haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

新数学竞赛讲座(第三讲)(习)

发布时间:2013-10-15 09:01:52  

数学竞赛讲座
王进良
三、级数(练习题)

一、1

n 1 判别? (? k!)敛散性 n ? 1 ( 2n)! k ? 1

?

解:

n 1 1 n ? n! n ( ? k!) ? ? n ? n! ? ? n ( 2n)! k ? 1 ( 2n)! ( 2n)!!( 2n ? 1)!! 2 ( 2n ? 1)!!

n ? n 2
n 1 ?? ( ? k !)收敛 n ? 1 ( 2n )! k ? 1 ?

一、2

判敛散: sin[? ( 3 ? 5 )n ] ?
n ?1

?

证明: ( 3 ? 5 )n ? an ? bn 5 ? ( 3 ? 5 )n ? an ? bn 5
?| sin[? ( 3 ? 5 )n ] |?| sin[? ( 3 ? 5 )n ] |
? 4 ? ? 4 ? ?| sin[? ? ? ] |? ? ? ? ?3? 5? ?3? 5 ?
n n

? ? sin[? ( 3 ? 5 )n ]收敛
n ?1

?

一、3.

1 n 判敛散: (1 ? ?2 ln n ) n?

?

证明: 0 ? (1 ? 1 )n ? exp{ n ln(1 ? 1 )} ? exp{ ? n }
ln n ln n ln n n 1 exp{ ? }? 2 ln n n (? n ? 2 ln2 n)

1 n ? ? (1 ? ) 收敛 ln n n? 2

?

一、4.

[( n ? 1)! ]n 判敛散: ?1 2!4!?(2n)! n?
?

证明:

[( n ? 1)! ]n an ? 2!4!?( 2n)!

an 1 [( n ? 1)! ]n [n ? 1]n n?1 1 ? ? ? ? ? ? n ?1 an ? 1 ( 2n)! [n! ] ( 2n)?( n ? 1) 2n 2

[( n ? 1)! ]n ?? 收敛 n ? 1 2!4!?( 2n)!
?

2 ? ( ?1)n 一、5. 判敛散: ?1 2n n?
?

解:

2 ? ( ?1)n 2 1 0? ? n ? n ?1 n 2 2 2

2 ? ( ?1)n ? 2n ?1 收敛 ? ? 2n 收敛 n ?1 n ?1
?

1

?

一、6.
解:
n

nln n 判敛散: ?2 (ln n)n, n?

?

nln n n ? n (ln n) ln n

ln n n

n

ln n n

?e

ln 2 n n

? e0 ? 1

nln n ?? 收敛 n n ? 2 (ln n)

?

一、7.

an 判敛散: ?1 (1 ? a )(1 ? a 2 )?(1 ? a n ) , a ? 0 n? an 收敛 2 n n ? 1 (1 ? a )(1 ? a )?(1 ? a )

?

? 证明: 当a ? 0时, ?

?a , 0 ? a ? 1 an a ?1 ? (1 ? a )(1 ? a 2 )?(1 ? a n ) lim ? lim a?1 ? n ?1 n? ? n? ? 1 ? a n a ?2 ?0 a ? 1 (1 ? a )(1 ? a 2 )?(1 ? a n ? 1 ) ?
an ?? 收敛 2 n n ? 1 (1 ? a )(1 ? a )?(1 ? a )
?

一、8.

e n n! 判敛散: n ?n n ?1

?

e n n! 解: un ? n n un lim ? lim n?? u n? ? n ?1

un 但是, un ? 1

e ? 1 ? 比值判别法不行 1 n (1 ? ) n e ? ? 1 ? {un } ? 1 n (1 ? ) n
n? ?

? u1 ? e , ? lim un ? 0

x 2n 二、1. 求和: ( ?1)n ? ( 2n)!! n ?1

?

解:

x2 n x2 ) 2n 2n ? ? ? (? n x n x 2 ? e? 2 ? (?1) (2n)!! ? ? (?1) 2n n! ? ?0 n! n?0 n?0 n?
x ? (??, ?)

n 二、2. 求和: ( ?1) ?0 ( 2n ? 1)! n?
n

?

解:

n 1 2n ? 1 ? 1 1 1 1 ? ? ? [ ? ] ( 2n ? 1)! 2 ( 2n ? 1)! 2 ( 2n)! ( 2n ? 1)!

