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小学奥数题四年级

发布时间:2013-10-17 08:03:31  

第1讲 找规律 (一) 一、知识要点

观察是解决问题的根据。通过观察,得以揭示出事物的发展和变化规律,在一般情况下,我们可以从以下几个方面来找规律:

1.根据每组相邻两个数之间的关系,找出规律,推断出所要填的数;

2.根据相隔的每两个数的关系,找出规律,推断出所要填的数;

3.要善于从整体上把握数据之间的联系,从而很快找出规律;

4.数之间的联系往可以从不同的角度来理解,只要言之有理,所得出的规律都可以认为是正确的。

二、精讲精练

【例题1】 先找出下列数排列的规律,并根据规律在括号里填上适当的数。

1,4,7,10,( ),16,19

【思路导航】在这列数中,相邻的两个数的差都是3,即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律,括号里应填的数为:10+3=13或16-3=13。

像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。

练习1:先找出下列各列数的排列规律,然后在括号里填上适当的数。

(1)2,6,10,14,( ),22,26

(2)3,6,9,12,( ),18,21

(3)33,28,23,( ),13,( ),3

(4)55,49,43,( ),31,( ),19

(5)3,6,12,( ),48,( ),192

(6)2,6,18,( ),162,( )

(7)128,64,32,( ),8,( ),2

(8)19,3,17,3,15,3,( ),( ),11,3..

【例题2】先找出下列数排列的规律,然后在括号里填上适当的数。1,2,4,7,( ),16,22

【思路导航】在这列数中,前4个数每相邻的两个数的差依次是1,2,3。由此可以推算7比括号里的数少4,括号里应填:7+4=11。经验证,所填的数是正确的。

应填的数为:7+4=11或16-5=11。

练习2:先找出下列数排列的规律,然后在括号里填上适当的数。

(1)10,11,13,16,20,( ),31

(2)1,4,9,16,25,( ),49,64

(3)3,2,5,2,7,2,( ),( ),11,2

(4)53,44,36,29,( ),18,( ),11,9,8

(5)81,64,49,36,( ),16,( ),4,1,0

(6)28,1,26,1,24,1,( ),( ),20,1

(7)30,2,26,2,22,2,( ),( ),14,2

(8)1,6,4,8,7,10,( ),( ),13,14

【例题3】先找出规律,然后在括号里填上适当的数。

23,4,20,6,17,8,( ),( ),11,12

【思路导航】在这列数中,第一个数减去3的差是第三个数,第二个数加上2的和是第四个数,第三个数减去3的差是第五个数,第四个数加上2的和是第六个数??依此规律,8后面的一个数为:17-3=14,11前面的数为:8+2=10

练习3:先找出规律,然后在括号里填上适当的数。

(1)1,6,5,10,9,14,13,( ),( )

(2)13,2,15,4,17,6,( ),( )

(3)3,29,4,28,6,26,9,23,( ),( ),18,14

(4)21,2,19,5,17,8,( ),( )

(5)32,20,29,18,26,16,( ),( ),20,12

第1页

(6)2,9,6,10,18,11,54,( ),( ), 13,486

(7)1,5,2,8,4,11,8,14,( ),( )

(8)320,1,160,3,80,9,40,27,( ),( )

【例题4】在数列1,1,2,3,5,8,13,( ),34,55??中,括号里应填什么数?

【思路导航】经仔细观察、分析,不难发现:从第三个数开始,每一个数都等于它前面两个数的和。根据这一规律,括号里应填的数为:8+13=21或34-13=21

上面这个数列叫做斐波那切(意大利古代著名数学家)数列,也叫做“兔子数列”。

练习4:先找出规律,然后在括号里填上适当的数。

(1)2,2,4,6,10,16,( ),( )

(2)34,21,13,8,5,( ),2,( )

(3)0,1,3,8,21,( ),144

(4)3,7,15,31,63,( ),( )

(5)33,17,9,5,3,( )

(6)0,1,4,15,56,( )

(7)1,3,6,8,16,18,( ),( ),76,78

(8)0,1,2,4,7,12,20,( )

【例题5】下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的,在□里填上适当的数。

(8,4)(5,7)(10,2)(□,9)

【思路导航】经仔细观察、分析,不难发现:每个括号里的两个数相加的和都是12。根据这一规律,□里所填的数应为:12-9=3

练习5:下面括号里的两个数是按一定的规律组合的,在□里填上适当的数。

(1)(6,9)(7,8)(10,5)(□,□)

(2)(1,24)(2,12)(3,8)(4,□)

(3)(18,17)(14,10)(10,1)(□,5)

(4)(2,3)(5,9)(7,13)(9,□)

(5)(2,3)(5,7)(7,10)(10,□)

(6)(64,62)(48,46)(29,27)(15,□)

(7)(100,50)(86,43)(64,32)(□,21)

(8)(8,6)(16,3)(24,2)(12,□)

第2讲 找规律(二)

一、知识要点

对于较复杂的按规律填数的问题,我们可以从以下几个方面来思考:

1.对于几列数组成的一组数变化规律的分析,需要我们灵活地思考,没有一成不变的方法,有时需要综合运用其他知识,一种方法不行,就要及时调整思路,换一种方法再分析;

2.对于那些分布在某些图中的数,它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关,这是我们解这类题的突破口。

3.对于找到的规律,应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。

二、精讲精练

【例题1】根据右表中的排列规律,在空格里填上适当的数。

【思路导航】经仔细观察、分析表格中的数可以发现:12+6=18,8+7=15,即每一横行中间的数等于两边的两个数的和。依此规律,空格中应填的数为:4+8=12。

练习1:找规律,在空格里填上适当的数。

第2页

【例题2】根据前面图形中的数之间的关系,想一想第三个图形的括号里应填什么数?

8 5 4 6 8 【思路导航】经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系:5×12÷10=6 4×20÷10=8 根据这一规律,第三个圈中右下角应填的数为:8×30÷10=24.

练习2: 1、根据前面图形中数之间的关系,想一想第三个图形的空格里应填什么数。

3 5 6 3 (1)

9 (2) 4 4

9 (3) 2、把1-9九个数字填入右边表格中,使每行、每列、对角三个数字的和都是15

其中数字5已填好,并且每个数字只能用一次。

【例题3】先计算下面一组算式的第一题,然后找出其中的规律,并根据规律直接写出后几题的得数。12345679×9= 12345679×18=12345679×54= 12345679×81=

【思路导航】题中每个算式的第一个因数都是12345679,它是有趣的“缺8数”,与9相乘,结果是由九个1组成的九位数,即:111111111。不难发现,这组题得数的规律是:只要看每道算式的第二个因数中包含几个9,乘积中就包含几个111111111。

因为:12345679×9=111111111

所以:12345679×18=12345679×9×2=222222222

12345679×54=12345679×9×6=666666666 12345679×81=12345679×9×9=999999999.

练习3:找规律,写得数。

(1) 1+0×9= 2+1×9= 3+12×9= 4+123×9= 9+12345678×9=

(2) 1×1= 11×11= 111×111= 111111111×111111111=

(3)19+9×9= 118+98×9= 1117+987×9=

11116+9876×9= 111115+98765×9=

【例题4】找规律计算。(1) 81-18=(8-1)×9=7×9=63

(2) 72—27=(7-2)×9=5×9=45 (3) 63-36=(□-□)×9=□×9=□

【思路导航】经仔细观察、分析可以发现:一个两位数与交换它的十位、个位数字位置后的两位数相减,只要用十位与个位数字的差乘9,所得的积就是这两个数的差。

练习4:

1.利用规律计算。(1)53-35 (2)82-28 (3)92-29 (4)61-16 (5)95-59

2.找规律计算。(1) 62+26=(6+2)×11=8×11=88 (2) 87+78=(8+7)×11=15×11=165

(3) 54+45=(□+□)×11=□×11=□

【例题5】计算(1)26×11 (2)38×11

【思路导航】一个两位数与11相乘,只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间,就是所求的积。(1) 26×11=2(2+6)6=286(2) 38×11=3(3+8)8=418

第3页

注意:如果两个数字的和满十,要向前一位进一。

练习5:计算下面各题。(1)27×11 (2)32×11 (3) 39×11 (4)46×11 (5)92×11 (6)98×11

第3讲 简单推理

一、知识要点

解答推理问题,要从许多条件中找出关键条件作为推理的突破口。推理要有条理地进行,要充分利用已经得出的结论,作为进一步推理的依据。

二、精讲精练

【例题1】 一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量,4袋牛肉干的重等于一包巧克力的重量,一袋饼干等于几袋牛肉干的重量?

【思路导航】根据“一包巧克力的重量=两袋饼干的重量”与“4袋牛肉干的重量=一包巧克力的重量”可推出:两袋饼干的重量=4袋牛肉干的重量。因此,一袋饼干的重量=两袋牛肉干的重量。

练习1:

(1)一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量,两只梨子的重量等于一只菠萝的重量,一只梨子的重量等于几根香蕉的重量?

(2)3包巧克力的重量等于两袋糖的的重量,12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的重量,一袋糖的重量等于几袋牛肉干的重量?

(3)一只小猪的重量等于6只鸡的重量,3只鸡的重量等于4只鸭的重量。一只小猪的重量等于几只鸭的重量?

【例题2】一头象的重量等于4头牛的重量,一头牛的重量等于3匹小马的重量,一匹小马的重量等于3头小猪的重量。一头象的重量等于几头小猪的重量?

【思路导航】根据“一头象的重量等于4头牛的重量”与“一头牛的重量等于3匹小马的重量”可推出:“一头象的重量等于12匹小马的重量”,而“一匹小马的重量等于3头小猪的重量”,因此,一头象的重量等于36头小猪的重量。

练习2:

(1)一只西瓜的重量等于两个菠萝的重量,1个菠萝的重量等于4个苹果的重量,1个苹果的重量等于两个橘子的重量。1只西瓜的重量等于几个橘子的重量?

(2)一头牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等,也和6只羊一天吃草的重量相等。已知一头牛每天吃青草18千克,一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克?

(3)一只小猪的重量等于6只鸡的重量,3只鸡的重量等于4只鸭的重量,两只鸭的重量等于6条鱼的重量。问:两只小猪的重量等于几条鱼的重量?

【例题3】根据下面两个算式,求○与□各代表多少? ○+○+○=18 ○+□=10

【思路导航】在第一个算式中,3个○相加的和是18,所以○代表的数是:18÷3=6,又由第二个算式可求出□代表的数是:10-6=4.

练习3:

(1)根据下面两个算式,求□与△各代表多少?

