haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

新数学竞赛讲座(第三讲)级数

发布时间:2013-10-15 09:01:50  

数学竞赛讲座
王进良
无穷级数

ln(n! ) 1. 判别? ? 敛散性 n n ?1

?

判别级数的敛散性

ln(n! ) 解: (1)? ? 0时, n? ? ?, (n ? ? ) ? 发散 ln(n! ) ( n ? 1) ln 2 ln 2 ln 2 ( 2)0 ? ? ? 2时, ? ? ? ? ?1 ? , ? 发散 ? n n n n ln(n! ) n ln n ln n ( 3)? ? 2时, ? ? ? ? ? ?1 , n n n ln n ln n 1 1 取? ? 1 ? r ? 1, ? ?1 ? ? ?1? r ? r ? r , ? 收敛 n n n n

2.

n?1 判别? ( n ? 1 ? n ) ln 敛散性 n?1 n ?1
? 1 2

解:

( n ? 1 ? n) ?

1 2

1 ( n ? 1 ? n)
1 2

n?1 2 2 ln ? ln(1 ? )? n?1 n?1 n?1
1 n?1 n?1 ( n ? 1 ? n ) ln ln 2 n ? 1 ? lim ( n ? 1 ? n ) lim n ? 1 ? 2 lim 5 1 n? ? n? ? n? ? n 4 4 n n 1 2

n?1 ? ? ( n ? 1 ? n ) ln 收敛 n?1 n ?1
? 1 2

原级数的部分和S n与? ( ?1)k uk的部分和T[ n ]的关系:
k 2[ n ] ? 1 ?1 | S n - T[ n ] |? ? 0( n ? ? ) ? 2 [ n]

判别级数的敛散性 ? ( ?1)[ n ] 3. 判别? 敛散性 n n ?1 解: n ? k 2 , k 2 ? 1,?, k 2 ? 2k时, n ] ? k 当 [ ? 2k ? 1 考虑级数 ( ?1) k ? 2 ? ? ( ?1) k uk , 为交错级数 ? k ?1 j ?0 k ? j k ?1 2k ? 1 下证 : {uk } ? 显然,0 ? uk ? ? 0( k ? ? ) k2 2 注意到, (k 2 ? j )( k ? 2k ? j ) ? ( k 2 ? k )2 , (0 ? j ? k ) 2k k ?1 1 1 1 1 2k ? 1 ? uk ? ? 2 ? ?[ 2 ? 2 ]? 2 ? 2 , k ? 2k ? j k ? k k ? k j ?0 k ? j j ?0 k ? j 2k ? 2 ? 1 2k ? 3 又uk ?1 ? ? ? ? uk ? {uk } ? , ( ?1) k uk 收敛 ? 2 2 ( k ? 1) j ? 0 ( k ? 1) ? j k ?1 ?
( ?1)[ ? n n ?1
? n]

收敛,条件收敛

( ?1)n n2 n 4. 判敛散: ? (n ? a )n ? b (n ? b)n ? a , a, b ? 0, n ?1 n2 n 1 1 e ?(a ? b) ? ? ? a?b a b n 解:n ? a )n ? b ( n ? b)n ? a ( n ? a )b ( x ? b)a ( n [(1 ? )(1 ? )] n n 2n ? n (1) ? a ? b ? 1时, ? (n ? a )n ? b (n ? b)n? a 收敛, n ?1
?

x2x ( 2)当0 ? a ? b ? 1时,f ( x ) ? ( x ? a ) x ? b ( x ? b) x ? a n2n [ln f ( x )]' ? 0 ? ln[ f ( x )] ?? f ( x ) ? 且 ?0 n? b n? a ( n ? a ) ( n ? b) n 2n ?
( ?1) n ? 0 ? a ? b ? 1时, , ? (n ? a )n ? b (n ? b)n ? a 条件收敛 n ?1

( ?1)n n 2 n ( 3)a ? b ? 0时, ? 0 ? 级数发散, n? b n? a ( n ? a ) ( n ? b)

/

( ?1) n 5. 判敛散: ln[1 ? p ] p ? 0 , ? n n ?1
?

解:

( ?1)n ( ?1)n 1 1 ln[1 ? ]? ? 2 p ? o( 2 p ) p p n n 2n n
?

