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天津市高等数学竞赛试题及答案_4套(05~08)

发布时间:2013-10-18 08:06:59  

2005年天津市大学数学竞赛试题参考答案

一、填空:(

1.lim4x2?x?1?x?1

x?sinx2x????。

yx2.设函数y?y(x)由方程x?y?e22所确定,则曲线y?y(x)在点(1,0)处的法线方程为

x?y?1?0 。

dx3.设函数f(x)连续,则tf(x2?t2)dt? xf(x2) 。 ?dx0

4.设函数f和g都可微,u?f?x,xy?,v?g?x?xy?,则

1

21?2?u?v????? ?1?y???f1?yf2??g 。 ???x?x5.?sinx?xarcsinx?x2dx? 1?3? 。 6

二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)

1. 函数f(x)在闭区间[1,2]上具有二阶导数,f(1)?f(2)?0,F(x)?(x?1)f(x),则F??(x)在开区间(1,2)内 ( B )

(A) 没有零点; (B)至少有一个零点;

(C) 恰有两个零点; (D)有且仅有一个零点。

2. 设函数f(x)与g(x)在开区间(a,b)内可导,考虑如下的两个命题,

⑴ 若f(x)?g(x),则f?(x)?g?(x);

⑵ 若f?(x)?g?(x),则f(x)?g(x)。

则( A )

(A)两个命题均不正确; (B)两个命题均正确;

(C)命题⑴正确,命题⑵不正确; (D)命题⑴不正确,命题⑵正确。

23. 设常数??0,在开区间???,??内,恒有f(x)?x,f??(x)?0,记I?2??f(x)dx,则??

( C )

(A) I < 0; (B) I = 0; (C) I > 0; (D) I非零,且其符号不确定。 4. limx?1f?x??f?a???1,则f(x)在x=a处( D ) 2x?a(A)导数存在,且f?(a)?0; (B)导数不存在;

(C)取得极小值; (D)取得极大值。

5. 累次积分(A)(C)

?

π20

d??

cos?

f?rcos?,rsin??rdr可以写成( D )

1

1?y2

0x?x2

?dy?

1

y?y2

f?x,y?dx; (B)?dy?

10

f?x,y?dx; f?x,y?dy。

?dx?f?x,y?dy; (D)?dx?

11

四、设f(x)在[0,??)上可导,其反函数为g?x?, f(0)?0,若?

x?f?x?x

g?t?x?dt?x2ln?1?x?

,求:f(x)。(本题6分)

f?x?0

解:命t?x?u,则dt?du,于是

?

将等式

x?f?x?

x

g?t?x?dt??

g?u?du?x2ln?1?x?。

?

f?x?

g?u?du?x2ln?1?x?两边同时对x求导,同时注意到g?f(x)??x,于是有

x2

, xf??x??2xln?1?x??

1?x

当x?0时,有

f??x??2ln?1?x??

对上式两端积分,得到

x

。 1?x

x??

f?x????2ln?1?x???dx?2?ln?1?x??xln?1?x??x??x?ln?1?x??C 1?x???ln?1?x??2xln?1?x??x?C

由f(x)在x=0处连续,可知limf?x??C;又f(0)?0,解得C=0,于是

x??0

f?x??ln?1?x??2xln?1?x??x。

五、计算?

解:方法一

?

x?sin2xdx

。(本题6分)

?0

?

?

sinx?sinxdx??

?

2

?

x1?sinxdx??

?

xx??

x?cos?sin?dx

22??

2

??

xxxx

2sin?cos?cos?sindx?2?2

02222

?4

cost?sint2?1?cost?sintdt

21

?4?

cost?sint2

?1?d?cost?sint??4?

u2?1?du?

42uu2?1?lnu?u2?121

????22?2ln1?2

方法二

??

?

?

?

sinx?sinxdx?2?

1

2

20

2

1u?ucosxsinx?sin2xsinx?sin2x2dx?2?d?sinx??2?du

0022cosx?sinx?u

?

?2?

?u

du?4?

1

u?1?1?u

?

?d?4???

?