□+□+□+□=32 △-□=20

(2)根据下面两个算式,求○与□各代表多少? ○+○+○=15 ○+○+□+□+□=40

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(3)根据下面两个算式,求○与△各代表多少? ○-△ =8 △+△+△=○

【例题4】根据下面两个算式,求○与△各代表多少?

△-○=2 ○+○+△+△+△=56

【思路导航】由第一个算式可知,△比○多2;如果将第二个算式的○都换成△,那么5个△=56+2×2,△=12,再由第一个算式可知,○=12-2=10.

练习4:

(1)根据下面两个算式求□与○各代表多少?

□-○=8 □+□+○+○=20

(2)根据下面两个算式,求△与○各代表多少?

△+△+△+○+○=78 △+△+○+○+○=72

(3)根据下面两个算式,求△与□各代表多少?

△+△+△-□-□=12 □+□+□-△-△=2

(4)有10名同学参加小学四年级奥数竞赛,已知这10名同学的平均分是72分,前6名同学的平均分是73分,后6名同学的平均分是70分,那么第5名和第6名两个同学的平均分是多少分?

【例题5】甲、乙、丙三人分别是一小、二小和三小的学生,在区运动会上他们分别获得跳高、跳远和垒球冠军。已知:二小的是跳远冠军;一小的不是垒球冠军,甲不是跳高冠军;乙既不是二小的也不是跳高冠军。问:他们三个人分别是哪个学校的?获得哪项冠军?

【思路导航】由“二小的是跳远冠军”可知垒球、跳高冠军是一小或三小的;因为“一小的不是垒球冠军”,所以一小一定是跳高冠军,三小的是垒球冠军;由“甲不是跳远冠军”,“乙既不是二小的也不是跳高冠军”可知,一小的甲是跳高冠军,二小的丙是跳远冠军,三小的乙是垒球冠军。

练习5:

(1)有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。一个穿花的,一个穿白的,一个穿红的。但不知哪一个姓王、哪一个姓李、哪一个姓刘。只知道姓刘的不喜欢穿红的,姓王的既不是穿红裙子,也不是穿花裙子。你能猜出这三个女孩各姓什么吗?

(2)小兔、小猫、小狗、小猴和小鹿参加100米比赛,比赛结束后小猴说:“我比小猫跑得快。”小狗说:“小鹿在我前面冲过终点线。”小兔说:“我们的名次排在小猴前面,小狗在后面。”请根据它们的回答排出名次。

(3)五个女孩并排坐着,甲坐在离乙、丙距离相等的座位上,丁坐在离甲、丙距离相等的座位上,戌坐在她两个姐姐之间。请问谁是戌的姐姐?

(4)甲乙丙丁四人比身高,甲说:“我比丙高。”乙说:“我不是最高的,也不是最矮的,但比甲高。”你知道他们的身高顺序吗?请按从高到矮的顺序写出来。

(5)小明参加小学四年级数学口算比赛,他做对了95题,获得第三名。小明很想知道第一名做对了多少题,他了解到如下信息:第二名和第三名平均每人做对了96题,第一名和第二名平均每人做对了98题。根据以上信息,你能帮小明算出这次比赛第一名做对了多少题吗?

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第4讲 应用题(一) 一、知识要点

解答应用题时,必须认真审题,理解题意,深入细致地分析题目中数量间的关系,通过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段,找到解题的突破口,从而使问题得以顺利解决。

二、精讲精练

【例题1】 某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里,1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多。每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具?

【思路导航】如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸箱里,那么可以求出一个纸箱或一个塑料箱装多少件。因为3个纸箱与一个塑料箱装的同样多,所以6个纸箱与2个塑料箱装的同样多。这样,5个塑料箱装的玩具件数和7个塑料箱装的就同样多。由此,可求出一个塑料箱装多少件。

练习1:

(1)百货商店运来300双球鞋分别装在2个木箱和6个纸箱里。如果两个纸箱同一个木箱装的球鞋同样多,每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋?

(2)新华小学买了两张桌子和5把椅子,共付款195元。已知每张桌子的价钱是每把椅子的4倍,每张桌子多少元?

(3)王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆,共付款156元。已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱。每千克荔枝和每千克桂圆各多少元?

【例题2】一桶油,连桶重180千克,用去一半油后,连桶还有100千克。问:油和桶各重多少千克?

【思路导航】原来油和桶共重180千克,用去一半油后,连桶还有100千克,说明用去的一半油的重是180-100=80(千克),一桶油的重量就是80×2=160(千克),油桶的重量就是180-160=20(千克)。

练习2:

(1)一筐梨,连筐重38千克,吃去一半后,连筐还有20千克。问:梨和筐各重多少千克?

(2)一筐苹果,连筐共重35千克,先拿一半送给幼儿园小朋友,再拿剩下的一半送给一年级小朋友,余下的苹果连筐重11千克。这筐苹果重多少千克?

(3)一只油桶里有一些油,如果把油加到原来的2倍,油桶连油重38千克;如果把油加到原来的4倍,这里油和桶共重46千克。原来油桶里有油多少千克?

【例题3】有5盒茶叶,如果从每盒中取出200克,那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等。原来每盒茶叶有多少克?

【思路导航】由条件“每盒取出200克,5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶重量相等”可以推出,拿出的200×5=1000(克)茶叶正好等于原来的5-4=1(盒)茶叶的重量。

练习3:

(1)有6筐梨子,每筐梨子个数相等,如果从每筐中拿出40个,6筐梨子剩下的个数总和正好和原来两筐的个数相等。原来每筐有多少个?

(2)在5个木箱中放着同样多的橘子。如果从每个木箱中拿出60个橘子,那么5个木箱中剩下的橘子的个数

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的总和等于原来两个木箱里橘子个数的和。原来每个木箱中有多少个橘子?

(3)某食品店有5箱饼干,如果从每个箱子里取出20千克,那么5个箱子里剩下的饼干正好等于原来3箱饼干的重量。原来每个箱子里装多少千克饼干?

【例题4】一个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产60张,实际每天比原计划多生产4张,结果提前一天完成任务。原计划要生产多少张课桌?

【思路导航】这道题的关键是要求出工作时间。因为实际比原计划提前1天完成任务,这就相当于把原计划最后1天的任务平均分到前面的几天去做,正好分完。实际比原计划每天多生产4张,所以实际生产的天数是60÷4=15天,原计划生产的天数是15+1=16天。所以原计划要生产60×16=960张。

练习4:

(1)电视机厂接到一批生产任务,计划每天生产90台,可以按期完成。实际每天多生产5台,结果提前1天完成任务。这批电视机共有多少台?

(2)小明看一本故事书,计划每天看12页,实际每天多看8页,结果提前2天看完。这本故事书有多少页?

(3)修一条公路,计划每天修60米,实际每天比计划多修15米,结果提前4天修完。一共修了多少米?

【例题5】有两盒图钉,甲盒有72只,乙盒有48只,从甲盒拿出多少只放入乙盒,才能使两盒中的图钉相等?

【思路导航】由条件可知,甲盒比乙盒多72-48=24只。要盒两盒中的图钉相等,只要把甲盒比乙盒多的24只图钉平均分成2份,取其中的1份放入乙盒就行了。所以应拿出24÷2=12只。

练习5:

(1)有两袋面粉,第一袋面粉有24千克,第二袋面粉有18千克。从第一袋中取出几千克放入第二袋,才能使两袋中的面粉重量相等?

(2)有两盒图钉,甲盒有72只,乙盒有48只。每次从甲盒中拿4只放到乙盒,拿几次才能使两盒相等?

(3)有两袋糖,一袋是68粒,另一袋是20粒。每次从多的一袋中拿出6粒放到少的一袋里,拿几次才能使两袋糖同样多?

(4)一列车队共有25辆汽车,每辆车长4米,前后两辆车相距5米,这列车队有多长?如果车队每分钟行驶100米,要通过长580米的公路,需要多少时间?

第5讲 算式谜(一)

一、知识要点

“算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。解决这类问题,可以根据已学过的知识,运用正确的分析推理方法,确定算式中的未知数字和运用符号。由于这类题目的解答过程类似全平时进行的猜谜

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语游戏,所以,我们把这类题目称为“算式谜题”。

解答算式谜问题时,要先仔细审题,分析数据之间的关系,找到突破口,逐步试验,分析求解,通常要运用倒推法、凑整法、估值法等。

二、精讲精练

【例题1】 在下面算式的括号里填上合适的数。

   7 6 ( )    5

+  ( ) 4   7

( )  2 1 ( )

【思路导航】根据题目特点,先看个位:7+5=12,在和的个位( )中填2,并向十位进一;再看十位,( )+4+1的和个位是1,因此,第一个加数的( )中只能填6,并向百位进1;最后来看百位、千位,6+( )+1的和的个位是2,第二个加数的( )中只能填5,并向千位进1;因此,和的千位( )中应填8。

练习1:(1)在括号里填上合适的数。 (2)在括号里填上合适的数。    ( ) 0 ( )      ( )  

+ 2 ( ) 1      5 - 3 ( )    1 7  ( )  0 9 1 2 8 5 6   6 ( )    ( )  

(3)下面的竖式里,有4个数字被遮住了, (4)把0-6这七个数字分别填入下式括号中,使竖式 求竖式中被盖住的4个数字的和。 成立。

   ( )    ( )  

1 6 9   0.  (  )  (  ) + ( ) ( ) 0. (  )  (  )      + 0. ( )  (  )

0.  (  )    0

【例题2】下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代表不同的数字,相同的汉字代表相同的数字。当它们各代表什么数字时,下列的算式成立。

   腾飞

龙腾飞

+ 巨龙腾飞

2 0 0 1

【思路导航】先看个位,3个“飞”相加的和的个位数字是1,可推知“飞”代表7;再看十位,3个“腾”相加,再加上个位进来的2,所得的和的个位是0,可推知“腾”代表6;再看百位,两个“龙”相加,加上十位进上来的2,所得和的个位是0,“龙”可能是4或9,考虑到千位上的“巨”不可能为0,所以“龙”只能代表4,“巨”只能代表1。

   C D

+ A B C D

1 9 8 9   字谜+ 巧填字谜 1 9 9 5   澳门+ 庆澳门归 1 9 9 9 练习2: A C D 填字谜 澳门归

【例题3】下面各式中的“兵”、“炮”、“马”、“卒”各代表0—9这十个数字中的某一个,相同的汉字代表相同的数字。这些汉字各代表哪些数字?

