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利用旋转解竞赛题

发布时间:2013-10-16 10:32:54  

利用旋转解竞赛题

乘马岗中心学校 胡应晏

旋转是几何中一种图形变换,充分利用旋转的性质,将分散的已知和未知条件巧妙的整合,并在已知和未知之间架起一座“桥梁”,可使解题过程简洁.下面例举说明几种旋转的类型,供参考.

1. 利用450角旋转

例1:、在△ABC中 AC=BC ∠ACB=900 D、 E是边AB上的两点.AD=3.BE=4 ∠DCE=450 则△ABC的面积为:2006年北京初二数学竞赛试题)

C

A D E

F B

解:把△CAD绕C逆时针旋转900得到△CBF则

△CAD≌△CBF ∴ BF=AD=3 ∠A=∠CBF=450

∵∠CBA=450 ∴∠EBF=900 ∵BE=4 ∴EF=5

AE1而∠EAE1△DCE≌△FCE ∴DE=EF=5

11∴S△ABC=AB2=(3?4?5)2?36 44

例2.在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,且EF=BE+DF。求证:∠EAF=450

E1

D F C

900得到△ADE1,从而AE=AE1,∠EAE1=

900,又EF=BE+DF

= E1D+DF=E1F

△ AEF≌△AE1F

∴ ∠EAF=∠E1AF=

2. 利用600角旋转

例3.设P为等边△ABC内一点,AP=3、BP=4、CP=5 则四边形ABCP的面积为 (2012年北京市初二学生数学竞赛试题)

1∠EAE1=450 2B C Q

0解:以B为旋转中心,将△ABP 顺时针旋转60角到△BQC的位置,连接PQ

易知△BPQ是等边三角形

PQ=BQ=BP=4 ∠PQB=600

又△BQC≌△APB ∴CQ=AP=3

则CP2?52?32?42?CQ2?PQ2

∴∠PQC=900

故S四变形ABCP=S四变形PBQC=S△PBQ+S△PBQ =1?42??4?3 42

=6+4

例4.如图,设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3则PC所能达到的最大值为( )(武汉市选拔赛试题)

A、

5 B、 C、 5 D、 6 P

B C

0解:△ABP 逆时针旋转60, AB与AC重合,P 旋转到P/

∠PAB=∠P/AC ∠PAP/=600 PP/=PA=P/A=2

P/C=PB=3

∴PC≤PP/+P/C=5

3. 利用900角旋转

例5.如图 已知正方形ABCD的边长为1,P、Q是其内两点,

且∠PAQ=∠PCQ=450 求 S△PAB +S△PCQ+S△QAB

(2011年《数学周报》杯全国初中数学竞赛试题)

A D

Q/

C

解:将△AQD绕点A顺时针旋转90至△AQB. △CQD绕点C逆时针旋转900/0至△CQ//B连接PQ/,PQ//

则△APQ/≌△APQ △CPQ//≌△CPQ 由∠ABQ/+∠CPQ//=∠ADQ+∠CDQ=900 知Q/、B、Q//三点共线且 BQ/=DQ/=BQ// 则S△PBQ/ =S△PBQ//

故S△PAB +S△PCQ+S△QAB

= S△PAQ +S△PBC+S△QCD 1=S正方形ABCD 2

1= 2

例6.如图在四变形中.AB=BC ∠ABC=∠CDA=90 BE⊥AD于E 0S四边形ABCD=8 则BE的长为( )(2003年武汉竞赛试题)

A、2 B、3 C、3 D、22

F C

A D

解:把△BEF绕B逆时针旋转90 0由∠A+∠BCD=1800 而∠A=∠BCF ∴∠BCF+∠BCD=1800

∴D、C、F共线 又∵BE=BF

∴BEDF为正方形

∴S四边形BEDF=8

∴BE=22

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