1

1?t

?4??t2?lnt??t2

2?2?22?ln1?2

???

???

?

?dt?t?

02??t?

1?1?t?1

?lnt??t2??4??t2?lnt??t2?

2?0?2?0

2

1

???

六、设闭区域D:x

续函数,且

2

?y2?y,x?0

。f(x,y)为D上的连

f(x,y)??x2?y2?

f?u,v?dudv, ???8

D

求:f?x,y?。(本题7分)

解:设积分,得

??

D

f?u,v?dudv?A,于是有f(x,y)??x2?y2?

8

?

A,等式两边计算区域D上的二重

??

D

f(x,y)dxdy????x2?y2dxdy?

D

8A

?

??dxdy,

D

即 A?

??

20

?x2?y2dxdy?

sin?

8A??, ?8

π

于是2A?

??

D

?x?ydxdy??d??

22

11??2?

?rrdr??21-cos3?d?????,

303?23?

2

??

所以A?

1??2?

???。 6?23?

2

2

故f(x,y)??x?y?

43?

??2????。 ?23?

?

九、证明?

?

?

20

sinxcosx2dx??01?x2dx1?x2

?

。(本题8分)

?

证明:方法一(利用积分估值定理)

sinx?cosxsinx?cosxsinx?cosx42dx?dx?dx, 命I??2?222?001?x1?x1?x4

对上式右端的第二个积分,取变换t?

?

?

?

2

?x,则dx??dt,于是

?

?

sinx?cosxsinx?cosxsinx?cosxcost?sint244I??4dx?dx?dx??1?x2?01?x2?0???2dt01?x2

4

1??t??

2????

????

11?dx?4?sinx?cosx????4?sinx?cosx???22?00?1?x????

1??x????1?x2

2??????

?2

??x

2

??

??

?1??x??????2???

???

dx

?2

???

注意到:被积函数的两个因子在区间?0,?上异号(sinx?cosx?04??

由积分估值定理得知必有I≤0,即知原不等式成立。

方法二(利用积分中值定理)

2

??x

?????

2

???

?1?x??1??x??

?2

?

?

?

?0),

sinx?cosxsinx?cosxsinx?cosx42dx?dx?dx, 命I??2?222?001?x1?x1?x4

由积分中值定理,并在区间?

???

?????

,?上取变换t??x,同时注意到:?1??2,得

2?42?

?

2

I??

11??11

2

??sinx?cosx?dx?1????sinx?cosx?dx

4

22

4

?

1

1

??sinx?cosxdx?2?2

1??11??2

4

?

?

??11

?04?cost?sint?dt??1??2?1??2??04?cosx?sinx?dx?0

21??

?

十、设正值函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,

?

ba

f(x)dx?A

,证明:

?

ba

f(x)ef(x)dx?

b

a

1

dx?(b?a)(b?a?A)f(x)

(本题8分)

证明:化为二重积分证明。记D?(x,y)a?x?b,a?y?b,则原式

??

左边??f(x)ef(x)dx?abba1f(x)f(x)f(y)f(y)dy???edxdy???edxdyf(y)f(y)f(x)DD

f(x)?f(y)

21?f(y)f(y)f(x)f(x)?????e?e?dxdy???e2D?f(x)f(y)?D

bb

aaf(x)f(y)??dxdy????1???dxdy22?D? ?(b?a)2??dy?f(x)dx?(b?a)(b?a?A)

利用了e#>=1+X (由e#的幂级数展开式可得)

十一、设函数f(x)在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数,证明:存在ξ∈(a,b),使得

4

(b?a)2???a?b?f(a)?2f?f(b)?f??(?)?????2???。

(本题7分)

证明:将函数f(x)在点x0?a?b

2处作泰勒展开,并分别取

2x=a和b,得到 a?b?1a?b??a?b??a?b????a?b?f(a)?f???f????a???f??(?1)?a??,其中?1??a?; 2222!22??????????

a?b?1a?b??a?b??a?b????a?b?f(b)?f?,b?。 ??f????b???f??(?2)?b??,其中?2??2?2!2??2??2????2?