   兵炮马卒

+ 兵炮车卒

车卒马兵卒

【思路导航】这道题应以“卒”入手来分析。“卒”和“卒”相加和的个位数字仍然是“卒”,这个数字只能是0。确定“卒”是0后,所有是“卒”的地方,都是0。注意到百位上是“兵”+“兵”=“卒”,容易知道“兵”是5,“车”是1;再由十位上的情况可推知“马”是4,进而推得“炮”是2。

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  BA ABC

ABCD    炮兵兵炮 马兵马 练习3: AB+ AB

CAA + CDC - 兵马兵

【例题4】将0、1、2、3、4、5、6这七个数字填在圆圈和方格内,每个数字恰好出现一次,组成一个整数算式。 ○×○=□=○÷○

【思路导航】要求用七个数字组成五个数,这五个数有三个是一位数,有两个是两位数。显然,方格中的数和被除数是两位数,其他是一位数。

0和1不能填入乘法算式,也不能做除数。由于2×6=12(2将出现两次),2×5=10(经试验不合题意),2×4=8(7个数字中没有8),2×3=6(6不能成为商)。因此,0、1、2只能用来组成两位数。经试验可得:3×4=12=6=÷5.

练习4:(1)将0、1、3、5、6、8、9这七个数字填在圆圈和方筐里,每个数字恰好出现一次组成一个整数算式。 ○×○=□=○÷○

(2)填入1、2、3、4、7、9,使等式成立。 □÷□=□÷□

(3)用1、2、3、7、8这五个数字可以列成一个算式:(1+3)×7=28。请你用0、1、2、3、4、6这六个数字列成一个算式。

【例题5】把“+、-、×、÷”分别放在适当的圆圈中(运算符号只能用一次),并在方框中填上适当的数,使下面的两个等式成立。36○0○15=15 21○3○5=□

【思路导航】先从第一个等式入手,等式右边是15,与等式左边最后一个数15相同,因为0+15=15,所以,只要使36与0的运算结果为0就行。显然,36×0+15=15

因为第一个等式已填“×”、“+”,在第二个等式中只有“-”、“÷”可以填,题目要求在方框中填整数,已知3不能被5整除,所以“÷”只能填在21与3之间,而3与5之间填“-”。

练习5:(1)把“+、-、×、÷”分别填入下面的圆圈中,并在方框中填上适当的整数,使下面每组的两个等式成立。 ① 9○13○7=100 14○2○5=□ ② 17○6○2=100 5○14○7=□

(2)将1~9这九个数字填入□中(每个数字只能用一次),组成三个等式。

□+□=□ □-□=□ □×□=□

第6讲 算式谜(二)

一、知识要点

解决算式谜题,关键是找准突破口,推理时应注意以下几点:

1.认真分析算式中所包含的数量关系,找出隐蔽条件,选择有特征的部分作出局部判断;

2.利用列举和筛选相结合的方法,逐步排除不合理的数字;

3.试验时,应借助估值的方法,以缩小所求数字的取值范围,达到快速而准确的目的;

4.算式谜解出后,要验算一遍。

二、精讲精练

【例题1】 在下面的括号中填上合适的数字。

( ) 7 6 

? ( )( )    

 ( )( )( )( )        3 1 ( ) ( ) 0    

【思路导航】由积的末尾是0,可推出第二个因数的个位是5;由第二个因数的个位是5,并结合第一个因数

第9页

与5相乘的积的情况考虑,可推出第一人个因数的百位是 3;由第一个因数为376与积为31□□0,可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。

练习1: 在括号里填上适当的数。

6 ( ) 

? 3 5

3 3 ( )   

1 ( ) 8 

( )( )( )( )         ( ) 2 ( )( )     ? ( ) 6    ( )( ) 0 4    2 8 5? ( )    ( )      1 ( ) 2 ( )( )( )( )      ( )( ) 7 0    ( )   9 ( )( )   ( )( )( )( )( )          【例题2】在下面括号中填上适合的数字。

( )( )   

 1 ( ) 2   ( )( )

1 ( )   ( ) 2 

( )( )  

【思路导航】由商的十位是1,以及1与除数的乘积的最高位是1可推知除数的十位是1。由第一次除后余下的数是1,可推知被除数的十位只可能是7、8、9。如果是7,除数的个位是0,那么最后必有余数;如果被除数是8,除数的个位就是1,也不能除尽;只有当被除数的十位是9时,除数的个位是2时,商的个位为6,正好除尽。完整的竖式是:

( 1 )( 6 )   

 1 ( 9 ) 2   ( 1 )( 2 )

1 ( 2 )   ( 7 ) 2 

( 7 )( 2 )  

练习2:在括号内填入适当的数字,使下列除法竖式成立。

( )( )   8 ( )( )( )    

  ( )( )( ) 1      ( )( )( )( )( )       6 ( )( ) ( )( )

( )( ) 7    ( )( )    ( )( )( )( )      ( )( )( )    

( )( ) 6 1   ( )( )( )     0 ( ) 0 

( )( )  

【例题3】下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字?

a b c d

9 ×

d c b a

【思路导航】因为四位数abcd乘9的积是四位数,可知a是1;d和9相乘的积的个位是1,可知d只能是9;因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位,所以b只能是0(1已经用过);再由b=0,可推知c=8。

练习3:求下列各题中每个汉字所代表的数字。

花红柳绿

(1) × 9 花= 红= 柳= 绿= 柳绿花红

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1 华罗庚金杯

华罗庚金杯 1 3 (2) ×华= 罗= 庚= 金= 杯=

盼= 望= 祖= 国=

一 (3) ×

早= 日= 统= 一= 盼盼盼盼盼盼盼盼盼

【例题4】在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“+、-”两种运算符号,使其结果等于100(数字的顺序不能改变)。 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100

【思路导航】先凑出与100比较接近的数,再根据需要把相邻的几个数组成一个数。

比如:123与100比较接近,所以把前三个数字组成123,后面的数字凑出23就行。因为45与67相差22,8与9相差1,所以得到一种解法:123+45-67+8-9=100

再比如:89与100比较接近,78与67正好相差11,所此可得另一种解法:123+45-67+8-9=100.

练习4::(1)在下面等号左边的数字之间添上一些加号,使其结果等于99(数字的顺序不能改变)。

8 7 6 5 4 3 2 1 = 99

(2)一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方,使其结果等于100(数字的顺序不能改变)。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100

(3)添上适当的运算符号和括号,使下列等式成立。 1 2 3 4 5 = 100

【例题5】在下面的式子里添上括号,使等式成立。 7×9+12÷3-2 = 23

【思路导航】采用逆推法,从最后一步运算开始考虑。假如最后一步是用前面计算的结果减2,那么前面式子的运算结果应等25,又因为25×3=75,而前面7×9+12又正好等于75,所以,应给前面两步运算加括号。 (7×9+12)÷3-2 = 23

练习5:

1.在下面的式子里添上括号,使等式成立。

(1)7×9+12÷3-2 = 75(2)7×9+12÷3-2 = 47(3)88+33-11÷11×2 = 5

2.在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“+、-”两种运算符号,使其结果等于100(数字的顺序不能改变)。

第7讲 最优化问题

一、知识要点

在日常生活和生产中,我们经常会遇到下面的问题:完成一件事情,怎样合理安排才能做到用的时间最少,效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题,这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大(小)值,这类问题在数学中称为极值问题。以上的问题实际上都是“最优化问题”。

二、精讲精练

【例题1】 用一只平底锅煎饼,每次只能放两个,剪一个饼需要2分钟(规定正反面各需要1分钟)。问煎3个饼至少需要多少分钟?

【思路导航】先将两个饼同时放入锅中一起煎,一分钟后两个饼都熟了一面,这时可将一个取出,另一个翻过去,再放入第三个。又煎了一分钟,将两面都熟的那个取出,把第三个翻过去,再将第一个放入煎,再煎一分钟就会全部煎好。所以,煎3个饼至少需要3分钟。

练习1:

1.烤面包时,第一面需要2分钟,第二面只要烤1分钟,即烤一片面包需要3分钟。小丽用来烤面包的架子,一次只能放两片面包,她每天早上吃3片面包,至少要烤多少分钟?

2.用一只平底锅烙大饼,锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟,现在要烙3个大饼,最少要用几分钟?

3.小华用平底锅烙饼,这只锅同时能放4个大饼,烙一个要用4分钟(每面各需要2分钟)。可小华烙6个大

第11页 盼望祖国早日统一

饼只用了6分钟,他是怎样烙的?

【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟,烧开水需要15分钟,洗茶壶需要1分钟,洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶,最少需要多少分钟?

【思路导航】经验表明,能同时做的事,尽量同时做,这样可以节省时间。水壶不洗,不能烧开水,因此,洗水壶和烧开水不能同时进行。而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。

根据以上的分析,可以这样安排:先洗水壶用1分钟,接着烧开水用15分钟,同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶,水开了就沏茶,共需要16分钟。

练习2:

1.小虎早晨要完成这样几件事:烧一壶开水需要10分钟,把开水灌进热水瓶需要2分钟,取奶需要5分钟,整理书包需要4分钟。他完成这几件事最少需要多少分钟?

2.小强给客人沏茶,烧开水需要12分钟,洗茶杯要2分钟,买茶叶要8分钟,放茶叶泡茶要1分钟。为了让客人早点喝上茶,你认为最合理的安排,多少分钟就可以了?

3.在早晨起床后的1小时内,小欣要完成以下事情:叠被3分钟,洗脸刷牙8分钟,读外语30分钟,吃早餐10分钟,收碗擦桌5分钟,收听广播30分钟。最少需要多少分钟?

【例题3】五(1)班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室,等候校医治病。赵明打针需要5分钟,孙勇包纱布需要3分钟,李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医,校医如何安排三位同学的治病次序,才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短?

【思路导航】校医应该给治疗时间最短的先治病,治疗时间长的最后治疗,才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。这样,三位同学留在卫生室的时间分别是:李佳1分钟,赵1+3=4分钟,赵明1+3+5=9分钟。时间总和是1+4+9=14分钟。

练习3:

1.甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水。热水龙头只有一个,怎样安排他们打水的次序,可以使他们打热水所花的总时间最少?

2.甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务,甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟。怎样安排,使3人所花的时间最少?最少时间是多少?

3.甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水,甲洗托把需要3分钟,乙洗抹布需要2分钟,丙洗衣服需要10分钟,丁用桶注水需要1分钟。怎样安排四人用水的次序,使他们所花的总时间最少?最少时间是多少?

【例题4】用18厘米长的铁丝围成各种长方形,要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积最大是多少?

【思路导航】根据题意,围成的长方形的一条长与一条宽的和是18÷2=9厘米。显然,当长与宽的差越小,围成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数,因此,当长是5厘米,宽是4厘米时,围成的长方形的面积最大:5×4=20平方厘米。

练习4:

1.用长26厘米的铁丝围成各种长方形,要求长和宽的长度都是整厘米数,围成的长方形的面积最大是多少?

