0

, 1

xdy?ydxxdy?ydx2

L4x2?y2??C4x2?2?

因此?y2

=?0?2 =?

四、设函数f?x?在?0,???内具有连续的导数,且满足

f?t??2???x2?y2?fx2?y2?dxdy?t4

D,

其中D是由x2?y2?t2

所围成的闭区域,求当x??0,???时f?x?的表达式.

2?t

解:f?t??2?d??r2f?r?rdr?t400

20 0?R?1时 当

=

两边对t求导得 4??r3f?r?dr?t40t,

f??t??4?t3f?t??4t3

,且f?0??0,

这是一个一阶线性微分方程,解得

f?t??1

??e?t?14? ??11??n???aan??0xsinxan?1n?1?n五、设,求级数

解:令x????的和. ?n??t, 则an??0?n??t?sintdt

n?n?

=n??0sint?an

sint.

n?an?2?n?

n2??2??

0n2?sint?2??

0sintdt?n2?.

111??anan?1 1??1???nn?1??.

?Sn??

?k?1n?n1??1??

n?1?, =k?S?

n1?1???n?1?在六、设f?x??0,???上连续且单调增加,试证:对任意正数a,b,恒有

?abxf?x?dx?a1bb?f?x?dx?a?f?x?dx020

x??.

解:令

则F?x??x?f?t?dt0x0, ,

bF??x???f?t?dt?xf?x?b

?xf?t?dt?xf?x??dxF?b??F?a???F??x?dx?a???0?? a=

21

????xf?x??xf?x???dx a

=b2?xf?x?dxab,

于是?baxf?x?dx?a11?b?Fb?Fa??bfxdx?af?x?dx?????????????0?. 22?0

七、设??u,v?具有连续偏导数,由方程??x?az,y?bz?=0确定隐函数z?z?x,y?,求

?1???1?a?

??z???z??????2??b??0?x???x?, a?z?z?b?x?y. 解:两边对x求偏导得

两边对y求偏导得?1????a????z??z?????1?b2????0?y??y??,

?z?1??z?2??z?z??a?b?xa?1??b?2??xa?1??b?2??x?y=1. ,,

xn?2n?

八、设1?1

2???

n1n,判别数列?xn?的敛散性.

x解:定义0

当n?

?0,令uk?xk?xk?1,则k?1un?xn?xn?1??uk?xn, 2时,?,

=

??1

?2.

limn??un1??4,

由n?1?u

可知n?1?n收敛,从而?xn?收敛.

在球面2222x?y?z?R?R?0?上,问当r为何值时,球面??九、设半径为r的球面?的球心在球面0:?0内部的那部分面积最大?

解:由对称性可设?的方程为x2?y2??z?R??r22,球面?z?R??

0被球面所割部分的方程为

?z??x

, ?z??x,

?

22

r4

222x?y?r?

2?xoy4R球面?与球面0的交线在平面的投影曲线方程为

l?,令S?

r??所求曲面面积为D2?l??d??d?00,

?r2?2?r?r??2R?? =.

令S??r??0r?得驻点4R3, r?

容易判断当4R3时,球面?在球面?0内部的那部分面积最大.

I??L

十.计算x2?y2x?12?y222x?y?2x,y?0. L,其中曲线弧为:

解: y?2x?x2y??

, (1) 1?x2x?x2

,

ds??2, (2) I??L

将(1)、(2)代入x2?y2?x?1?

dx?y2得 2I??2

02x12x?x2

=2?012?x =4.

22z?1?x?y?,其中是曲面被平面z?0所截出部分的上侧. 十一.计算曲面积分I???2x3dydz?2y3dzdx?3?z2?1?dxdy?

22?x?y?1所围成的部分的下侧,?为由?xoy1解:记为平面上被园与?0围成的空间闭区域.由高斯公式知

???1???2x3dydz?2y3dzdx?3?z2?1?dxdy????6?x2?y2?z?dv? =6?d??dr?002?11?r20?z?r?rdz 2

1?12?12???r?1?r2??r3?1?r2??dr02?? =

=2?.

23

2xdydz?2ydzdx?3?z???3312?1?dxdy??x2?y2?1???3dxdy=3? I?2??3????

24

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