? n 1 ? 1 1 n n n ? (?1) (2n ? 1)! ? 2 [? (?1) (2n)! ? ? (?1) (2n ? 1)!] n?0 n?0 n?0

?

1 ? [cos 1 ? sin1] 2

二、3. 解:

2n ? 1 求和: ? 2n n ?1
?
?

s( x ) ? ? ( 2n ? 1) x 2 n ? 2
n ?1

x 1 ? x2 ? [? x 2 n ? 1 ]' ? [ ]' ? 2 1? x (1 ? x 2 )2 n ?1
?

?

1 ( 2n ? 1) 则 s ( ) ? 2? ?6 n 2 2 n ?1

2n ? 1 ?1 2n ? 3 n?
?

二、4. 解:

cos nx 求和: ? n! n ?1
?

?

zn e z ? ? , (| z |? ??) n ? 0 n!

? cos nx cos nx 取实部: e cos x cos(sinx ) ? ? ? 1? ? n! n! n? 0 n ?1

令,z ? cos x ? j sin x ? cos nx ? j sinnx cos x ? j sin x e ?? n! n? 0
?

cos nx ? e cos x cos(sinx ) ? 1 ? n! n ?1

?

二、5. 利用级数求积分?0 ln x ln(1 ? x )dx 解:
1 ? ln(1 ? x ) ? ? ? x n?1 n? 0 n ? 1 ? 1 ? ln x ln(1 ? x ) ? ? ? x n?1 ln x n? 0 n ? 1 ? 1 1 1 n?1 ?0 ln x ln(1 ? x )dx ? ? ? n ? 1 ?0 x ln xdx n? 0 ? 1 1 ?? ? n ? 1 ( n ? 2) 2 n? 0 ? ? 1 1 1 ?? ? ?? n ? 1 ( n ? 2) n ? 0 ( n ? 2) 2 n? 0
1 ?2 1 9 ?2 ? 1? ? 2 ? 1? ( ?1? ) ? ? 6 4 4 6 n? 2 n
?

1

? 1 ? ? xn 1 ? x n? 0

?

三、1.
解:

xn 求? n 的收敛区间,其中, a,b ? 0 n n ?1 a ? b

?

记M ? max{ a, b} ? 0
1
n

1 ? n M 2
n

2M

n

?

n

1 ? n n a ?b

1
n

a ?b
n

n

?

n

1 ? n M M

1

1 1 lim n ? ?R?M n n?? a ?b M

xn 1 当 | x |? M时, n | |? n a ?b 2
收敛区间: R, R) (?

三、2.

1 1 n 求? ( ?1) (1 ? ? ? ? ) x 的收敛域 2 n n ?1
n

?

1 1 1 1 ? ? ?? 解: 2 n ? 1 ? lim[1 ? n?1 lim ] ? 1, ? R ? 1 n? ? n?? 1 1 1 1 1 ? ? ?? 1 ? ? ?? 2 n 2 n

1 1 n 当 | x |? 1时, 1) (1 ? ? ? ? ) x ? 0 (? / 2 n
n

收敛区间:1,1) (?

xn 三、3. 求? p 的收敛域,其中,p为实数 n ?2 n ln n 1 a ? , 解: n n p ln n a n p ln n lim n ? 1 ? lim( ) ? 1, ? R ? 1 n? ? a n? ? n ? 1 ln(n ? 1) n
? 1 ( ?1)n 当p ? 0时, p ?2 n ln n , ?2 n p ln n发散 ? 收敛区间:(?1,1) n? n? ? ? 1 ( ?1)n 当0 ? p ? 1时, p ?2 n ln n发散, ?2 n p ln n收敛收敛区间:[?1,1) n? n? ? ? 1 ( ?1)n 当p ? 1时, p ?2 n ln n , ?2 n p ln n收敛收敛区间:[?1,1] n? n? ?

?

lim 四、 设an ? 0, 且{an }为等差数列,又 ? ? an ? ??, n

1 证明: ? a a ?a , (m ? 1)收敛 n ?1 n n ?1 n? m

?

d 证明: 设公差为 , 则
1 1 1 1 ? [ ? ] anan ? 1 ?an ? m md anan ? 1 ?an ? m ? 1 an ? 1 ?an ? m
1 1 1 1 部分和: n ? ? S ? [ ? ] md a1a2 ?am an ? 1 ?an ? m k ? 1 ak ak ? 1 ?ak ? m
n

1 an an ? 1 ?an ? m

1 1 ? ? , (n ? ?) md a1a2 ?am 1 1 1 ? [ ? md anan ? 1 ?an ? m ? 1 an ? 1 ?an ? m

? xn 五、 设an ? ? , ? ? 0, 其中,xn 是方程e x ? ln x ? n的正根, n

讨论? an 敛散性
n ?1

?