2.一个长方形的周长是20分米,它的面积最大是多少?

3.一个长方形的面积是36平方厘米,并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形的周长最长是多少厘米?

【例题5】用3~6这四个数字分别组成两个两位数,使这两个两位数的乘积最大。

【思路导航】解决这个问题应考虑两点:(1)尽可能把大数放在高位;(2)尽可能使两个数的差最小。所以应把6和5这两个数字放在十位,4和3放在个位。根据“两个因数的差越小,积越大”的规律,3应放在6的后面,4应放在5的后面。63×54=3402.

练习5:

1.用1~4这四个数字分别组成两个两位数,使这两个两位数的乘积最大。

2.用5~8这四个数字分别组成两个两位数,使这两个两位数的乘积最大。

3.用3~8这六个数字分别组成两个三位数,使这两个三位数的乘积最大。

第12页

第8讲 巧妙求和(一) 一、知识要点

若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中项的个数称为项数。

从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式:“通项公式”和“项数公式”。

通项公式:第n项=首项+(项数-1)×公差

项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1

二、精讲精练

【例题1】 有一个数列:4,10,16,22.?,52.这个数列共有多少项?

【思路导航】容易看出这是一个等差数列,公差为6,首项是4,末项是52.要求项数,可直接带入项数公式进行计算。

项数=(52-4)÷6+1=9,即这个数列共有9项。

练习1:

1.等差数列中,首项=1.末项=39,公差=2.这个等差数列共有多少项?

2.有一个等差数列:2.5,8,11.?,101.这个等差数列共有多少项?

3.已知等差数列11.16,21.26,?,1001.这个等差数列共有多少项?

【例题2】有一等差数列:3.7,11.15,??,这个等差数列的第100项是多少?

【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4,项数是100。要求第100项,可根据“末项=首项+公差×(项数-1)”进行计算。

第100项=3+4×(100-1)=399.

练习2:

1.一等差数列,首项=3.公差=2.项数=10,它的末项是多少?

2.求1.4,7,10??这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2.6,10,14??的第100项。

【例题3】有这样一个数列:1.2.3.4,?,99,100。请求出这个数列所有项的和。

【思路导航】如果我们把1.2.3.4,?,99,100与列100,99,?,3.2.1相加,则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+?+(99+2)+(100+1),其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加,所得的和就是所求数列的和的2倍,再除以2.就是所求数列的和。

1+2+3+?+99+100=(1+100)×100÷2=5050

上面的数列是一个等差数列,经研究发现,所有的等差数列都可以用下面的公式求和:

等差数列总和=(首项+末项)×项数÷2

这个公式也叫做等差数列求和公式。

练习3:

计算下面各题。

(1)1+2+3+?+49+50

(2)6+7+8+?+74+75

(3)100+99+98+?+61+60

【例题4】求等差数列2,4,6,?,48,50的和。

【思路导航】这个数列是等差数列,我们可以用公式计算。

要求这一数列的和,首先要求出项数是多少:项数=(末项-首项)÷公差+1=(50-2)÷2+1=25

首项=2.末项=50,项数=25

等差数列的和=(2+50)×25÷2=650.

练习4:

计算下面各题。

(1)2+6+10+14+18+22

(2)5+10+15+20+?+195+200

第13页

(3)9+18+27+36+?+261+270

【例题5】计算(2+4+6+?+100)-(1+3+5+?+99)

【思路导航】容易发现,被减数与减数都是等差数列的和,因此,可以先分别求出它们各自的和,然后相减。 进一步分析还可以发现,这两个数列其实是把1 ~ 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列,每个数列都有50个项。因此,我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减,可得到50个差,再求出所有差的和。

(2+4+6+?+100)-(1+3+5+?+99)

=(2-1)+(4-3)+(6-5)+?+(100-99)

=1+1+1+?+1

=50

练习5:

用简便方法计算下面各题。

(1)(2001+1999+1997+1995)-(2000+1998+1996+1994)

(2)(2+4+6+?+2000)-(1+3+5+?+1999)

(3)(1+3+5+?+1999)-(2+4+6+?+1998)

第9讲 变化规律(一)

一、知识要点

和、差的规律见下表(m≠0)

【例题1】 两个数相加,一个加数增加9,另一个加数减少9,和是否发生变化?

【思路导航】一个加数增加9,假如另一个加数不变,和就增加9;假如一个加数不变,另一个加数减少9,和就减少9;和先增加9,接着又减少9,所以不发生变化。

练习1:

1.两个数相加,一个数减8,另一个数加8,和是否变化?

2.两个数相加,一个数加3.另一个数也加3.和起什么变化?

3.两个数相加,一个数减6,另一个数减2.和起什么变化?

【例题2】两个数相加,如果一个加数增加10,要使和增加6,那么另一个加数应有什么变化?

【思路导航】一个加数增加10,假如另一个加数不变,和就增加10。现在要使和增加6,那么另一个加数应减少10-6=4。

练习2:

第14页

1.两个数相加,如果一个加数增加8,要使和增加15 ,另一个加数应有什么变化?

2.两个数相加,如果一个加数增加8,要使和减少15,另一个加数应有什么变化?

3.两个数相加,如果一个加数减少8,要使和减少8,另一个加数应有什么变化?

【例题3】两数相减,如果被减数增加8,减数也增加8,差是否起变化?

【思路导航】被减数增加8,假如减数不变,差就增加8;假如被减数不变,减数增加8,差就减少8。两个数的差先增加8,接着又减少8,所以不起什么变化。

练习3:

1.两数相减,被减数减少6,减数也减少6,差是否起变化?

2.两数相减,被减数增加12.减数减少12.差起什么变化?

3.两数相减,被减数减少10,减数增加10,差起什么变化?

【例题4】两数相乘,如果一个因数扩大8倍,另一个因数缩小2倍,积将有什么变化?

【思路导航】如果一个因数扩大8倍,另一个因数不变,积将扩大8倍;如果一个因数不变,另一个因数缩小2倍,积将缩小2倍。积先扩大8倍又缩小2倍,因此,积扩大了8÷2=4倍。

练习4:

1.两数相乘,如果一个因数缩小4倍,另一个因数扩大4倍,和是否起变化?

2.两数相乘,如果一个因数扩大3倍,另一个因数缩小12倍,积将有什么变化?

3.两数相乘,如果一个因数扩大3倍,另一个因数扩大6倍,积将有什么变化?

【例题5】两数相除,如果被除数扩大4倍,除数缩小2倍,商将怎样变化?

【思路导航】如果被除数扩大4倍,除数不变,商就扩大4倍;如果被除数不变,除数缩小2倍,商就扩大2倍。商先扩大4倍,接着又扩大2倍,商将扩大4×2=8倍。

练习5:

1.两数相除,被除数扩大30倍,除数缩小5倍,商将怎样变化?

2.两数相除,被除数缩小12倍,除数缩小2倍,商将怎样变化?

3.两数相除,除数扩大6倍,要使商扩大3倍,被除数应怎样变化?

第10讲 变化规律(二)

一、知识要点

乘、除变化规律见下表(m≠0)

我们学习了和、差、积、商的变化规律,这一周,我们利用这些规律来解决一些较简单的问题。

二、精讲精练

【例题1】 两数相减,被减数减少8,要使差减少12.减数应有什么变化?

第15页

【思路导航】被减数减少8,假如减数不变,差也减少 8;现在要使差减少12.减数应增加12-8=4。 练习1:

1.两数相减,如果被减数增加6,要使差增加15,减数应有什么变化?

2.两数相减,如果被减数增加20,要使差减少12.减数应有什么变化?

3.两数相减,减数减少9,要使差增加16,被减数应有什么变化?

【例题2】两个数相除,商是8,余数是20,如果被除数和除数同时扩大10倍,商是多少?余数是多少?

【思路导航】两数相除,被除数和除数同时扩大相同的倍数,商不变,余数扩大相同的倍数。所以商是8,余数是20×10=200。

练习2:

1.两数相除,商是6,余数是30,如果被除数和除数同时扩大10倍,商是多少?余数是多少?

2.两个数相除,商是9,余数是3。如果被除数和除数同时扩大120倍,商是多少?余数是多少?

3.两个数相除,商是8,余数是600。如果被除数和除数同时缩小100倍,商是多少?余数是多少?

【例题3】两数相乘,积是48。如果一个因数扩大2倍,另一个因数缩小3倍,那么积是多少?

【思路导航】一个因数扩大2倍,积扩大2倍;另一个因数缩小3倍,积缩小3倍。所以最后的积是48×2÷3=32。

练习3:

1.两数相乘,积是20。如果一个因数扩大3倍,另一个因数缩小4倍,那么积是多少?

2.两数相除,商是19。如果被除数扩大20倍,除数缩小4倍,那么商是多少?

3.两数相除,商是27。如果被除数扩大12倍,除数扩大6倍,那么商是多少?

【例题4】小华在计算两个数相加时,把一个加数个位上的1错误地写成7,把另一个加数十位上的3错误地写成8,所得的和是1996。原来两个数相加的正确答案是多少?

【思路导航】根据题意,一个加数个位上的1被写成了7,这样错写一个加数比原来增加了6;另一个加数十位上的3写成8,增加了50。这样,所得的结果就比原来增加了6+50=56。所以,原来两数相加的正确答案是:1996-(6+56)=1940。

练习4:

1.小明在计算加法时,把一个加数十位上的0错写成8,把另一个加数个位上的6错写成9,所得的和是532。正确的和是多少?

2.小强在计算加法时,把一个加数十位上的7错写成1.把个位上的8错写成0,所得的和是285。正确的和是多少?

3.小亮在计算加法时,把一个加数个位上的5错写成3.把另一个加数十位上的3错写成8,所得的和是650。正确的和是多少?

【例题5】王霞在计算题时,由于粗心大意,把被减数个位上的3错写成5,把十位上的6错写成0,这样算得差是189。正确的差是多少?

【思路导航】根据题意,被减数个位上的3写成5,因此增加了2;十位上的6写成0,因此减少60。这样错写的被减数比原来减少了60-2=58。因为减数不变,根据差的变化规律,正确的差要比错误的差多50。正确的差是:189+58=247。

练习5:

1.小军在做题时,把被减数个位上的3错写成8,把十位上的0错写成6,这样算得的差是198。正确的差是

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多少?

2.小刚在做题时,把减数个位上的9错写成6,把十位上的3错写成8,这样算得的差是268。正确的差是多少?