( ?1)n ? (1) p ? 1时, ln[1 ? ]绝对收敛, ? p n n ?1
? 1 ( ?1)n ? ( 2) ? p ? 1时, ln[1 ? ]条件收敛, ? p 2 n n ?1 ? 1 ( ?1)n ? ( 3)0 ? p ? 时, ln[1 ? ]发散。 ? p 2 n n ?1

6.
解:

n 2 ? ?n ? ? 判敛散: sin[ ? ] ?,? ? 0 , ? n n ?1
?

n2 ? ?n ?

? ? n sin[ ? ] ? ( ?1) sin[(? ? )? ] n n
n2 ? ?n ? ? 当? ? 1, ?时, 2, sin[ ?]? 0 n ? n 2 ? ?n ? ? ? ? sin[ ? ]发散。 n n ?1

/

n2 ? ?n ? ? ? n ?? 当? ? 1, ?时, 2, sin[ ? ] ? ( ?1) sin ? n n
n 2 ? ?n ? ? {sin ? } ? 0, ? sin[ ? ]条件收敛 n n n ?1
?

?

7.

证明:级数?
n? 2

?

( ?1) n n ? ( ?1)
n

条件收敛

级数为交错级数,且un ? 解:

1 n ? ( ?1) n
? n? 2

? 0( n ? ? ),但不单调。

n?1 考虑部分和
S2n ?
2 n?1

un ?

1

, 而?
n? 2

?

1 n?1
1 3 ?

发散, ? un发散 ?
)?( 1 5 ? 1 4 ) ??? ( 1 2n ? 1 ? 1 2n )?0

?
k ?2

( ?1) k k ? ( ?1)
k

?(

1 2

? { S 2n ?1 } ?
又S 2 n ? ( 1 4

?

1 2

)?(

1 6

?

1 4

) ? ?? (

1 2n ? 2

?

1

? { S 2n }收敛。 S 2 n?1 ? S 2 n ? u2 n? 2 ? lim S 2 n ? lim S 2 n?1
n? ? n? ?

2n 2n ? 2 1 ?? . 2

)?

1

?

1 2

? { S n }条件收敛。

8.

sin?x 设an ? ? dx, n ? 1,2,... n., p ? 0, 证明: n? x p ? 1 ? (1) p ? 1, ? an绝对收敛; ( 2)0 ? p ? 1,时, an条件收敛。 ?
n?1
n? 0 n? 0

解:

(1) p ? 1时,an |? ? |

n ?1

n

| sin?x | 1 dx ? p , 级数绝对收敛。 p x ?1 n
n?1 n n?1 sin?x 1 2( ?1) n dx ? p p ?n sin?xdx ? ? (? np ? 1) x ?1 ?n ? 1

( 2)0 ? p ? 1, 时,a n ? ?

其中,? np ? [n, n ? 1]
0? 2

? (?
?

p n?1

? 1)

?

2

? (? ? 1)
p n

?{

2

? (? ? 1)
p n

}? 0

? ? an条件收敛。
n? 0

9. 判别? n
n ?1

?

1 ( n! )?

敛散性

解:

斯特林公式: ! ? 2?n ? nn ? e ? n?? n /(12n ) n
?? ? ?n
12 n 2

1
n

( n! )

?

?

e ( 2?n)

?
2n

?n

?

e ? ? n

?

?? ? 1时,级数收敛;? ? 1时,级数发散。

10. 设x1 ? 1, xn ? 1

1 ? xn ? x , 证明: ? 1 ? x 收敛 n ?1 n
2 n

?

证明: x ? x ? x 2 ? x ? x (1 ? x ) n?1 n n n?1 n n

?

1 xn ? 1

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? xn 1 ? xn 1 ? xn xn xn ? 1
n

n 1 1 1 1 部分和: n ? ? S ??[ ? ] ?1 ? xk ? 1 xn ? 1 k ? 1 1 ? xk k ? 1 xk

又x n ? 1

1 ? xn ? x ? xn ? 1 ? xn ? 1 ? { } ? 有下界0 xn
2 n

11. 设an ? 0, ? an发散,试判断敛散性
? an an (1)? , ( 2 )? 2 n ? 1 1 ? n an n ? 1 1 ? an ?