两式相加得到 2

1?a?b??b?a?f(a)?2f???f(b)??f??(?1)?f??(?2)???。 22!2????2

由于f??(x)连续,由介值定理知,存在????,??使得12f??(?)?f??(?1)?f??(?2)

2,从而得

1?a?b??b?a?2f??(?), f(a)?2f??f(b)??4?2?

即 f??(?)?4

b?a2???a?b?f(a)?2f?f(b)????。 2????

十二、设函数f(x)在闭区间[-2,2]上具有二阶导数,f(x)?1,且?f(0)???f?(0)??4,证明:存在一22点ξ∈(-2,2),使得f(?)?f??(?)?0。(本题8分)

证明:在区间[-2,0]和[0,2]上分别对函数f(x)应用拉格朗日中值定理

??1?(?2,0)使f?(?1)?f(0)?f(?2); 2

f(2)?f(0)??2?(0,2)使f?(?2)?。 2

f(0)?f(?2)?1,f?(?2)?1。 2注意到:f(x)?1,因此f?(?1)?

命:F(x)??f(x)?2??f?(x)?2,则F(x)在区间[-2,2]上可导,且

F(?1)??f(?1)???f?(?1)??2; 22 构造新函数

F(?2)??f(?2)???f?(?2)??2; 22

F(0)?4。

?f(x)??4,且??(?1,?2)。由弗故F(x)在闭区间??1,?2?上的最大值F(?)?xMax???,??12

马定理知F?(?)?0。而 F?(x)?2f(x)f?(x)?2f?(x)f??(x), 陆

故 F?(?)?2f?(?)?f(?)?f??(?)??0。

由于F(?)??f(?)???f?(?)??4,所以f?(?)?0,从而f(?)?f??(?)?0。 22

2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案

一、填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)

?1?esinx

,x?0,?1.若f?x???arctan2是???,???上的连续函数,则a = -1 。

?2x?ae?1,x?0,

2.函数y?x?2sinx在区间?

3.2????,??上的最大值为?3 。 3?2???x?x?e2

?2?xdx?2?6e?2 。

?3x2?2y2?124.由曲线?绕y轴旋转一周得到的旋转面在点0,3,2处的指向外侧的单位法向z?0???

量为1

?0,2,3 。

1??x-1?ez?y?x

?2所确定,则dz?dx?dy 。 1?xez?y?x?5.设函数z?z?x,y?由方程z?y?x?xez?y?x

二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)

6. 设函数f (x)可导,并且f??x0??5,则当?x?0时,该函数在点x0处微分dy是?y的( A )

(A)等价无穷小; (B)同阶但不等价的无穷小;

(C)高阶无穷小; (D)低阶无穷小。

7. 设函数f (x)在点x = a处可导,则f?x?在点x = a处不可导的充要条件是( C )

(A)f (a) = 0,且f??a??0; (B)f (a)≠0,但f??a??0;

(C)f (a) = 0,且f??a??0; (D)f (a)≠0,且f??a??0。

8. 曲线y?x?x2?x?1( B )

(A)没有渐近线; (B)有一条水平渐近线和一条斜渐近线;

(C)有一条铅直渐近线; (D)有两条水平渐近线。

9. 设f?x,y?与??x,y?均为可微函数,且??已知?x0,y0?是f?x,y?在约束条件??x,y??0y?x,y??0。

下的一个极值点,下列选项中的正确者为( D )

(A)若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0; (B)若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0; (C)若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0; (D)若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0。 10. (A)(C)

设曲面Σ??x,y,z?x?y?z?k,z?0的上侧,则下述曲面积分不为零的是( B )

2

2

2

2

??

2x??dydz; (B)??xdydz; ?

?

??zdzdx; (D)??ydxdy。

?

?

三、设函数f (x)具有连续的二阶导数,且

lim

x?0

f?x??0x,f???0??4,求lim???1?fx?x????。(本题6分)

x?0

1

x

解:由题设可推知f (0) = 0,f??0??0,于是有

lim

x?0

f?x?f??x?f???x??lim?lim?2。 2x?0x?02x2x

f?x?x

fx?

f?x??f?x?????