3.小红在做题时,把被减数十位上的0错写成8,把减数个位上的8错写成3.这样算得的差是632。正确的差是多少?

第11讲 错中求解

一、知识要点

在加、减、乘、除式的计算中,如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错,就会导致计算结果发生错误。这一周,我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。

二、精讲精练

【例题1】小玲在计算除法时,把除数65写成56,结果得到的商是13.还余52。正确的商是多少?

【思路导航】要求出正确的商,必须先求出被除数是多少。我们可以先抓住错误的得数,求出被除数:13×56+52=780。所以,正确的商是:780÷65=12。

练习1:

1.小星在计算除法时,把除数87错写成78,结果得到的商是5,余数是45。正确的商应该是多少?

2.甜甜和蜜蜜在用同一个数做被除数。甜甜用12去除,蜜蜜用15去除,甜甜得到的商是32还余6,蜜蜜计算的结果应该是多少?

3.小虎在计算除法时,把被除数1250写成1205,结果得到的商是48,余数是5。正确的商应该是多少?

【例题2】小芳在计算除法时,把除数32错写成320,结果得到商是48。正确的商应该是多少?

【思路导航】根据题意,把除数32改成320扩大到原来的10倍,又因为被除数不变,根据商的变化规律,正确的商应该是错误商的10倍。所以正确的商应该是48×10=480。

练习2:

1.小丽在计算除法时,把除数530末尾的0漏写了,得到的商是40。正确的商应该是多少?

2.小马在计算除法时,把被除数1280误写成12800,得到的商是32。正确的商应该是多少?

3.小欣在计算除法时,把被除数420错写成240,结果得到商是48。正确的商应该是多少?

【例题3】小冬在计算有余数的除法时,把被除数137错写成173.这样商比原来多了3.而余数正好相同。正确的商和余数是多少?

【思路导航】因为被除数137被错写成了173.被除数比原来多了173-137=36,又因为商比原来多了3.而且余数相同,所以除数是36÷3=12。又由137÷12=11??5,所以余数是5。

练习3:

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1.小军在计算有余数的除法时,把被除数208错写成 268,结果商增加了5,而余数正好相同。正确的除数和余数是多少?

2.李明在计算有余数的除法时,把被除数171错写成117,结果商比原来少了3.而余数正好相同。求这道除法算式正确的商和余数。

3.刘强在计算有余数的除法时,把被除数137错写成174,结果商比原来多3.余数比原来多1。求这道除法算式的除数和余数。

【例题4】小龙在做两位数乘两位数的题时,把一个因数的个位数字4错当作1.乘得的结果是525,实际应为600。这两个两位数各是多少?

【思路导航】一个因数的个位4错当作1.所得的结果比原来少了(4-1)个另一个因数;实际的结果与错误的结果相差600-525=75,75÷3=25,600÷25=24。所以一个因数是24,另一个因数是25。

练习4:

1.小锋在计算乘法时,把一个因数的个位数8错当作3.得345,实际应为420。这两个因数各是多少?

2.小菊做两位数乘两位数的乘法时,把一个因数的个位数字1误写成7,结果得646,实际应为418。这两个两位数各是多少?

3.李晓在计算两位数乘两位数的题目时,把一个因数十位上的3误当作8,结果得2150,这道题的正确积应是900。这两个两位数各是多少?

【例题5】方方和圆圆做一道乘法式题,方方误将一个因数增加14,计算的积增加了84,圆圆误将另一个因数增加14,积增加了168。那么,正确的积应是多少?

【思路导航】由“方方将一个因数增加14,计算结果增加了84”可知另一个因数是84÷14=6;又由“圆圆误将另一个因数增加14,积增加了168”可知,这个因数是168÷14=12。所以正确的积应是12×6=72。 练习5:

1.两个数相乘,如果一个因数增加10,另一个因数不变,那么积增加80;如果一个因数不变,另一个因数增加6,那么积增加72。原来的积是多少?

2.两个数相乘,如果一个因数增加3.另一个因数不变,那么积增加18;如果一个因数不变,另一个因数减少4,那么积减少200。原来的积是多少?

3.小敏在做两位数乘两位数的题时,把一个因数的个位数字5误写成3.得出的乘积是552;另一个学生却把这个5写成8,得出的乘积是672。正确的乘积是多少?

第12讲 简单列举

一、知识要点

有些题目,因其所求问题的答案有多种,直接列式解答比较困难,在这种情况下,我们不妨采用一一列举的

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方法解决。这种根据题目的要求,通过一一列举各种情况最终达到解答整个问题的方法叫做列举法。

二、精讲精练

【例题1】从南通到上海有两条路可走,从上海到南京有3条路可走。王叔叔从南通经过上海到南京去,有几种走法?

【思路导航】为了帮助理解,先画一个线路示意图,并用①、②、③、④、⑤表示其中的5条路。 我们把王叔叔的各种走法一一列举如下:

根据以上列举可以发现,从南通经过①到上海再到南京有3种方法,从南通经过②到上海再到南京也有3种方法,共有两个3种方法,即3×2=6(种)。

练习1:1.小明从家到学校有3条路可走,从学校到少年宫有两条路,小明从家经过学校到少年宫有几种走法?

2.从甲地到乙地,有两条走达铁路和4条直达公路,那么从甲地到乙地有多少种不同走法?

3.从甲地到乙地,有两条直达铁路,从乙地到丙地,有4条直达公路。那么,从甲地到丙地有多少种不同的走法?

【例题2】用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号,可以组成多少种不同的信号?

【思路导航】要使信号不同,就要求每一种信号颜色的顺序不同,我们把这些不同的信号列举如下:

从上面的排列中可以发现,红色信号灯排在第一位置时,有两种不同的信号,黄色信号灯排在第一位置时,也有两种不同的信号,蓝色信号灯排在第一位置时,也有两种不同的信号。因此,共有2×3=6种不同的排法。

练习2:1.甲、乙、丙三个同学排成一排,有几种不同的排法?

2.小红有3种不同颜色的上衣,4种不同颜色的裙子,问她共有多少种不同的穿法?

3.用3、4、5、6四个数字可以组成多少个不同的四位数?

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【例题3】有三张数字卡片,分别为3、6、0。从中挑出两张排成一个两位数,一共可以排成多少个两位数?

【思路导航】排成时要注意“0”不能排在最高位,下面我们进行分类考虑。(1)十位上排6,个位上有两个数字可选,这样的数共有两个:60,63;(2)十位上排3.个位上也有两个数字可选,这样的数也有两个:30,60。从以上列举容易发现,一共可以排成2×2=4(个)两位数。

【例题3】有三张数字卡片,分别为3、6、0。从中挑出两张排成一个两位数,一共可以排成多少个两位数?

【思路导航】排成时要注意“0”不能排在最高位,下面我们进行分类考虑。(1)十位上排6,个位上有两个数字可选,这样的数共有两个:60,63;(2)十位上排3.个位上也有两个数字可选,这样的数也有两个:30,60。从以上列举容易发现,一共可以排成2×2=4(个)两位数。

练习3:1.用0、2、9这三个数字,可以组成多少个不同的两位数?

2.用8、6、3、0这四个数字,可以组成多少个不同的三位数?最大的一个是多少?

3.用0、1、5、6这四个数字,可以组成多少个不同的四位数?从小到大排列,1650是第几个?

【例题4】从1~~8这八个数字中,每次取出两个数字,要使它们的和大于8,有多少种取法?【思路导航】为了既不重复,又不遗漏地统计出结果,应该按一定的顺序来分类列举,可以按“几+8、几+7、几+5、几+6、几+5”的顺序来思考。

1+8、2+8、3+8、??7+8,共7个;2+7、3+7、4+7、??6+7,共5个;3+6、4+6、5+6,共3个;4+5共1个。这样,两个数的和大于8的算式共有7+5+3+1=16(个),所以,共有16种不同的取法。

练习4:1.从1~6这六个数中,每次取两个数,要使它们的和大于6,有多少种取法?

2.从1~9这九个数中,每次取两个数,要使它们的和大于10,有多少种取法?

3.营业员有一个伍分币,4个贰分币,8个壹分币,他要找给顾客9分钱,有几种找法?

【例题5】在一次足球比赛中,4个队进行循环赛,需要比赛多少场?(两个队之间比赛一次称为1场)

【思路导航】4个队进行循环赛,也就是说4个队每两个队都要赛一场,设4个队分别为A、B、C、D,我们可以用图表示4个队进行循环赛的情况。

A队和其他3个队各比赛1次,要赛3场;B队和其他两个队还要各比赛1次,要赛2场;C队还要和D队比赛1次,要赛1场。这样,一共需要比赛3+2+1=6(场)。

练习5:

1.在一次羽毛球赛中,8个队进行循环赛,需要比赛多少场?

2.在一次乒乓球赛中,参加比赛的队进行循环赛,一共赛了15场。问有几个队参加比赛?

3.某学区举行“苗苗杯”小学生足球赛,共有6所学校的足球队比赛,比赛采取循环制,每个队都要和其他各队赛一场,根据积分排名次。这些比赛分别安排在3个学校的球场上进行,平均每个学校要安排几场比赛?

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第13讲 和倍问题 一、知识要点

已知两个数的和与它们之间的倍数关系,求这两个数是多少的应用题,叫做和倍问题。解答和倍应用题的基本数量关系是:

和÷(倍数+1)=小数 小数×倍数=大数 (和-小数=大数)

二、精讲精练

【例题1】 学校有科技书和故事书共480本,科技书的本数是故事书的3倍。两种书各有多少本?

【思路导航】为了便于理解题意,我们画图来分析:

由图可知,如果把故事书的本数看作一份,那么科技书的本数就是这样的3份,两种书的总本数就是这样的1+3=4份。把480本书平均分成4份,1份是故事书的本数,3份是科技书的本数。

480÷(1+3)=120(本) 120×3=360(本).

练习1:

1.用锡和铝制成的合金是720千克,其中铝的重量是锡的5倍。铝和锡各用了多少千克?

2.甲、乙两数的和是112.甲数除以乙数的商是6,甲、乙两数各是多少?

3.一块长方形黑板的周长是96分米,长是宽的3倍。这块长方形黑板的长和宽各是多少分米?

【例题2】果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵,其中梨树的棵数是苹果树的3倍,桃树的棵数是苹果树的4倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵?

【思路导航】如果把苹果树的棵数看作1份,三种树的总棵数是这样的1+3+4=8份。所以,苹果树有1200÷8=150(棵),梨树有150×3=450(棵),桃树有150×4=600(棵).

练习2:

1.李大伯养鸡、鸭、鹅共960只,养鸡的只数是鹅的3倍,养鸭的只数是鹅的4倍。鸡、鸭、鹅各养了多少只?

