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2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案

发布时间:2013-10-17 08:01:43  

2013年全国初数学竞赛试题及参考答案

一.选择题(5×7'=35')

1.对正整数n,记n!=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( ).

A.0 B.1 C.3 D.5

?2x?5?x??5??3

2.已知关于x的不等式组?x?3恰好有5个整数解,则t的取值范围是( ). ??t?x??2

A.?6?t??

11111111 B.?6?t?? C.?6?t?? D.?6?t?? 2222

xx?2a?2x恰好有一个实根,则实数a的值有( )个. ??2x?2xx?2x3.已知关于x的方程

A.1 B.2 C.3 D.4

4.如图,已知△ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且BC=4CF,DCFE是平行四边形,则图中阴影部分的面积为( ).

A.3 B.4 C.5 D.6

5.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中,随机取出两个球,记下它们的标号,则较大标号被较小标号整除的概率是( ).

1257A. B. C. D. 491836

二.填空题(5×7'=35')

(b?2)3的值为 . 6.设a?,b是a2的小数部分,则

7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6.掷这个正方体三次,则其朝上的面的数的和为3的倍数的概率是 .

8.已知正整数a、b、c满足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0,则abc的最大值为 .

9. 实数a、b、c、d满足:一元二次方程x2+cx+d=0的

两根为a、b,一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c、d,

则所有满足条件的数组(a、b、c、d)

为 .

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元,

园珠笔每支售7元,开始时他有铅笔和圆珠笔共350支,

当天虽然没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2013

元,则他至少卖出了 支圆珠笔.

三.解答题(4×20'=80')

11.如图,抛物线y=ax2+bx-3,顶点为E,该抛物线与

x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OB=OC=3O

A.直线y??1x?1与y轴交于点D,求∠DBC-∠CBE. 3

22【分析】易知y?x?2x?3?(x?1)?4,A(?1,0),B(3,0),C(0,?3),D(1,?4),作EF⊥CO

于F,连CE,易知△OBC、△CEF都是等腰直角三角形,则△OBE是直角三角形.分别在Rt△OBD、Rt△BCE中运用正切定义,即有tan??OD1CE21?,tan????,则??? OB3BC323

从而可得∠DBC-∠CBE=45o.

12.如图,已知AB为圆O的直径,C为圆周上一点,D为线段OB内一点(不是端点),满足CD⊥AB,DE⊥CO,E为垂足,若CE=10,且AD与DB的长均为正整数,求线段AD的长.

【分析】设圆O半径为r,则由相似或三角函数或射影定理可知,DE2?CE?OE?DE2?10(r?10)

又CD2?CE2?DE2?102?10(r?10)?10r

由相交弦定理(考虑垂径时)或连AC、BC用相似或三角函数,易知

AD?BD?CD2?10r①,而AD?BD?2r②

xy10ryy显然有0?y?x,??5???1,x?y2rx5令AD?x,BD?y,带标号的两式相除,即

则0?yy?1,即0??1?1?5?y?10,y为正整数,故y?6,7,8,9,又x也为正整数,x5

经逐一试算,仅当y?6,x?30这一组是正整数,故AD?30.

13.设a、b、c是素数,记x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,当z?y,x?2y?2时,

a、b、c能否构成三角形的三边长?证明你的结论.

?y?c?a?b?1??8az2?y?y?z?2a?????z2?z?2a?0?z?【分析】? 2?z?a?b?c

a、b、c是素数,则a?b?c?z为整数,则?8a?2k?1,k为正整数.化简整理后,有

?k?1,k?1?2a?1?1?2?a?1(非质数) k(k?1)?2a??k?2,k?1?a?2?1?3?

z??1??8aa?3????z??3,2 2

ⅰ)z?3,y?9,x?9?2?x?25,x?z?2b?b?11,b?17,a?b?3?17?20?17?c不能围成三角形;

ⅱ)z?2,y?4,x?16,b?9是合数

综上所述,以a、b、c不能围成三角形.

14.如果将正整数M放在正整数m左侧,所得到的新数可被7整除,那么称M为m的“魔术数”(例如,把86放在415的左侧,得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数) .求正整数n的最小值,使得存在互不相同的正整数a1,a2,...,an,满足对任意一个正整数m,在a1,a2,...,an中都至少有一个为m的“魔术数”.

【分析】考虑到魔术数均为7的倍数,又a1,a2,...,an互不相等,不妨设a1?a2?...?an且它们连续,则7个连续的正整数中,必有一个是7的倍数,而余下的6个,被7整除,余数必为1、2、3、4、5、6,仅对余数而言,1+6=2+5=3+4这样的组合必是7的倍数,因此这7个数中,至少有一个为m的“魔术数”.即n=7.

(a、b、c、d)=(1,-2,1,-2) 感觉第9题有问题,若b=0,是不是还有很多组?

2?8??27?3,b??2,b?2? 6.【分析】考虑到a?3,则a?3?9,22

(b?2)?(9)?9 则

8.先消去c,再配方估算.

9.由根与系数关系知a?b?c?c?d?a?0?b?d,ab?d,cd?b,然后可得

10.设4元的卖x支,7元的卖y支,则44x?7y?2013,x?y?350,消去任一未知数,卡出一个范围,再试算可得.

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