?

n ?1

解:

an an 1 (1) ? 2 ? 2 ? 收敛 2 1 ? n an n an n

? an 1 an ( 2)若{an }有界,? an ? M , 0 ? an, ? ? 发散 1 ? an 1 ? M n ? 1 1 ? an

an 若{an }无界,则 ? 0,否则 an }有界 { / 1 ? an ? an ?? 发散 n ? 1 1 ? an

0 阶导数,且 12. 设f ( x )为偶函数,在 点的某邻域内有连续二
1 f (0) ? 1, f ' (0) ? 0, f " (0) ? 2, 证明? | f ( ) ? 1 |收敛 n n ?1

1 1 1 1 1 证明: f ( ) ? f (0) ? f ' (0) ? f "(? ) 2 , ? ? (0, ) n n 2 n n
?

f (0) ? 1, f "(0) ? 2, f ' (0) ? 0

1 | f ( ) ?1| 1 1 1 n | f ( ) ? 1 |? 2 | f "(? ) |? lim ? lim | f "(? ) |? 1 n? ? n?? 2 1 n 2n n2
1 ? ? | f ( ) ? 1 |收敛 n n ?1
?

a 13. 若正项级数 an收敛,则 (an ? 1)2收敛 ? ?
n

?

?

n ?1

n ?1

证明:

a (an n ? 1)2 ? [exp{ an ln an } ? 1]2 ? (an ln an )2

a (an n ? 1)2 ? lim ? lim an ln2 an ? 0 n? ? n? ? an

a ? ? (an n ? 1)2收敛 n ?1

?

14.

设数列 an }, (bn )满足e a n ? an ? e bn , 证明: {

(1)若an ? 0, 则bn ? 0 bn ( 2)若an ? 0, 且 ? an收敛,则 ?1 a 收敛 n ?1 n? n
? ?

证明:

(1)e a n ? an ? e bn ? 1 ? an ? bn ? 0

bn ln[e a n ? an ] ln[e x ? x ] 1 ( 2) lim 2 ? lim ? lim ? 2 2 n?? a n? ? x?? an x 2 n

bn ? ? 收敛 n ? 1 an

?

15.

设 0 ? u1 ? 1, un ? 1

? 1 2 ? un ( un ? 1), 讨论? un收敛性 2 n ?1

0 证明: 显然,? un ? 1

un ? 1 1 2 ? ( un ? 1) ? 1 un 2
设 lim un ? A ? u1 ? 1
n? ?

{un } ? 有界

1 ? A ? A( A2 ? 1) ? A ? 0 2
un ? 1 1 2 1 lim ? lim ( un ? 1) ? n? ? u n? ? 2 2 n

? ? un收敛
n ?1

?

a1 ? a2 ? ? ? an 收敛 ? 16. 设{an } ? 0, 证明: ( ?1) n n ?1
? n

解:

a1 ? a2 ? ? ? an 记bn ? , 则 lim bn ? lim an ? 0 n?? n?? n
bn ? bn ? 1
?

( n ? 1)an ? (a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ) ? ?0 n( n ? 1)
n

a1 ? a2 ? ? ? an ? ? ( ?1) 收敛 n n ?1

17.

1 n 设 ? an收敛,试证: lim ?1 kak ? 0 n?? n ? 1 n ?1 k?
n k ?1 n? ? n??

?

解: 设sn ? ? ak , 则, lim sn ? A, lim s1 ? s2 ? ? ? sn ? A
n?1
1 n s1 ? s2 ? ? ? sn ? lim lim ] ? kak ? n??[ sn ? n?? n ? 1 n?1 k ?1

? A? A ? 0

18. 解:

设a1 ? a2 ? ? ? an ? 0, 且 ? an发散,则

?

a 2 ? a4 ? ? ? a 2 n ?1 n? ? a ? a ? ? ? a 1 3 2n ?1 lim
a 2 ? a4 ? ? ? a 2 n ? ?1 a1 ? a3 ? ? ? a2 n ? 1

n ?1

a 2 ? a4 ? ? ? a 2 n a 3 ? a5 ? ? ? a 2 n ? 1 a1 ? a2 n ? 1 又 ? ? 1? a1 ? a3 ? ? ? a2 n ? 1 a1 ? a3 ? ? ? a2 n ? 1 a1 ? a3 ? ? ? a2 n ? 1

a1 ? a2 n ? 1 ? 1? ?1 1 s2 n 2

1 f ( n ) ( 0) , 且a n ? ,n ? 0, 19. 设f ( x ) ? 2 1? x ? x n! ? an ? 1 证明: ?0 a a 收敛,并求和 n? n n? 2 f (0) ? 1, f ' (0) ? 1, 且(1 ? x ? x 2 ) f ( x ) ? 1 解:
f ( n ) ( 0) f ( n ? 1 ) ( 0) f ( n ? 2 ) ( 0) 求n阶导数: ? ? , n?2 n! ( n ? 1)! ( n ? 2)! ? an ? 2 ? an ? 1 ? an , a0 ? a1 ? 1
n ak ? 1 1 1 1 1 1 1 部分和S n ? ? ? ?[ ? ]? ? ? ? ak ? 2 a0 a1 an ? 1 an ? 2 k ? 0 ak ak ? 2 k ? 0 ak n