2.甲、乙、丙三数之和是360,已知甲是乙的3倍,丙是乙的2倍。求甲、乙、丙各是多少。

3.商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支,圆珠笔的支数是钢笔的3倍,铅笔的支数与圆珠笔的支数同样多。铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支?

【例题3】有三个书橱共放了330本书,第二个书橱里的书是第一个的2倍,第三个书橱里的书是第二个的4倍。每个书橱里各放了多少本书?

【思路导航】把第一个书橱里的本数看作1份,那么第二个书橱里的本数是这样的2份,第三个就是这样的2×4=8份,三个书橱里的总本数就是这样的1+2+8=11份。所以,第一个书橱里放了

330÷11=30(本),第二个书橱里放了30×2=60(本),第三个书橱里放了60×4=240(本)。

练习3:

1.甲、乙、丙三个数之和是400,已知甲是乙的3倍,丙是甲的4倍。求甲、乙、丙各是多少。

2.三块钢板共重621千克,第一块的重量是第二块的3倍,第二块的重量是第三块的2倍。三块钢板各重多少千克?

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3.甲、乙、丙三个修路队共修路1200米,甲队修的米数是乙队的2倍,乙队修的数数是丙队的3倍。三个

队各修了多少米?

【例题4】少先队员种柳树和杨树共216棵,杨树的棵数比柳树的3倍多20棵,两种树各种了多少棵?

【思路导航】如果杨树少种20棵,那么柳树和杨树的总棵数是216-20=196(棵),这里杨树的棵数恰好是柳树的3倍。所以,柳树的棵数是196÷(1+3)=49(棵),杨树的棵数是216-49=167(棵)。

练习4:1.粮站有大米和面粉共6300千克,大米的重量比面粉的4倍还多300千克,大米和面粉各有多少千克?

2.小华和小明两人参加数学竞赛,两人共得168分,小华的得分比小明的2倍少42分。两人各得多少分?

3.学校购买了720本图书分给高、中、低三个年级,高年级分得的比低年级的3倍多8本,中年级分得的比低年级的2倍多4本。高、中、低年级各分得图书多少本?

【例题5】三个筑路队共筑路1360米,甲队筑的米数是乙队的2倍,乙队比丙队多240米。三个队各筑多少米?

【思路导航】把乙队的米数看作1份,甲队筑的米数是这样的2份。假设丙队多筑240米,那么三个队共筑了1360+240=1600米,正好是乙队的2+1+1=4倍。所以,乙队筑了1600÷4=400米,甲队筑了400×2=800米,丙队筑了400-240=160米。

练习5:1.三个植树队共植树1900棵,甲队植树的棵数是乙队的2倍,乙队比丙队少植300棵。三个队各植树多少棵?

2.三个数的和是1540,甲数是丙数的7倍,乙数比甲数多40。三个数各是多少?

3.城东小学共有篮球、足球和排球共95个,其中足球比排球少5个,排球的个数是篮球个数的2倍。篮球、足球、排球各有多少个?

第14讲 植树问题

一、知识要点

1.线段上的植树问题可以分为以下三种情形:

(1)如果植树线路的两端都要植树,那么植树的棵数应比要分的段数多1.即:

棵数=段数+1;

(2)如果一端植树,另一端不植树,那么棵数与段数相等,即:棵数=段数;

(3)如果两端都不植树,那么棵数应比段数少1.即:

棵数=段数-1。

2.在封闭的路线上植数,棵数与段数相等,即:

棵数=段数。

二、精讲精练

【例题1】 城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵,每隔6米栽一棵。这条路长多少米?

【思路导航】题中已知栽树28棵,28棵树之间有28-1=27段,每隔6米为一段,所以这条大路长6×27=162米。

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练习1:

1.在一条马路一边从头至尾植树36棵,每相邻两棵树之间隔8米,这长马路有多长?

2.同学们做早操,21个同学排成一排,每相邻两个同学之间的距离相等,第一个人到最后一个人的距离是40米,相邻两个人隔多少米?

3.一条路长200米,在路的一旁从头至尾每隔5米植一棵树,一共要植多少棵?

【例题2】在一个周长是240米的游泳池周围栽树,每隔5米栽一棵,一共要栽多少棵树?

【思路导航】这道题是封闭线路上的植树问题,植树的棵数和段数相等。240÷5=48(棵)

练习2:

1.一个鱼塘的周长是1500米,沿鱼塘周围每隔6米栽一棵杨树,需要种多少棵杨树?

2.在圆形的水池边,每隔3米种一棵树,共种树60棵,这个水池的周长是多少米?

3.在一块长80米,宽60米的长方形地的周围种树,每隔4米种一棵,一共要种多少棵?

【例题3】在一座长800米的大桥两边挂彩灯,起点和终点都挂,一共挂了202盏,相邻两盏之间的距离都相等。求相邻两盏彩灯之间的距离。

【思路导航】大桥两边一共挂了202盏彩灯,每边各挂202÷2=101盏,101盏彩灯把800米长的大桥分成101-1=100段,所以,相邻两盏彩灯之间的距离是800÷100=8米。

练习3:

1.在一条长100米的大路两旁各栽一行树,起点和终点都栽,一共栽52棵,相邻的两棵树之间的距离相等。求相邻两棵树之间的距离。

2.一座长400米的大桥两旁挂彩灯,每两个相隔4米,从桥头到桥尾一共装了多少盏灯?

3.六年级学生参加广播操比赛,排了5路纵队,队伍长20米,前后两排相距1米。六年级有学生多少人?

【例题4】一个木工锯一根19米的木料,他先把一头损坏部分锯下来1米,然后锯了5次,锯成同样长的短木条。每根短木条长多少米?

【思路导航】根据题意,把长19-1=18米的木条锯了5次,可以锯成5+1=6段,所以每根短木条长18÷6=3米。

练习4:

1.一个木工锯一根长17米的木料,他先把一头损坏的部分锯下来2米,然后锯了4次,锯成同样长的短木条,每根短木条长几米?

2.有一根圆钢长22米,先锯下2米,剩下的锯成每根都是4米的小段,又锯了几次?

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3.有一个工人把长12米的圆钢锯成了3米长的小段,锯断一次要5分钟。共需要多少分钟?

【例题5】有一幢10层的大楼,由于停电电梯停开。某人从1层走到3层需要30秒,照这样计算,他从3层走到10需要多少秒?

【思路导航】把每一层楼所需要的时间看作一个间隔,1层至3层有两个时间间隔,所以每个间隔用去的时间是30÷(3-1)=15秒,3层到10层经过了10-3=7个时间间隔,所以,他从3层到10层需要15×7=105秒。 练习5:

1.把6米长的木料平均锯成3段要6分钟,照这样计算,如果锯成6段,需要多少分钟?

2.时钟4点敲4下,6秒钟敲完。那么12点钟敲12下,多少秒钟敲完?

3.一游人以等速在一条小路上散步,路边相邻两棵树的距离都相等,他从第一棵树走到第10棵树用了11分钟,如果这个游人走22分钟,应走到第几棵树?

第15讲 图形问题

一、知识要点

解答有关“图形面积”问题时,应注意以下几点:

1.细心观察,把握图形特点,合理地进行切拼,从而使问题得以顺利地解决;

2.从整体上观察图形特征,掌握图形本质,结合必要的分析推理和计算,使隐蔽的数量关系明朗化。

二、精讲精练

【例题1】 人民路小学操场长90米,宽45米。改造后,长增加10米,宽增加5米。现在操场面积比原来增加了多少平方米?

【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的面积,就得到增加的面积。操场现在的面积是(90+10)×(45+5)=5000平方米,操场原来的面积是90×45=4050平方米。所以,现在的面积比原来增加5000-4050=950平方米。

练习1:1.有一块长方形的木板,长22分米,宽8分米。如果长和宽分别减少10分米、3分米,面积比原来减少多少平方分米?

2.一块长方形铁板,长18分米,宽13分米。如果长和宽各减少2分米,面积比原来减少多少平方分米?

3.一块长方形地,长是80米,宽是45米。如果把宽增加5米,要使面积不变,长应减少多少米?

【例题2】一个长方形,如果宽不变,长增加6米,那么它的面积增加54平方米;如果长不变,宽减少3米,那么它的面积减少36平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米?【思路导航】由“宽不变,长增加6米,面积增加54平方米”可知,它的宽为54÷6=9米;由“长不变,宽减少3米,面积减少36平方米”可知,它的长为36÷3=12米。所以,这个长方形原来的面积是12×9=108平方米。

练习2:1.一个长方形,如果宽不变,长减少3米,那么它的面积减少24平方米;如果长不变,宽增加4米,那么它的面积增加60平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米?

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2.一个长方形,如果宽不变,长增加5米,那么它的面积增加30平方米;如果长不变,宽增加3米,那么它

的面积增加48平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米?

3.一个长方形,如果它的长减少3米,或它的宽减少2米,那么它的面积都减少36平方米。求这个长方形原来的面积。

【例题3】右图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围

成的一个长方形养鸡场,求它的占地面积。

【思路导航】根据题意,因为一面利用着墙,所以两条长加

一条宽等于16米。而宽是4米,那么长是(16-4)÷2=6米,

占地面积是6×4=24平方米。

练习3: 1.右图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成的

一个长方形养鸡场,求养鸡场的占地面积。

2.用56米长的木栏围成长或宽是20米的长方形,其中一边利用围墙,怎样才能使围成的面积最大?

3.用15米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃,其中一面利

用着墙。如果每边的长度都是整数,怎样才能使围成的面积最大?

【例题4】街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路, 如果水泥路的总面积是12平方米,中间花坛的面积是多少平方米?

【思路导航】把水泥路分成四个同样大小的长方形(如右图)。

因此,一个长方形的面积是12÷4=3平方米。因为水泥路宽1米, 所以小长方形的长是3÷1=3米。从图中可以看出正方形花坛的边长是小 长方形长与宽的差,所以小正方形的边长是3-1=2米。中间花坛的面积

是2×2=4平方米。

练习4:1.有一个正方形的水池,如下图的阴影部分,在它的周围修一个宽8米的花池,花池的面积是480平方米,求水池的边长。

2.四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形(如图),

大正方形的面积是64平方米,小正方形的面积是4平方米,小长方形

的短边是多少米?

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3.大小正方形的面积各是多少?

【例题5】一块正方形的钢板,先截去宽5分米的长方形,又截去宽8分米的长方形(如图),面积比原来的正方形减少181平方分米。原正方形的边长是多少?