?lim1?故 lim?1???x?0x?0?x?x??????

1x

?????

x2

x

??

f?x??fx??f?x??

?limexp?2ln?1??e2。 ??x?0x?x?????

五、设n为自然数,计算积分I题7分)

解:

n

??

π

20

sin?2n?1?x

dx

sinx

。(本

注意到:对于每个固定的n,总有

lim

sin?2n?1?x

?2n?1, x?0sinx

无穷小代换

所以被积函数在x = 0点处有界(x = 0不是被积函数的奇点)。又

sin?2n?1?x?sin?2n?1?x?2cos2nxsinx,

于是有

In?In?1??

π20

sin?2n?1?x?sin?2n?1?x1

dx?2?2cos2nxdx?sin2nx2?0,

0sinxn0

π

上面的等式对于一切大于1的自然数均成立,故有In?In?1???I1。所以

?

In?I1??2

0sin3xcos2xsinx?sin2xcosx?dx??2dx??2cos2xdx?2?2cos2xdx?。 000sinxsinx2???

六、设f (x)是除x = 0点外处处连续的奇函数,x = 0为其第一类跳跃间断点,证明?x

0f?t?dt是

连续的偶函数,但在x = 0点处不可导。(本题7分)

证明:因为f?x?存在,x = 0是f (x)的第一类跳跃间断点,所以xlim设为A,?0?

?f?x???A。 则A≠0;又因f (x)为奇函数,所以xlim?0

命:

?f?x??A,x?0;???x???0,x?0;

?f?x??A,x?0.? 构造连续函数

则??x?在x = 0点处连续,从而??x?在???,???上处处连续,且??x?是奇函数:

当x > 0,则-x < 0,???x??f??x??A??f?x??A???f?x??A?????x?;

当x < 0,则-x > 0,???x??f??x??A??f?x??A???f?x??A?????x?,

即??x?是连续的奇函数,于是???t?dt是连续的偶函数,且在x = 0点处可导。又 0x

?

所以

xx0x??t?dt??f?t?dt?Ax, 0x0x?f?t?dt????t?dt?Ax, 0?f?t?dt是连续的偶函数,但在x = 0点处不可导。 0

x?xdy九、计算I??

xyd,其中L为x?x?y?1正向一?x?yL

周。(本题7分)

解:因为L为x?x?y?1,故

I??ydx?xdyL格林公式????1???1??d??2??d? DD

其中D为L所围区域,故??d?为D的面积。为此我们对L加以讨论,用以搞清D的面积。

D

当x?0且x?y?0时,x?x?y?1?2x?y?1?0; 当x?0且x?y?0时,x?x?y?1??y?1?0; 当x?0且x?y?0时,x?x?y?1?y?1?0; 当x?0且x?y?0时,x?x?y?1??2x?y?1?0, 故D的面积为2×1=2。从而I??ydx?xdyLx?x?y?4。

22十、⑴ 证明:当x充分小时,不等式0?tanx?x

成立。

⑵ 设x??tann1?k,求limx。(本题8分) n2

n

k?1n??n?x4

tan2x?x2tanx?xtanx?xsec2x?12tan2x2?lim?lim?2lim?lim2?, 证明:⑴ 因为lim432x?0x?0x?0x?0x3x?0x3xx3x又注意到当x充分小时,tanx?x,所以成立不等式0?tanx?x?x。 ⑵ 由⑴知,当n充分大时有,2241?tan2

n?k1n?k?11?,故 2n?kn?knnn11111?x????, ????n2n?kn?kn?knk?1k?1k?1n?kk?1n

11n1??而?,于是 knk?1k?1n?k1?nn

壹拾

1111n1

lim??lim???dx?ln2,

01?xn??n??nkn?kk?1k?1

1?n

n

为微积分方法

由夹逼定理知limxn?ln2。

n??

