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2011年全国初中数学竞赛试题及答案

发布时间:2013-10-17 08:01:43  

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分。 1

、设x?

3

,则代数式x(x?1)(x?2)(x?3)的值为( C ) 2

A.0 B.1 C.-1 D.2

2、对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对(a,b)与(c,d)之间的运算“△”为:

(a,b)?(c,d)?(ac?bd,ad?bc)。如果对于任意实数u,v,都有

。 (u,v)?(x,y)?(u,v),那么(x,y)为( B )

A.(0,1) B.(1,0) C.(?1,0) D.(0,?1)

53

3、已知A,B是两个锐角,且满足sin2A?cos2B?t,cos2A?sin2B?t2,则

44

实数t所有可能值的和为( C )

8511

A.? B.? C.1 D.

333

4、如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,BE,CD相交于点F,设

S四边形EADF=S1,S?BDF=S2,S?BCF=S3,S?CEF=S4,则S1S3与S2S4的大小关系为( C )

A

A.S1S3<S2S4 B.S1S3=S2S4 C.S1S3>S2S4 D.不能确定

B C 1111

5、设S=3+3+3+?+,则4S的整数部分等于( A )

12320113

E

A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6、两条直角边长分别是整数a,b(其中b?2011),斜边长是b?1的直角三角形的个数为__31__。

7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为5的概率是____。 8、如图,双曲线y?

2

(x?0)与矩形OABC的边x

19

CB,BA分别交于点E,F且AF=BF,连接EF,则

3

△OEF的面积为_____;

2

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9、⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的区域的个数为_____。28

10、设四位数abcd满足a3?b3?c3?d3?1?10c?d,则这样的四位数的个数为___。5

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11、已知关于x的一元二次方程x2?cx?a?0的两个整数根恰好比方程x2?ax?b?0的两个根都大1,求a?b?c的值。

解:设方程x2?ax?b?0的两个根为α、β,其中α、β为整数,且α≤β

则方程x2?cx?a?0的两个整数根为α+1、β+1,

由根与系数关系得:α+β=-a,(α+1)(β+1)=a

两式相加得:αβ+2α+2β+1=0即(α+2)(β+2)=3

???2?1???2??3????1????5∴?或? 解得:?或? ??2?3??2??1??1???3????

又∵a=-(α+β),b=αβ,c=-[(α+1)+(β+1)]

∴a=0,b=-1,c=-2或a=8,b=15,c=6

故a?b?c=-3或a?b?c=29

12、如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D,延长AD交CH于点P,求证:点P为CH的中点。 证明:如图,延长AP交⊙O2于点Q

连结AH,BD,QC,QH

∵AB为直径 ∴∠ADB=∠BDQ=900

∴BQ为⊙O2的直径

于是CQ⊥BC,BH⊥HQ

∵点H为△ABC的垂心 ∴AH⊥BC,BH⊥AC

∴AH∥CQ,AC∥HQ,四边形ACHQ为平行四边形

则点P为CH的中点。

13、若从1,2,3,…,n中任取5个两两互素的不同的整数a1,a2,a3,a4,a5,其中总有一个整数是素数,求n的最大值。 A

解:若n≥49,取整数1,22,32,52,72,这五个整数是五个两两互素的不同的整

数,但没有一个整数是素数,∴n≤48,在1,2,3,┉┉,48中任取5个两两互素的不同的整数a1,a2,a3,a4,a5,

若a1,a2,a3,a4,a5都不是素数,则a1,a2,a3,a4,a5中至少有四个数是

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合数,不妨假设a1,a2,a3,a4为合数,

设a1,a2,a3,a4的最小的素因数分别为p1,p2,p3,p4 由于a1,a2,a3,a4两两互素,∴p1,p2,p3,p4两两不同 设p是p1,p2,p3,p4中的最大数,则p≥7

因为a1,a2,a3,a4为合数,所以a1,a2,a3,a4中一定存在一个

aj≥p2≥72=49,与n≥49矛盾,于是a1,a2,a3,a4,a5中一定有一个是素数 综上所述,正整数n的最大值为48。

14、如图,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC。点P在△ABC内,且PA

PB=5,PC=2,求△ABC的面积。

解:如图,作△ABQ,使得:∠QAB=∠PAC,∠ABQ=∠ACP,

则△ABQ∽△ ACP,由于AB=2AC,∴相似比为2 于是,AQ=2 AP=23,BQ=2CP=4

∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60° 由AQ:AP=2:1知,∠APQ=900 于是,PQ=AP=3

∴BP2=25=BQ 2+PQ 2 从而∠BQP=900 作AM⊥BQ于M,由∠BQA=1200,知 ∠AQM=600,QM=,AM=3,于是,

2

2

2

2

2

A

P

B ∴AB=BM+AM =(4+)+3=28+83

C

故S△ABC=AB?ACsin600=

1236?73AB 2= 82

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