8

5

【思路导航】把阴影部分剪下来,并把剪下的两个小长方形拼起来(如上右图),再拼上长、宽分别是8分米、5分米的小长方形,这个拼合成的长方形的面积是181+8×5=221平方分米,长是原来正方形的边长,宽是8+5=13分米。所以,原来正方形的边长是221÷13=17分米。

练习5:

1.一个正方形一条边减少6分米,另一条边减少10分米后变为一个长方形,这个长方形的面积比正方形的面积少260平方米,求原来正方形的边长。

2.一个长方形的木板,如果长减少5分米,宽减少2分米,那么它的面积就减少66平方分米,这时剩下的部分恰好是一个正方形。求原来长方形的面积。

3.一块正方形的的玻璃,长、宽都截去8厘米后,剩下的正方形比原来少448平方厘米,这块正方形玻璃原来的面积是多大?

第16讲 巧妙求和(二)

一、知识要点

某些问题,可以转化为求若干个数的和,在解决这些问题时,同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和,才可用等差数列求和公式。

在解决自然数的数字问题时,应根据题目的具体特点,有时可考虑将题中的数适当分组,并将每组中的数合理配对,使问题得以顺利解决。

二、精讲精练

【例题1】 刘俊读一本长篇小说,他第一天读30页,从第二天起,他每天读的页数都前一天多3页,第11天读了60页,正好读完。这本书共有多少页?

【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数,即30、33、36、??57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列,首项=30,末项=60,项数=11.因此可以很快得解:

(30+60)×11÷2=495(页)

想一想:如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答?

练习1:

1.刘师傅做一批零件,第一天做了30个,以的每天都比前一天多做2个,第15天做了48个,正好做完。这批零件共有多少个?

2.胡茜读一本故事书,她第一天读了20页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了

第26页

50页恰好读完,这本书共有多少页?

3.丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学1个,最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词?

【例题2】30把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试几次?

【思路导航】开第一把锁时,如果不凑巧,试了29把钥匙还不行,那所剩的一把就一定能把它打开,即开第一把锁至多需要试29次;同理,开第二把锁至多需试28次,开第三把锁至多需试27次??等打开第29把锁,剩下的最后一把不用试,一定能打开。所以,至多需试29+28+27+?+2+1=(29+1)×29÷2=435(次)。

练习2:

1.有80把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?

2.有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了?

3.有10只盒子,44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去,使各个盒子里的羽毛球只数不相等?

【例题3】某班有51个同学,毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次手?

【思路导航】假设51个同学排成一排,第一个人依次和其他人握手,一共握了50次,第二个依次和剩下的人握手,共握了49次,第三个人握了48次。依次类推,第50个人和剩下的一人握了1次手,这样,他们握手的次数和为:

50+49+48+?+2+1=(50+1)×50÷2=1275(次).

练习3:

1.学校进行乒乓球赛,每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有21人参加比赛,一共要进行多少场比赛?

2.在一次同学聚会中,一共到43位同学和4位老师,每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手?

3.假期里有一些同学相约每人互通两次电话,他们一共打了78次电话,问有多少位同学相约互通电话?

【例题4】求1 ~ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。

【思路导航】首先应该弄清楚这题是求99个连续自然数的数字之和,而不是求这99个数之和。为了能方便地解决问题,我们不妨把0算进来(它不影响我们计算数字之和)计算0~99这100个数的数字之和。这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等,是9+9=18,一共有100÷2=50对,所以,1~99这99个连续自然数的所有数字之和是18×50=900。

练习4: 1.求1~199这199个连续自然数的所有数字之和。

2.求1~999这999个连续自然数的所有数字之和。

3.求1~3000这3000个连续自然数的所有数字之和。

第27页

【例题5】求1~209这209个连续自然数的全部数字之和。

【思路导航】不妨先求0~199的所有数字之和,再求200~209的所有数字之和,然后把它们合起来。0~199的所有数字之和为(1+9×2)×(200÷2)=1900,200~209的所有数字之和为2×10+1+2+?+9=65。所以,1~209这209个连续自然数的全部数字之和为1900+65=1965。

练习5:

1.求1~308连续自然数的全部数字之和。

2.求1~2009连续自然数的全部数字之和。

3.求连续自然数2000~5000的全部数字之和。

第17讲 数图形(一)

一、知识要点

我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形,当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数,就需要仔细地观察,灵活地运用有关的知识和思考方法,掌握数图形的规律,才能获得正确的结果。

要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点:

1.弄清被数图形的特征和变化规律。

2.要按一定的顺序数,做到不重复,不遗漏。

二、精讲精练 A C D 【例题1】 数出右面图中有多少条线段。 B

【思路导航】要正确解答这类问题,需要我们按照一定的顺序来数,做到不重复,不遗漏。

从图中可以看出,从A点出发的不同线段有3条:AB、AC、AD;从B点出发的不同线段有2条:BC、BD;从C点出发的不同线段有1条:CD。因此,图中共有3+2+1=6条线段。

练习1::数出下列各图中有多少条线段。

(1) (2)

(3)

E D

C 【例题2】数一数右图中有多少个角。.

B A

【思路导航】数角的方法和数线段的方法类似,图中的五条射线相当于线段上的五个点,因此,要求图中有多少个锐角,可根据公式1+2+3??(总射线数-1)求得:1+2+3+4=10(个).

练习2::下列各图中各有多少个角?

第28页 A B C D E

三角形,因为BE上有4个点,共有1+2+3=6条线段,

所以图中有6个三角形。

练习3::数一数下面图中各有多少个三角形。

【例题4】数一数右图中共有多少个三角形。

【思路导航】与前一个例子相比,图中多了一条线段EF,因此三角形的个数应是AD和EF上面的线段与点O所围成的三角形个数的和。显然,以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个,所以图中共有6×2=12个三角形。

练习4::数一数下面各图中各有多少个三角形。

【例题5】数一数下图中有多少个长方形。 图中的长方形的个数取决于AB或CD边上的线段,AB线段条数是1+2+3=6条,所以图中有6个长方形。 练习5::数一数下面各图中分别有多少个长方形。

第18讲 数数图形(二)

一、知识要点

在解决数图形问题时,首先要认真分析图形的组成规律,根据图形特点选择适当的方法,既可以逐个计数,也可以把图形分成若干个部分,先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数,再把他们的个数合起来。

二、精讲精练 【例题1】 数一数右图中有多少个长方形?

【思路导航】图中的AB边上有线段1+2+3=6条,把AB边上的每一条线段作为长,AD边上的每一条线段作为宽,每一个长配一个宽,就组成一个长方形,所以,图中共有6×3=18个长方形。

数长方形可以用下面的公式:长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数

练习1::数一数,下面各图中分别有几个长方形?

【例题2】数一数,下图中有多少个正方形?

(每个小方格是边长为1的正方形) 第29页

【思路导航】图中边长为1个长度单位的正方形有 3×3=9个,

边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个,边长为3个长度单位的

正方形有1×1=1个。所以图中的正方形总数为:1+4+9=14个。

经进一步分析可以发现,由相同的n×n个小方格组成的几行几

列的正方形其中所含的正方形总数为:1×1+2×2+?+n×n。

练习2::数一数下列各图中分别有多少个正方形?(每个小方格为边长是1的小正方形)

【例题3】数一数下图中有多少个正方形

?(其中每个小方格都是

边长为1个长度单位的正方形)

【思路导航】边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个,边长是

2个长度单位的正方形有2×1=2个。所以,图中正方形的总数为:6+2=8个。

经进一步分析可以发现,一般情况下,如果一个长方形的长被分成m等份,宽被分成n等份(长和宽的每一份都是相等的)

那么正方形的总数为:

mn+(m-1)(n-1)+(m-2)(n-2)+?+(m-n+1)n.

练习3:

1.数一数下列各图中分别有多少个正方形。

2.下图中有多少个长方形,其中有多少个是正方形?

【例题4】从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站,铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票?这些车票中有多少种不同的票价?

【思路导航】这道题是数线段的方法在实际生活中的应用,连同广州、北京在内,这条铁路上共有10个站,共有1+2+3+?+9=45条线段,因此要准备45种不同的车票。由于这些车站之间的距离各不相等,因此,有多少种不同的车票,就有多少种不同的票价,所以共有45种不同的票价。

练习4:

1.从上海到武汉的航运线上,有9个停靠码头,航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票?

2.从上海至青岛的某次直快列车,中途要停靠6个大站,这次列车有几种不同票价?

3.从成都到南京的快车,中途要停靠9个站,有几种不同的票价?

【例题5】求下列图中线段长度的总和。(单位:厘米)

【思路导航】要求图中的线段长度总和,可以这样计算:

AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE

=1+(1+4)+(1+4+2)+(1+4+2+3)+4+(4+2)+(4+2+3)+2+(2+3)=352厘米

从上面的计算中可以发现这样一个规律,算式中长1厘米的基本线段(我们把不能再划分的线段称为基本线段)出现了4次,长4厘米的线段出现了(3×2)次,长2厘米的线段出现了(2×3)次,长3厘米的线段出现了(1×4)次,所以,各线段长度的总和还可以这样算:1×4+4×(3×2)+2×(2×3)+3×(1×4)

=1×(5-1)+4×(5-2)×2+2×(5-3)×3+3×(5-4)×4=52厘米

上式中的5是线段上的5个点,如果设线段上的点数为n,基本线段分别为a1、a2、?a(n-1)。以上各线段

第30页

长度的总和为L,那么L= a1×(n-1)×1+ a2×(n-2)×2+ a3×(n-3)×3+?+ a(n-1)×1×(n-1)。

练习5:

1.一条线段上有21个点(包括两个端点),相邻两点的距离都是4厘米,所有线段长度的总和是多少?

2.求下图中所有线段的总和。(单位:米)

3.求下图中所有线段的总和。(单位:厘米)

第19讲 应用题(二)

一、知识要点

解答复合应用题时一般有如下四个步骤:

1.弄清题意,找出已知条件和所求问题;

2.分析已知条件和所求问题之间的关系,找出解题的途径;

3.拟定解答计划,列出算式,算出得数;

4,检验解答方法是否合理,结果是否正确,最后写出答案。

二、精讲精练

【例题1】 某发电厂有10200吨煤,前10天每天烧煤300吨,后来改进炉灶,每天烧煤240吨。这堆煤还能烧多少天?

【思路导航】分析

?前10天每天烧300吨? 10200吨??能烧多少天?改进后每天烧240吨??