十二、设匀质半球壳的半径为R,密度为μ,在球壳的对称轴上,有一条长为l的均匀细棒,其密度为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a,a > R ,求此半球壳对棒的引力。(本题7分)

解:设球心在坐标原点上,半球壳为上半球面,细棒位于正z轴上,则由于对称性,所求引力在x轴与y轴上的投影Fx及Fy均为零。

设k为引力常数,则半球壳对细棒引力在z轴方向的分量为:

Fz?k????ds?

?

a?l

z?z1

a

?x

?

?k?????x2?y2

??

2

?

??z?a?l????x

2

?y2??z?z1?

12?2

322

dz1

2

?y2??z?a?

12?2

?

??ds?

记M1?2πRμ,M2?lρ。在球坐标下计算Fz,得到

Fz?2?k??R

2

??

?0

?22

?R??a?l??2R?a?l?cos??

R?a?la?l

2

2

???R

?

12

2

?a?2acos?

2

?

?

12

?sin??d?

?

kM1M2?R2?a2?R

???Rl?a

??R?

???

若半球壳仍为上半球面,但细棒位于负z轴上,则

2

GM1M2?R2?a?l?RR2?a2?R?

??。 Fz??Rl?aa?l???

壹拾壹

2007年天津市大学数学竞赛试题参考答案

二、填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)

1. 设函数f?x??

小,则a = 3 。

2. 设函数y?x2在x?x0点处取得极小值,则x0??x?sinx?0sinat2dt,g?x??x3?x4,且当x→0时,f?x?与g?x?为等价无穷??1。 ln2

3. ???

1dx?1?ln2。 2xx?122?x?1y?1z?2?3x?2y-2z-1?0??4. 曲线L:?2在点(1,1,2)处的切线方程为。 221?4?5??x?y?z-4y-2z?2?0

115. ?0dx?xy?y3x2dy?132?1。 ?

二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)

1. 设函数f?x?连续,则下列函数中必为偶函数的是( A )

(A)

(C)?x?0t?f?t??f??t??dt; (B)?t?f?t??f??t??dt; ?0x???x

0ft2dt; (D)?2?f?t??dt。 0x

2. 设函数f?x?具有一阶导数,下述结论中正确的是( D )

(A)若f?x?只有一个零点,则f??x?必至少有两个零点;

(B)若f??x?至少有一个零点,则f?x?必至少有两个零点;

(C)若f?x?没有零点,则f??x?至少有一个零点;

(D)若f??x?没有零点,则f?x?至多有一个零点。

3. 设函数f?x?在区间?0,???内具有二阶导数,满足f?0??0,f???x??0,又0?a?b,则当a?x?b时恒有( B )

(A)af?x??xf?a?; (B)bf?x??xf?b?;

(C)xf?x??bf?b?; (D)xf?x??af?a?。

4.考虑二元函数f?x,y?在点?x0,y0?处的下面四条性质:

壹拾贰

①连续; ②可微;

③fx??x0,y0?与fy??x0,y0?存在; ④fx??x,y?与fy??x,y?连续。

若用“P?Q”表示可由性质P推出性质Q,则有( B )

(A)②?③?①; (B)④?②?①;

(C)②?④?①; (D)④?③?②。

5.设二元函数f?x,y?具有一阶连续偏导数,曲线L:f?x,y??1过第二象限内的点M和第四象限内的点N,Γ为L上从点M到点N的一段弧,则下列积分值为负的是( C )

(A)

(C)?f?x,y?ds; (B)?f?x,y?dx; ?????f?x,y?dy; (D)?????fx??x,y?dx?fy??x,y?dy。

x?2

2四、证明:当x > -2时,?x?2?e

题7分)

证明:设??x???x?2?ex?2

2?xex?2e?2?0。(本?xex?2e?2,?x??2?,

???2????2?2?e

???x??e

x?22?2?22???2?e?2?2e?2??4e?2?2e?2?2e?2?0, ?ex?xex。 ?x?2???f?xx?2?e2ux?22??又设:f?u??e?ue,则???x??f?u

???x??2,x2???x??f?????

