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2013年全国初中数学竞赛试题

发布时间:2013-10-11 08:05:49  

2013年全国初中数学竞赛试题

一、选择题(共5个小题,每小题7分,共35分。每道小题均给出了代号为A、B、

C、D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.设非零实数a、b、c满足?

(A) -?a?2b?3c?0ab?bc?ca,则2的值为( ) 222a?3b?4c?0a?b?c?11 ( B) 0 (C) (D) 1 22

22.已知a、b、c是实常数,关于x的一元二次方程ax?bx?c?0有两个非零实根,则下列关于x的一元二次方程ax?bx?c?0中,以

是( )

(A) cx?(b?2ac)x?a?0 ( B) cx?(b?2ac)x?a?0

(C) cx?(b?2ac)x?a?0 (D) cx?(b?2ac)x?a?0 3,如图,在Rt△ABC中,已知O是斜边AB的中点,CD⊥AB,DE⊥OC,垂足为E,若AD,DB,CD的长度都是有理数,则线段OE、DE,AC的长度中,不一定是有理数的为( ) ...2222222222222222211,为两个实根的22x1x2

(A) OD ( B) OE (C) DE (D) AC

O

4、如图,已知△ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC上,且BC=4AF,DCFE是平行四边形,则图阴影部分(△BDE+△ADE)的面积为( )。

(A) 3 ( B) 4 (C) 6

5.对于任意实数x,y,z3x3?3x2y2?xy3?45为:x*y?,(x?1)3?(y?1)3?60

1

且x*y*z?(x*y)*z,则2013*2012*??*3*2的值为( )

(A) 1821546316389607 ( B) (C) (D) 967967967二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

326.设a?,b是a的小数部分,则(b?2)7.如图,点D、E分别是△ABC的边AC、AB交于点F,已知△CDF,△BFE,△BCF的面积分别是3AEFD的面积是。

8.已知正整数a、b、c满足a?b?2c?2?0,3a?则abc的最大值为 。 229.实数a,b,c,d满足:一元二次方程x?cx?d?0的两根为a,b,一元二次方程x

?ax?b?0的两根为c,d,则所有满足条件的数组(a,b,c,d)为 。

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元,圆珠笔每支售7元。开始时他有铅笔和圆珠笔共350支,当天虽然笔没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2013元,则他至少卖出了 支圆珠笔。

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11.如图,抛物线y?ax?bx?3,顶点为E,该抛物线x与轴交于A,B两点,与222

1y轴交于点C,且OB=OC=3OA。直线y??x?13

求∠DBC-∠CBE.

2

12.设△ABC的外心,垂心分别为O,H,若B,C,H,O共圆,对于所有的△ABC,求

∠BAC所有可能的度数。

13.设a,b,c是素数,记x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,当z?y,2x?y?2时,a,b,c能否构成三角形的三边长?证明你的结论。

14.如果将正整数M放在正整数m左侧,所得到的新数可被7整除,那么称M为m的“魔术数”(例如,把86放在415的左侧,得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数),求正整数n的最小值,使得存在互不相同的正整数a1 a2? ,an,满足任意一个正整数m,在a1 a2? ,an中都至少有一个为的m魔术数。

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