综合法思路: 前10天每天烧煤300吨,可以求出10天烧的吨数; 已知煤的总吨数和前10天烧的吨数,可以求出还有多少吨没有烧; 根据还剩的吨数和后来每天烧煤240吨,可以求出这堆煤还能烧多少天。 分析法思路: 要求还能烧多少天,要知道还有的吨数和后来每天烧的吨数(240吨); 要求还有多少吨煤,要知道这堆煤有多少吨(10200吨)和已经烧了多少吨。 要求已经烧了多少吨,要知道已经烧了多少天(10天)和每天烧多少吨(300吨)。 (10200-300×10)÷240=30(天). 练习1:

1.某电冰箱厂要生产1560台冰箱,已经生产了8天,每天生产120台。剩下的每天生产150台,还要多少天才能完成任务?

2.某工厂计划生产36500套轴承,前5天平均每天生产2100套,后来改进操作方法,平均每天可以生产2600套。这样完成这批轴承生产任务共需多少天?

3.某机床厂计划每天生产机床40台,30天完成任务。现在要提前10天完成任务,每天要生产多少台?

第31页

【例题2】师傅和徒弟同时开始加工200个零件,师傅每小时加工25个,完成任务时,徒弟还要做2小时才

能完成任务。徒弟每小时加工多少个?

【思路导航】由条件可知,师傅完成任务用了200÷25=8小时,徒弟完成任务用了8+2=10小时。所以,徒弟每小时加工200÷10=20个。

练习2:

1.张师傅和李师傅同时开始各做90个玩具,张师傅每天做10个,完成任务时,李师傅还要做1天才能完成任务。李师傅每天做多少个?

2.小华和小明同时开始写192个大字,小华每天写24个,完成任务时,小明还要写4天才能完成。小明每天写多少个字?

3.丰华农具厂计划20天制造农具2400件,实际每天多制造30件,这样可提前几天完成任务?

【例题3】甲、乙两地相距200千米,汽车行完全程要5小时,步行要40小时。张强从甲地出发,先步行8小时后改乘汽车,还需要几小时到达乙地?

【思路导航】根据题意,汽车5小时行200千米,每小时行200÷5=40千米;步行200千米要40小时,平均每小时行200÷40=5千米,8小时行了5×8=40千米;全程有200千米,乘汽车行了200-40=160千米,所以,还需160÷40=4小时到达乙地。

练习3:

1.玩具厂一车间要生产900个玩具,如果用手工做要20小时才能完成,用机器只需要4小时。一车间工人先用手工做了5小时,后改用机器生产,还需要几小时才能完成任务?

2.甲、乙两地相距200千米,汽车行完全程要5小时,步行要40小时。张强从甲地出发,先乘汽车4小时,后改步行,他从甲地到乙地共用了多少小时?

3.A、B两城相距300千米,摩托车行完全程要5小时,自行车要25小时。王亮从A城出发,先骑自行车5小时,后改骑摩托车。他从A城到B城共用了多少小时?

【例题4】某筑路队修一条长4200米的公路,原计划每人每天修4米,派21人来完成;实际修筑时增加了4人,可以提前几天完成任务?

【思路导航】要求可以提前几天完成任务,要知道原计划多少天完成和实际多少天完成。原计划21人每天修4×21=84米,修4200米需要4200÷84=50天。实际增加了4人,每天修4×(21+4)=100米,修同样长的公路需要4200÷100=42天。所以可提前50-42=8天完成任务。

练习4:

1.羊毛衫厂要生产378件羊毛衫,原计划每人每天生产3件,派18人来完成。实际增加了3人,可以提前几天完成任务?

2.某筑路队修一条长8400米的公路,原计划每人每天修4米,派42人来完成。如果每人的工作效率不变,要提前8天完成任务,需要多少人参加?

第32页

3.友谊服装厂要加工192套服装,原计划每人每天加工2套,8人可以按时完成。如果每人工作效率不变,要提前4天完成任务,需要增加多少人加工?

【例题5】自行车厂计划每天生产自行车100辆,可按期完成任务,实际每天生产120辆,结果提前8天完成任务。这批自行车有多少辆?

【思路导航】假如以计划生产的时间为准,那么实际完成任务后,再生产8天可多生产120×8=960辆。实际每天多生产120-100=20辆,可以求出多生产960辆所用的时间,这个时间就是原计划所需要的时间,960÷20=48天。所以,这批自行车有100×48=4800辆。

练习5:

1.农机厂生产柴油机,原计划每天生产40台,可以在预定的时间内完成任务。实际每天生产50台,结果提前6天完成,这批柴油机有多少台?

2.一辆汽车运一堆黄沙,计划每天运15吨,可以在预定时间内完成任务。实际每天运20吨,结果提前3天运完。这批黄沙有多少吨?

3.新兴机械厂原计划30天生产一批机器,实际每天比原计划多生产80台,结果提前25天就完成了任务。这批机器有多少台?

第20讲 速算与巧算

一、知识要点

速算与巧算是计算中的一个重要组成部分,掌握一些速算与巧算的方法,有助于提高我们的计算能力和思维能力。这一周我们学习加、减法的巧算方法,这些方法主要根据加、减法的运算定律和运算性质,通过对算式适当变形从而使计算简便。

在巧算方法里,蕴含着一种重要的解决问题的策略。转化问题法即把所给的算式,根据运算定律和运算性质,或改变它的运算顺序,或减整从而变成一个易于算出结果的算式。

二、精讲精练

【例题1】 计算9+99+999+9999

【思路导航】这四个加数分别接近10、100、1000、10000。在计算这类题目时,常使用减整法,例如将99转化为100-1。这是小学数学计算中常用的一种技巧。

9+99+999+9999

=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)

=10+100+1000+10000-4

=11106

练习1:

1.计算99999+9999+999+99+9 2.计算9+98+996+99973 5 5

6

3.计算1999+2998+396+497 4.计算198+297+396+495

第33页

5.计算1998+2997+4995+5994 6.计算19998+39996+49995+69996

【例题2】计算489+487+483+485+484+486+488

【思路导航】认真观察每个加数,发现它们都和整数490接近,所以选490为基准数。

489+487+483+485+484+486+488

=490×7-1-3-7-5-6-4-2

=3430-28

=3402

练习2:1.50+52+53+54+51 2.262+266+270+268+264

3.89+94+92+95+93+94+88+96+87 4.381+378+382+383+379

5.1032+1028+1033+1029+1031+1030 6.2451+2452+2446+2453.

【例题3】计算下面各题: (1)632-156-232 (2)128+186+72-86

【思路导航】在一个没有括号的算式中,如果只有第一级运算,计算时可以根据运算定律和性质调换加数或减数的位置。

?1?63?2?156232 ?2?128?186?72?86

 =128?72?186?86

 =200?100

 =300?63?2 = =400?156 =244232156  =( 128?72)?(186?86)

练习3:

计算下面各题①1208-569-208 ②283+69-183

③132-85+68 ④2318+625-1318+375

【例题4】计算下面各题。

⑴ 248+(152-127) ⑵ 324-(124-97) ⑶ 283+(358-183)

【思路导航】在计算有括号的加减混合运算时,有时为了使计算简便可以去括号,如果括号前面是“+”号,去括号时,括号内的符号不变;如果括号前面是“-”号,去括号时,括号内的加号就要变成减号,减号就要变成加号。

我们可以把上面的计算方法概括为:括号前面是加号,去掉括号不变号;括号前面是减号,去掉括号要变号。

第34页

?1?248+(152-127)

=248+152-127

 =400-127

 =273-(124-97)?2?324  =200+97 =297 ?3?283+(358-183) =283+358-183 =100+358

=458 -124+97 =324   =283-183+358

练习4:

计算下面各题

1.348+(252-166) 2.629+(320-129)

3. 462-(262-129) 4. 662-(315-238)

5.5623-(623-289)+452-(352-211) 6.736+678+2386-(336+278)-186

【例题5】计算下面各题。

(1)286+879-679 (2)812-593+193

【思路导航】在计算没有括号的加减法混合运算式题时,有时可以根据题目的特点,采用添括号的方法使计算简便,与前面去括号的方法类似,我们可以把这种方法概括为:括号前面是加号,添上括号不变号;括号前面是减号,添上括号要变号。

?1?286+879-679

=286+(879-679)

 =286+200

 =486?2?812-593+193 =812-(593-193)  =812-400 =412

练习5:

计算下面各题。

⑴ 368+1859-859 ⑵ 582+393-293

⑶ 632-385+285 ⑷ 2756-2748+1748+244

⑸ 612-375+275+(388+286) ⑹ 756+1478+346-(256+278)-246

第35页

2011年五年级(上)数学竞赛试题

一、填空题(每小题8分,共120分)

1、直接写出下面各题的结果:

(1)14.5+7.65×4+25.5+2.35×4+40= 。

(2)0.00…09873÷0.00…03= 。

2008个0 2009个0

2、根据规律填空:

(1)0.987654、098765,0.9877、0988、 、1.0

(2)8、31、10、27、12、23、14、19、 、 。

3、如果3.5×[6.8-(16+□÷0.9)]÷8.4=0.5,则□= 。

4、观察下图,A、B、C、D四件物品中最轻的是 。

5、用0、2、9、8、3这五个数字卡片组成的最大五位数是 ,组成最小的五

位数是 。

6、如右图,纸片按虚线折起来可以构成一个正方体,

那么该正方体与数字3相对的面上的数字是 。

7、从小到大排着5个数,前3个数的平均是数11,后3个数

的平均数是13,这5个数的平均数是12,第三个数是 。

8、一个两位数,十位数字是个位数的3倍,将个位数字与十位数字调换,得到一个

新的两位数,这两个两位数的和是132,则这个两位数是 。

9、某年二月份有五个星期六,这年的三月一日是星期 。

10、甲、乙、丙三位教师来自北京、上海、广州,教语文、数学、英语,已知:

(1)甲不是北京人,乙不是上海人。

(2)北京的教师不是教英语。

(3)乙不教语文

请你根据以上信息判断,丙教师教( )

11、某学校开运动会,在操场上围成120米的圆圈,每隔3米插一把太阳伞,每两

把伞之间放2把椅,请问要 把伞, 把椅子。

第36页

12、如右图,梯形ABCD的面积是45平方米, 高6米,△ABE的面积是5平方米,

DC=10米,则阴影部分的面积是( )。

13、一本故事书,小红10天可以看完,而小静能比小红提早2天看完。小红每天比

小静少看3页,这本故事共有 页。

14、某班学生订《小学生数学报》有43人,订《阅读》的有27人,两种都订的有

25人,每人至少订一种报刊,全班共有 人。

15、东西两镇相距60千米,甲骑车行全程要4小时,乙骑车行全程要5小时,现在

两人同时从东镇到西镇去,经过 小时后,乙剩下的路程是甲剩下路程的4倍。

第37页

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