?x?2?x?2??x???f????22而f?????e?2???,又2???x?2x?2?2??0,故f?????0。从而,当x > 2时, 22

x?2???x???f?????0, 2

即??x?单调减少,从而??x??0。命题得证。

五、设f?x??xsin2x,求f???0?2n?n?3?。(本题7分) 解:利用牛顿—莱布尼兹公式:

?n?k??k??uv??n??u?n?v?Cn1u?n?1?v????Ckv???uv?n?。 nu

壹拾叁

设u?x,v?sin2x,

注意到:u??2x,u???2,u?j?2?0?j?3?;

v?n???sin2x??n?nπ???2nsin?2x??v?n?1???sin2x??n?1??n?1?π?, ??2n?1sin?2x??2??

?n?2?π?。 ??2n?2sin?2x??2??v?n?2???sin2x?

故?n?2?

?xsin2x????22nn?n?1?π??n?n?1?2n?2?2?sin?2x??n?2?π?, nπ???nx2sin?2x??n2xsin2x??????2?2?22????

2??n?n?1?2n?2sin

2于是有f?n??0??n?n?1?2n?2sin?n?2??n?2?n?3?。 六、设当0?x?1时,f?x??x?1?x?,且f?x?1??af?x?,试确

定常数a的值,使f?x?在x = 0点处可导,并求此导数。(本题7分)

解:首先写出f?x?在 x < 0附近的表达式:当?1?x?0时,0?x?1?1。由f?x?1??af?x?知,

f?x??

故有 1112f?x?1???x?1?1??x?1???x?x?1??x?2?, aaa

?1??x?x?1??x?2?,?1?x?0,f?x???a

?0?x?1.?x?1?x??1?x?,??

f???0??lim?x?0?1x?x?1??x?2??02??f???0??lim?x?0x?1?x??1?x??0? 壹拾肆

?

且f??0??1。 2?1,a??2, a

七、设函数

?2x?3y?1

0f?t?在区间???,???内连续,且满足, f?t?dt?4x2?9y2?12xy?2

⑴ 求f?t?;

⑵ 计算I??f?2x?3y?1??2dx?3dy?,其中L是从原点O到点M(1,3)的任意一条光滑弧。(本题7分) ?L

解:⑴ 2f2x?3y?1?8x?12y,

所以f?2x?3y?1??2?2x?3y?。

命:2x?3y?1?t,于是有f?t??2?t?1?。

⑵ 因为P?x,y??2f?2x?3y?1?,Q?x,y??3f?2x?3y?1?,

所以?P?Q。 ?6f??2x?3y?1???y?x

于是可知I与积分路径无关,从而

I??f?2x?3y?1??2dx?3dy???L?1,3??0,0?f?2x?3y?1??2dx?3dy?,

命:2x?3y?1?t,当x = 0,y = 0时,t = 1;x = 1,y = 3时,t = 12。

故 I??12

1f?t?dt??1212?t?1?dt?t2?2t??121。 1

九、设

I???f?x,yy?x2dσ

Df?x,y??Max?x,y?,D???x,y?0?x?1,0?y?1?D,计算。(本题7分)

壹拾伍

D1???x,y?0?x?1,x?y?1?

D2??x,y?0?x?1,x2?y?x D3

于是

2

???x,y?0?x?1,0?y?x???

?

?

D3

I??

??y?y?x?d?

2

D1

1x

???xy?x2d????xx2?yd?

D2

1

x

x

??

?

1

01

dx?y?yxdy??xdx?2y?xdy??xdx?

1

?

22

??

2

?

1

x2

?x

2

?ydy

?

?1x2x3x4?????????dx?0?3232??

11?40

51x?x3x5?4

?0??2?x?2??dx??02dx??

十、设函数f?x,y??x?y??x,y?,其中??x,y?在点(0,0)的一个邻域内连续,证明:f?x,y?在点(0,0)处可微的充要条件是??0,0??0。(本题8分)

证明:充分性

已知??0,0??0,欲证f?x,y?在点(0,0)处可微,只需证

lim

x?y??x,y?x?y?