1 1

? ? ?2 a0 a1

a n bn n 20. 求? ( ? 2 ) x 的收敛域,其中,, b ? 0 a n n ?1 n
a a n bn 解:(1)a ? b, n ? n n ? n 2 ? n
n

?

a a n bn 1 n , lim ? 2 ? a, ? R ? n? ? n n a n/ 2

b n b n ( ) (? ) ? ? 1 ( ?1)n a )发散, ( a )收敛 ? 收敛区间:[? 1 , 1 ) ??( ? 2 ? n ? n2 n a a n ?1 n n ?1
( 2)a ? b, n b n2 ?n a n bn ? 2 ? n n b , n/ 2

n

a n bn 1 n lim ? 2 ? b, ? R ? n?? n n b

a n a n (? ) ? ( ) 1 ? ( ?1)n 1 1 b ? ), ( b ? ??( )收敛 ? 收敛区间:[? , ] 2 ? 2 n n n ?1 n n b b n ?1

21.

1 ( ?1)n 求? ( 2 ? ? sinn) x n的收敛域 n n ?1 n
?

1 ( ?1)n 解: |( 2 ? ? sinn) x n |? 3 | x |n n n ? ? 1 ( ?1)n ?| x |? 1时, 3 | x |n 收敛 ? ? ( 2 ? ? sinn) x n绝对收敛 ? n n ?1 n ?1 n

1 ( ?1)n 当 | x |? 1时, 2 ? ( ? sinn) x n ? 0 / n n
收敛区间:1,1) (?

1 ? n2 ? nx 22.求? (1 ? ) e 的收敛域 n n ?1

?

解:

n

1 ? n2 ? nx 1 ?n ? x (1 ? ) e ? (1 ? ) e ? e ? ( x ?1) n n
?

1 ? n2 ? nx 当x ? ?1时,正项级数? (1 ? ) e 收敛 n n ?1 ? 1 ? n2 ? nx 当x ? ?1时,正项级数? (1 ? ) e 发散 n n ?1 1 ? n2 n 1 n n 当x ? ?1时,un ? (1 ? ) e ? [e /(1 ? ) ] n n 1 ? n2 ? nx ? ? (1 ? ) e 的收敛域( ?1,??) n n ?1
?

?e

1 n[1? n ln( 1? )] n

?e

1 1 ?O( ) 2 n

?e ?0

1 2

23. 解:
n

n 2? n k 求 lim Cn ? k 2 ? n? ? n( n ? 1) k ?1

k 首先计算? C n ? k 2
k 考虑? C ? x ? ? C n ? x k ? 1 ? (1 ? x ) n ? 1 n

n

k ?1

n

? ? C ? kx k ?1 ? n(1 ? x ) n?1
k ?1 n

k ?1 k n

k n

k

k ?0

k ? ? C n ? kx k ? nx (1 ? x ) n?1 k ?1

n

k ? ? C n ? k 2 x k ?1 ? n(1 ? x ) n ?1 ? n( n ? 1) x (1 ? x ) n ? 2 k ?1 k 令x ? 1, 有: C n ? k 2 ? n( n ? 1)2 n? 2 ? k ?1
n 2? n 1 1 k 2 lim ? C n ? k ? lim 4 ? 4 n? ? n( n ? 1) n? ? k ?1

n

24.

求( ? x n ) 3中的项x 20的系数
n ?1
?

?

x 3 x3 解: (? x n )3 ? ( ) ? 1? x (1 ? x ) 3 n ?1 ? ? 1 1 n ? ? ? nx n?1 , (| x |? 1) ? ? ? x , (| x |? 1) (1 ? x ) 2 n?1 1 ? x n? 0
? 2 ? ? ? n( n ? 1) x n? 2 , (| x |? 1) (1 ? x )3 n? 2
? 1 3 ? ? (? x n ) 3 ? x ? n( n ? 1) x n? 2 ? ? n( n ? 1) x n?1 2 n? 2 n ?1 n? 2 ?

19 ? 18 (? x ) 中的项x 的系数 2 n ?1
? n 3 20

25.

