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初中数学教研——动态问题

发布时间:2013-10-17 11:34:52  

动态问题

1. (2013杭州4分)射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上),请写出t可取的一切值 (单位:秒)

2.(2013湖南郴州,25,10分)如图,△ABC中,AB=BC,AC=8,tanA=k,P为AC边上一动点,设PC=x,作PE∥AB交BC于E,PF∥BC交AB于F.

(1)证明:△PCE是等腰三角形;

(2)EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高,用含x和k的代数式表示EM、FN,并探究EM、FN、BH之间的数量关系;

(3)当k=4时,求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式.x为何值时,S有最大值?并求出S的最大值.

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3.(2013湖南娄底,25,10分)如图,在△ABC中,∠B=45°,BC=5,高AD=4,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F分别在AB、AC上,AD交EF于点H.

(1)求证:;

(2)设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求出最大面积;

(3)当矩形EFPQ的面积最大时,该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动(当矩形的边PQ到达A点时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.

4.(2013江苏苏州,28,9分)如图,点O为矩形ABCD的对称中心,AB=10cm,BC=12cm.点E,F,G分别从A,B,C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E的运动速度为1cm/s,点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为1.5cm/s.当点F到达点C(即点F与点C重合)时,三个点随之停止运动.在运动过程中,△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F,设点E,F,G运动的时间为t(单位:s).

(1)当t=s时,四边形EBFB′为正方形;

(2)若以点E,B,F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似,求t的值;

(3)是否存在实数t,使得点B′与点O重合?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

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5.(2013江苏扬州,27,12分)如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=2,CD=1,BC=m,P为线段BC上的一动点,且和B、C不重合,连接PA,过点P作PE⊥PA交CD所在直线于E,设BP=x,CE=y.

(1)求y与x的函数关系式;

(2)若点P在线段BC上运动时,点E总在线段CD上,求m的取值范围;

(3)如图2,若m=4,将△PEC沿PE翻折到△PEG位置,∠BAG=90°,求BP长.

6.(2013山东临沂,25,11分)如图,矩形ABCD中,∠ACB=30°,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别与边AB,BC所在的直线相交,交点分别为E,F.

(1)当PE⊥AB,PF⊥BC时,如图1,则PE的值为___________; PF

PE的值; PF

PE的值是否变化?证明你PF(2)现将三角板绕点P逆时针旋转?(0°<?<60°)角,如图2,求(3)在(2)的基础上继续旋转,当60°<?<90°,且使AP:PC=1:2时,如图3,

的结论.

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D 图2

7.(2013四川成都,20,10分) 如图,点B在线段AC上,点D,E在AC同侧,∠A=∠C=90°,BD⊥BE, AD=BC.

(1)求证:AC=AD+CE;

(2)若AD=3,CE=5,点P为线段AB上的动点,连接DP,作PQ⊥DP,交直线BE于点Q. i)当点P与A,B两点不重合时,求DP的值;

PQ

ii)当点P从A点运动到AC的中点时,求线段DQ的中点所经过路径(线段)长.(直接写出结果,不必写出解答过程)

E

D

QA

P B C

8.(2013重庆,26,12分)已知,在矩形ABCD中,E为BC边上一点,AE⊥DE,AB=12,BE=16,F为线段BE上一点,EF=7,连接AF.如图①,现有一张硬质纸片△GMN,∠NGM=90°,NG=6,MG=8,斜边MN与边BC在同一直线上,点N与点E重合,点G在线段DE上.如图②,△GMN从图①的位置出发,以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动,同时,点P从A点出发,以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动,点Q为直线GN与线段AE的交点,连接PQ.当点N到达终点B时,△GMN和点P同时停止运动.设运动时间为t秒,解答下列问题:

(1)在整个运动过程中,当点G在线段AE上时,求t的值.

(2)在整个运动过程中,是否存在点P,使△APQ是等腰三角形.若存在,求出t的值;若不存在,说明理由. (3)在整个运动过程中,设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.