2

2

x?0

y?0

?0。

注意到:

x?yx?y

2

2

x?yx?y

2

2

?2,

所以

x?y?x,y?x?y

2

2

?2??x,y。

又lim??x,y??0,由夹逼定理知lim

x?0y?0

x?y??x,y?x?y

2

2

x?0y?0

?0。

从而f?x,y?在点(0,0)处可微,并且df?x,y??0。 必要性

已知f?x,y?在点(0,0)处可微,故fx??0,0?与fy??0,0?都存在。而

fx??0,0??lim

?

x?0?x,0??0??0,0?

x

?

x?0

????0,0?,

其中当x?0时,fx??0,0????0,0?;当x?0时,fx??0,0?????0,0?。由于fx??0,0?存在,故

壹拾陆

??0,0??0。

十一、计算I????f?x,y,z??x?dydz??2f?x,y,z??y?dzdx??f?x,y,z??z?dxdy,其中f?x,y,z?为一

Σ

连续函数,Σ是平面x?y?z?1在第四卦限部分的上侧。(本题7分)

解:化为第一类曲面积分求解。设Σ的单位法向量n??cos?,cos?,cos????01

?1,?1,1?,则

I?????f?x,y,z??x?cos???2f?x,y,z??y?cos???f?x,y,z??z?cos??dS

Σ

?1??x21yz?????f?x,y,z??f?x,y,z??f?x,y,z??dS?????????dS 333??Σ?Σ?3

1?x?y?1?x?y???1?1dσ???3Dxy

其中Dxy??x,y?0?x?1,x?1?y?0。 故I???

Dxy??dxdy?1。 2

2

十二、设函数f?x?在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且有??

?0ef?x?arctanxdx?1,2

(本题6分) f?1??0,则至少存在一点???0,1?,使得1??2arctan??f??????1。

证明:由积分中值定理知,存在???0,???2??,使 ???

11???。 224ef???arctan??

?

又ef?1?arctan1??

4,故若设??x??ef?x?arctanx,x???,1???0,1?,显然??x?满足罗尔定理的各个

条件,从而至少存在一点????,1???0,1?使??????0。而

??????ef???ef???

f????arctan??, 1??2

从而有 1??arctan??f??????1。 2??

壹拾柒

2008年天津市大学数学竞赛试题参考答案

一、填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)

??1???f?n?????? 。同工⑴ 1.设f (0)>0,f??0??0,则lim?n???f0?????

2.设?x0,y0?为光滑曲线y?f?x?上一点,在该点处曲线的一个法向量为{5,-1},则ndy

dx?。

?x0,y0?

3.?12x2?xcosx

1??x2?1dx?4??。同工⑶

4.设z??x2y

0?2z?x2y??2xf?2x3y?ft,edt,其中f具有连续的一阶偏导数,则?f1?ef2??。 ???x?y??t

z5.设函数z?z?x,y?由方程z?e?2xy?5,则dz?1,2,0???2dx?dy。

二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)

11. 设当x?0时,?x?1??ln?1?x?是比ln?1?x?高阶的无穷小,而ln?1?x?是比22nnlncosx高阶的无穷小,则n等于( D )同工⑴

(A)4; (B)3; (C)2; (D)1。

12. 设limf?x??f?a?

x?a?x?a?1

3?1,则函数f?x?在点a处必( D )同工⑶

(A)取极大值; (B)取极小值;

(C)可导; (D)不可导。

13. 设函数f,g均可微,z?f?xy,lnx?g?xy??,则x?

????z?z?y?( B ) ?x?y

(A)f1; (B)f2;

(C)0; (D)1。

14. ??1?π2πn?1π?lim??cos??cos????cos??( A ) n??nnnn??

壹拾捌

(A)

(C)

15. 1??π0?cosxdx; (B)?π0π1?cosxdx x?

210?cosxdx; (D)x?y?1,设平面区域D??x,?22????cosxdx。 M????x?y?dσ,N???cosxsinxd?0322DD,P???e??x

D??y2??1d?,则( C ) ?

(A)M > N > P; (B)M > P > N;

(C)N > M > P; (D)N > P > M。

三、求常数a,b,使

??ax?1,x?0,?x??f?x???ax?b,0?x?1,

?1?arctan,x?1?x?1?