求和: ( ?1) ?
n ?1

?

n ?1

sinnx n( n ? 1)

e jnx ? cos(nx ) ? j sin(nx ) 解: ? 1 ( ?1) n?1 n s(0) ? 0, s' (0) ? 首先计算和:s( t ) ? ? t , (| t |? 1) 2 n ?1 n( n ? 1) ? ? ( ?1) n?1 n?1 1 n ?1 n ?1 [ts( t )]' ' ? [? t ]' ' ? ? ( ?1) t ? 1? t n ?1 n( n ? 1) n ?1

?[ts(t )]' ? ln(1 ? t )

? ts(t ) ? ? ln(1

? t )dt ? ?t ? (1 ? t ) ln(1 ? t ) 0 1? t ? s ( t ) ? ?1 ? ln(1 ? t ), ( t ? 0) t jx 将t ? e 代入上式,比较虚部得到

t

? (?1)
n ?1

?

n ?1

sinnx x x ? (1 ? cos x ) ? sin x ln(2 cos ) n( n ? 1) 2 2

x 26. 利用级数求定积分: ?0 1 ? e x dx ?x ? ?? ? ? xe ?? x 解: ? dx ? ? dx ? ? [ xe? x ? ( ?1) n e ? nx ]dx 0 1? ex 0 1 ? e?x 0 n? 0 ? ?? ? ? ( ?1)n ? xe?( n?1) x dx
1 ?2 ?? ? 2 6 n ? 0 ( n ? 1)
n? 0 ? 0

??

27. 解:

? dx 1 证明: x dx ? ? n ?0 x n ?1 n 1

1 ? x ? x ? e ? x ln x , ( x ? 0, x ln x ? 0, x ? 0? ) ? ? xx 1 n n 1 ? ? ( ? x ln x ) ? ? ( ?1) x n lnn x n! n ? 0 n! n? 0
? dx ( ?1) n 1 n n ?0 x x dx ? ? n! ?0 x ln xdx n ?1 1 n! n n n ?0 x ln xdx ? ? ? (?1) (n ? 1)n?1 1

??

1

0

? dx 1 dx ? ? n x x n ?1 n

sin n? ? sin(sin? )e cos? 28. 证明: ? n! n ?1 ? xn 解: ex ? ? , ( ?? ,??) n ? 0 n! 令,x ? cos ? ? j sin?
?

cos n? ? j sinn? e ?? , n! n? 0 ? sinn? ? sin(sin? )e cos? 比较虚部: ? n! n ?1
cos? ? j sin? ?

设f ( x )周期为2? , f ( x ) ? e ?x , ( x ? [0,2? ), ? ? 0), 将f ( x )展开成 1 Fourier级数,并求? 1 ? n2 n ?1 1 2? ?x 解: a0 ? ? e dx ? 1 (e 2?? ? 1)

29.

?

?

0

由Dirichlet定理, ? e 2?? ? 1 1 ? cos nx ? n sin nx ?x e ? [ ?? ], ( x ? (0,2? )) 2 2 ? 2? n?1 ? ?n ? ? 0, x ? 1有: e 2? ? 1 1 ? 1 f (0) ? f ( 2? ) e 2? ? 1 [ ?? ]? ? 2 ? 2 n ?1 1 ? n 2 2 ? 1 ? e 2? ? 1 1 ?? ? ? 2? ? 2 2 e ?1 2 n ?1 1 ? n

? 2 ? n2 1 2? ?x e 2?? ? 1 ? bn ? ? e sinnxdx ? ? ? 2 0 ? ? ? ? n2
0

an ?

??

1

2?

??

e cos nxdx ?

?x

e 2?? ? 1

?

?

?

30. 设f ( x )实值连续,且f ( x ) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2 )
证明:f ( x )为常数
1
1

解: an ? 2?0 f ( x ) cos 2n?xdx,
an ? 2? f ( x ? 2 ) cos 2n?xdx ? 2?
0 1? 2

1? 2 2

bn ? 2? f ( x ) sin2n?xdx,
0

1

f ( t ) cos 2n? (t ? 2 )dt
1? 2

? 2 cos 2 2n? ? f (t ) cos 2n?tdt ? 2 sin2 2n? ? f (t ) sin2n?tdt 2 2 1 1 ? 2 cos 2 2n? ? f (t ) cos 2n?tdt ? 2 sin2 2n? ? f (t ) sin2n?tdt
? an cos 2 2n? ? bn sin2 2n? 同理有: bn ? bn cos 2 2n? ? an sin2 2n?
0 0

? an ? bn ? 0, ( n ? 0), f ( x )为常数。


网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com