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2012年全国初中数学竞赛试题(含答案)

发布时间:2013-10-17 08:01:46  

2012年全国初中数学竞赛试题

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分)

1.如果实数a,b,c

在数轴上的位置如图所示,那么代数式

. |a?b||b?c|可以化简为( )

(A)2ca (B)2a2b (C)a (D)a

b2.如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数y =(b ≠0 )的图象有两个交点,x

其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).

(A)(2,3) (B)(3,-2) (C)(-2,3) (D)(3,2)

3.如果a,b为给定的实数,且1?a?b,那么1,a?1, 2a?b,a?b?1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ).

(A)1 (B)112a?1 (C) (D) 244

4.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

5.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为p0,p1,p2,p3,则p0,p1,p2,p3中最大的是( ).

(A)p0 (B)p1 (C)p2 (D)p3

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是 .

7.如图,正方形ABCD的边长为

E,F分别是AB,BC的中点,AF与DE,DB分别交于点M,N,则△DMN的面积是 .

x3298.如果关于x的方程x+kx+k-3k+= 0的两个实数根分别为x1,x2,那么1

2012 的24x222011

值为 .

9.2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为 .

10.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,AD = DC. 分别延长BA,CD,交点为E. 作BF⊥EC,并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO,BC = 6,则CF的长为 .

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

211.已知二次函数y?x?(m?3)x?m?2,当?1?x?3时,恒有y?0;关于x

的方

(m?3)x?m?2?0的两个实数根的倒数和小于?程x?

11.解: 因为当?1?x?3时,恒有y?0,所以

2??(m?3)?(4m?2)?0,

2(m?1)?0,所以m??1. ???(5分) 即

当x??1时,y≤0;当x?3时,y≤0,即 29.求m的取值范围. 10

(?1)2?(m?3)(?1)?m?2≤0,

且 32?3(m?3)?m?2≤0,

解得m≤?5. ???(10分)

设方程x2??m?3?x??m?2??0的两个实数根分别为x1,x2,由一元二次方程根与系数的关系得

x1?x2???m?3?,x1x2?m?2. 119因为???,所以 x1x210

x1?x2m?39????, x1x2m?210

解得m??12,或m??2.

因此m??12. ????(2

12.如图,⊙O的直径为AB,⊙O 1过点O,且与⊙O内切于点B.C为

⊙O上的点,OC与⊙O 1交于点D,且OD?CD.点E在OD上,且

DC?DE,BE的延长线与⊙O 1交于点F,求证:△BOC∽△DO1F.

12. 证明:连接BD,因为OB为?O1的直径,所以?ODB?90?.又

因为DC?DE,所以△CBE是等腰三角形.

????(5分)

设BC与?O1交于点M,连接OM,则?OMB?90?.又因为OC?

OB?BOC?2?DOM?2?DBC?2?DBF??DO1F.????(15分)

又因为?BOC,?DO1F分别是等腰△BOC,等腰△DO1F的顶角,所以

△BOC∽△DO1F. ????(20分)

13.已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平方数. 当a≥2012时,求a的最小值.

213.解:设a-b = m(m是素数),ab = n(n是正整数).

22因为 (a+b)-4ab = (a-b),

22 2所以 (2a-m)-4n= m,

2 (2a-m+2n)(2a-m-2n) = m. ???(5分)

因为2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数,且2a-m+2n>2a-m-2n (m为素数),所以

2 2a-m+2n?m,2a-m-2n?1.

(m?1)2m2?1解得 a?,n?. 44

2(m?1)于是 b= a-m?. ????(10分) 4

(m?1)2

又a≥2012,即≥2012. 4

(89?1)2

又因为m是素数,解得m≥89. 此时,a≥=2025. 4

当a?2025时,m?89,b?1936,n?1980.

因此,a的最小值为2025. ????(20分)

14.求所有正整数n,使得存在正整数x1,x2, ,?x2012,满足x1?x2???x2012,且122012?????n. x1x2x2012

14.解:由于x1,x2, ,?x2012都是正整数,且x1?x2???x2012,所以 x1≥1,x2≥2,?,x2012≥2012.

201212201212?2012.????(10分) 于是 n??≤???????2012x1x2x201212

当n?1时,令x1?2012,x2?2?2012, ,?x2012?2012?2012,则 122012?????1.????(15分) x1x2x2012

当n?k?1时,其中1≤k≤2011,令 x1?1 ,x2?2, ,?xk?k,xk?1?(2012?k)(k?1),xk?2?(2012?k)(k?2),x2012?(2012?k)?2012,则 1220121?k?1?n. ?????k?(2012?k)?x1x2x20122012?k

, 2, , ?2012. ????(20分) 综上,满足条件的所有正整数n为1

2012年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1.C2.D3.D . 4.D 5.D

二、填空题

6.7<x≤197.8 8.?

232 9. 8 10. 32

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