D

D

F

图①

M 图②

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9.(2013湖北荆门,23,10分)如图1,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点(不与M,C重合),以AB为直径作⊙O,过点P作⊙O的切线,交AD于点F,切点为E. (1)求证:OF∥BE;

(2)设BP=x,AF=y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;

(3)延长DC,FP交于点G,连接OE并延长交直线DC于H(图2),问是否存在点P,使△EFO∽△EHG(E,F,O分别与E,H,G为对应点),如果存在,试求(2)中x和y的值,如果不存在,请说明理由

FA.

F

A

10.(2013湖北孝感,25,12分)如图1,已知正方形ABCD的边长为1,点E在边BC上,若∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.

(1)图1中若点E是边BC的中点,我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF,请叙述你的一个构造方案,并指出是哪两个三角形全等(不要求证明);

(2)如图2,若点E在线段BC上滑动(不与点B,C重合). ①AE=EF是否总成立?请给出证明;

②在如图2的直角坐标系中,当点E滑动到某处时,点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上,求此时点F的坐标.

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11.(2013·潍坊,24,13分)如图,抛物线y?ax?bx?c关于直线x?1对称,与坐标轴交于A、B、C三点,且AB?4,点D?2?在抛物线上,直线是一次函数y?kx?2?k?0?的图象,点O是坐标原点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若直线平分四边形OBDC的面积,求k的值.

(3)把抛物线向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线与直线交于M、N两点,问在y轴正半轴上是否存在一定点P,使得不论k取何值,直线PM与PN总是关于y轴对称?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由. 2??3?2?

12.(2013湖北宜昌,22,12分)如图1,平面之间坐标系中,等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动,点C的坐标为(t,0),直角边AC=4,经过O,C两点做抛物线y1=ax(x﹣t)(a为常数,a>0),该抛物线与斜边AB交于点E,直线OA:y2=kx(k为常数,k>0)

(1)填空:用含t的代数式表示点A的坐标及k的值:A ,k= ;

(2)随着三角板的滑动,当a=时:

①请你验证:抛物线y1=ax(x﹣t)的顶点在函数y=的图象上;

②当三角板滑至点E为AB的中点时,求t的值;

(3)直线OA与抛物线的另一个交点为点D,当t≤x≤t+4,|y2﹣y1|的值随x的增大而减小,当x≥t+4时,|y2﹣y1|的值随x的增大而增大,求a与t的关系式及t的取值范围.

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13.(2013湖南郴州,26,10分)如图,在直角梯形AOCB中,AB∥OC,∠AOC=90°,AB=1,AO=2,OC=3,以O为原点,OC、OA所在直线为轴建立坐标系.抛物线顶点为A,且经过点C.点P在线段AO上由A向点O运动,点O在线段OC上由C向点O运动,QD⊥OC交BC于点D,OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点E′是E关于y轴的对称点,点Q运动到何处时,四边形OEAE′是菱形?

(3)点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发,运动的时间为t秒,当t为何值时,PB∥OD?

14.(2013湖南张家界,25,12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点C(0,1),顶点为Q(2,3),点D在x轴正半轴上,且OD=OC.

(1)求直线CD的解析式;

(2)求抛物线的解析式;

(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,求证:△CEQ∽△CDO;

(4)在(3)的条件下,若点P是线段QE上的动点,点F是线段OD上的动点,问:在P点和F点移动过程中,△PCF的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.

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15.(2013四川乐山,26,13分)如图1,已知抛物线C经过原点,对称轴x=?3与抛物线相交于第三象限的点M,与x轴相交于点N,且tan?MON?3。

(1)求抛物线C的解析式;

(2)将抛物线C绕原点O旋转1800得到抛物线C',抛物线C'与x轴的另一交点为A,B为抛物线C'上横坐标为2的点。

①若P为线段AB上一动点,PD⊥y轴于点D,求△APD面积的最大值;

②过线段OA上的两点E、F分别作x轴的垂线,交折线O-B-A于E1、F1,再分别以线段EE1、FF1为边作如图2所示的等边△AE1E2、等边△AF1F2,点E以每秒1个长度单位的速度从点O向点A运动,点F以每秒1个长度单位的速度从点A向点O运动,当△AE1E2有一边与△AF1F2的某一边在同一直线上时,求时间t的值。

16.(2013上海市,24,12分)如图9,在平面直角坐标系xoy中,顶点为M的抛物线y?ax?bx(a?0)经过点2

A和x轴正半轴上的点B,AO?OB= 2,?AOB?1200.