解: 当0 ? xn ? 1时,n ? e x ? ln xn ? e x ? e
n n

于是,当 ? 3时,xn ? 1. n
又n ? e x n ? ln xn ? e x n , ? xn ? ln n
? ? xn 1 (1)? ? 1

时,an ? ? ? ? , ? an发散 ? n n n ?1

? ? xn 1 ln? n ( 2)? ? 1时,取? ? r ? 1, an ? ? ? r ? ? ? r , ? an收敛 ? n n n n ?1

设a0 ? 4?a1 ? 1, an? 2 ? n( n ? 1)an , ( n ? 2), , 六、 求级数 a x n的和函数s( x ),并求s( x )的极值。 ? n

证明: s( x ) ? ? an x , x ? ( ? R, R) n? 0
n

n? 0 ?

s' ( x ) ? ? na n x n?1 , x ? ( ? R, R)
n ?1 ? n? 2

?

s" ( x ) ? ? n( n ? 1)an x
n? 2 ? n? 2

?

n? 2

? ? an? 2 x
n? 2 ? n? 2

? ? a n x n ? s( x )
n? 0 ? n? 0

?

s" ( x ) ? ? n( n ? 1)an x n? 2 ? ? an? 2 x n? 2 ? ? an x n ? s( x )

? s( x ) ? c1e x ? c2e ? x ? c1 ? 5 / 2, c2 ? 3 / 2 由于,s(0) ? a0 ? 4, s' (0) ? a1 ? 1 5e x ? 3e ? x 5e x ? 3e ? x ? s( x ) ? , ? s' ( x ) ? , ? s"( x ) ? s( x ) ? 0 2 2 1 3 ? s' ( x ) ? 0, ? 驻点x ? ln (极小值点) 2 5 1 3 极小值s( ln ) ? 15 2 5

1 n? ? 七、 判敛散: ?e ? (1 ? ) ? ?1 ? n ? n?

?

p

n ln( 1 ? ) ? 1 1 n n 证明: e ? (1 ? ) ? e[1 ? e ] n

1

1 1 1 ? e[1 ? n ln(1 ? )] ? e[ ? o( )] n 2n n
1 n? ? ?e ? (1 ? n ) ? ? ? lim ?
n? ? p

1 np

e p ?( ) 2

1 n ? ?收敛,p ? 1, ? ? ? ?e ? (1 ? ) ? ? n ? ?发散,p ? 1 n ?1 ?
? p

an lim lim 八、设an ? 0,An ? a1 ? a2 ? ? ? an , n ? ? An ? ??, n ? ? A ? 0 n 证明: a n x n的收敛半径为1 ?
n ?1 ?

解: 考虑 a x , ? n
n n ?1

?

An x n的收敛半径为 , R r ?
n ?1

?

An ? 1 an R ? lim ? lim[1 ? ]?1 n? ? A n? ? An n
则由于An ? an , 有r ? R ? 1
?

又 ? an发散, r ? 1 ?
n ?1

?r ? 1

? 九、 ? n为方程x ? nx ? 1的正根,确定 的范围使得 ? n 收敛 设 ? ?
n n ?1

?

n 1 1 ? ?n 1 1 n 解: ? n ? n? n ? 1 ? 0 ? ? n ? , 且? n ? ? ? o( ) n n n n

? ? ? ? 1时, ? n 收敛 ?
n ?1

?

十、 证明: ? 0

??

? sin x sin x dx ? ? dx 0 x x

解:

?
0

??

0

n ? ? ( n ? 1 )? sin x ? ( ?1) sin x sin x dx ? ? ? dx ? ? ? dx n? 0 x x x ? n? n?0 n?0

??

??

n ? ? sin x ? ( ?1) sin x sin x ?? dx ? ? ? dx 0 0 x x x ? n? n ?1

? ??
n ?1

?

?

0

? ? sin x sin x dx ? ? ? dx ? 0 0 x ? ( 2k ? 1)? x ? ( 2k )? n ?1


网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com