(1)求这条抛物线的表达式;

(2)联结OM,求?AOM的大小;

(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.

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17.(2013山西,26,14分)综合与探究:如图,抛物线y=123x-x-4与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)42

与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q

(1)求点A,B,C的坐标。

(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD,BC于点M,N。试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由。

(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点 Q,使△BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。

.

18.(2013四川乐山,26,13分)如图1,已知抛物线C经过原点,对称轴x=?3与抛物线相交于第三象限的点M,与x轴相交于点N,且tan?MON?3。

(1)求抛物线C的解析式;

(2)将抛物线C绕原点O旋转1800得到抛物线C',抛物线C'与x轴的另一交点为A,B为抛物线C'上横坐标为2的点。

①若P为线段AB上一动点,PD⊥y轴于点D,求△APD面积的最大值;

②过线段OA上的两点E、F分别作x轴的垂线,交折线O-B-A于E1、F1,再分别以线段EE1、FF1为边作如图2所示的等边△AE1E2、等边△AF1F2,点E以每秒1个长度单位的速度从点O向点A运动,点F以每秒1个长度单位的速度从点A向点O运动,当△AE1E2有一边与△AF1F2的某一边在同一直线上时,求时间t的值。

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19.(2013·济宁,23,?分)如图,直线y=-x+4与坐标轴分别交于点A、B,与直线y=x交于点C.在线段OA上,动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,同时动点P从点A出发向点O做匀速运动,当点P、Q其中一点停止运动时,另一点也停止运动.分别过点P、Q作x轴的垂线,交直线AB、OC于点E、F,连

接EF.若运动时间为t秒,在运动过程中四边形PEFQ总为矩形(点P、Q重合除外).

(1)求点P运动的速度是多少?

(2)当t为多少秒时,矩形PEFQ为正方形?

(3)当t为多少秒时,矩形PEFQ的面积S最大?并求出最大值.

20.(2013·潍坊,24,13分)如图,抛物线y?ax?bx?c关于直线x?1对称,与坐标轴交于A、B、C三点,且AB?4,点D?2?在抛物线上,直线是一次函数y?kx?2?k?0?的图象,点O是坐标原点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若直线平分四边形OBDC的面积,求k的值.

(3)把抛物线向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线与直线交于M、N两点,问在y轴正半轴上是否存在一定点P,使得不论k取何值,直线PM与PN总是关于y轴对称?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由. 2??3?2?

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21.(2013浙江湖州,24,8分)如图①,O为坐标原点,点B在x轴的正半轴上,四边形OACB是平行四边形,sin?AOB=4k,反比例函数y?(k?0)在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F. 5x

(1)若OA=10,求反比例函数的解析式;

(2)若点F为BC的中点,且△AOF的面积S=12,求OA的长和点C的坐标;

(3)在(2)的条件下,过点F作EF∥OB,交OA于点E(如图②),点P为直线EF上的一个动点,连接PA、PO.是否存在这样的点P,使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出所有点P的坐标;....

若不存在,请说明理由.

22.(2013深圳,23,9分)如图7—①,已知直线AB过点A(m,0),B(0,n),且m+n=20(其中m>0,n>0)

(1) 当m为何值时,?OAB的面积最大?最大值是多少?

k1的图像与直线AB交于点C、D,若S?OCA?S?OCD,求k的值 x8

(3) 在(2)的条件下,将?OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移,如图7—③,设它与?OAB重叠部分的面积为S,请求出S与运动时间(秒)之间的函数关系式(0<t<10) (2) 如图7—②,在(1)的条件下,函数y?

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23.(2013江苏泰州,24,10分) 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y?x?2与y轴相交于点A,与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B(m,2).

(1)求该反比例函数关系式;

(2)将直线y?x?2向上平移后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点C,且△ABC的面积为18,求平移后的直线的函数关系式

.

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