在所定义的区间上连续。(本题6分)

解:当x ≠ 0,1时,f?x?在定义区间内其它各点处处连续。

x?0lim?f?x??lim?x?0?ax?1?axa?lim???, x?0x?ax?1x2x?0?limf?x??lim??ax?b??b,f?0??b, x?0

于是有?a?b,即a?2b?0。 2

x?1又lim?f?x??lim??ax?b??a?b,f?1??a?b, x?1

x?1lim?f?x??lim?arctanx?11??, x?12

于是有a?b??

2。

?a?2b?0?a?ππ??解方程组?,得到。即当,时f?x?在定义区间上连续。 b??a?π?ππ2a?b?b????22??

四、对t的不同取值,讨论函数f?x??1?2x在区间[t,??)上是否有最大值或最小值,若存在最大22?x

值或最小值,求出相应的最大值点与最大值或最小值点与最小值。(本题7分)理工三

解:显然f?x?的定义域为:(-?,??),

f??x??

22?x2?2x?1?2x??2?x?2?2?2?x??1?x?2?x2,得驻点:x1??2,x2?1。 壹拾玖

于是有

又:limf?x??0,limf?x??0。

x???

x???

记:M?t?与m?t?分别表示f?x?在区间[t,??)上的最大值与最小值。 又上表不难看出:

① t??2时,m?t??f??2???,M?t??f?1??1; ② ?2?t??③ ?

12

11?2t时,m?t??f?t??,M?t??f?1??1; 222?t

1

?t?1时,无m?t?,M?t??f?1??1; 2

1?2t

④ 1?t时,无m?t?,M?t??f?t??。 2

2?t

五、过曲线y?3x?x?0?上点A作切线,使该切线与曲线y?x及x轴所围平面图形D的面积

S?

3。 4

⑴ 求点A的坐标;

⑵ 求平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。(本题7分)理工十一 解:⑴ 设A点坐标为,则切线方程为:y??

??

13t

?x?t?,即y?

2

x3t2

?

2t。 3

命:y = 0,得此切线与x轴的交点横坐标为x0??2t,从而图形D的面积为

t?t34t3t?3?12tx22t?x2t23

S??2t?????t?x?dx???tx?x??。 ??2200402333446t03?3t?

?t?1。即A点的坐标为(1,1)。

⑵ 平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为:

22

1?1?2???1?

V?π???2?π????x?2???

03?3?????3

?

5

??1833?132?3

x?dx?π?π??x?2??x??π?π?π。

275?055??27?2

六、设函数??x??⑴ 求???x?;

?

sinx

ftx2dt,其中f?x?是连续函数,且f?0??2。

??

贰拾

⑵ 讨论???x?的连续性。(本题7分)理工五

解:??x??u?tx2

?x2sinx

011x2sinxf?u?du?2?f?u?du,x?0,由已知得??0??0。 20xx

⑴ 当x?0时,有

2x2sinx1???x???3?f?u?du?2fx2sinx?2xsinx?x2cosxx0x 2xsinx2?2???3?f?u?du?fx2sinx?sinx?cosx?;x0?x???????

在x?0点处,由导数定义有

1x2sinx2xsinx?x2cosxfx2sinx???0??lim?lim3?f?u?du?lim0x?0x?0xx?0x3x2

2sinx?xcosx?limfx2sinx?lim?f?0??2.x?0x?03x??x????0???????

?2x2sinx?2?f?u?du?fx2sinx?sinx?cosx?,x?0;??3?0所以???x???x ?x??2,x?0.???

⑵ 因为

?2x2sinx?2??lim???x??lim??3?f?u?du?fx2sinx?sinx?cosx????2f?0??3f?0??2????0?, x?0x?0?x???x0??

故???x?在x?0点处连续;又当x?0时,???x?连续,所以???x?处处连续。

七、设函数f?x?在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内具有二阶导数,且f???x??0。证明: ???1

0?1?fxndx?f?(本题7分)人文十一 ?,n为正整数。?n?1?

1?,t??0,1?,有泰勒展开式:f?t??f?x0??f??x0??t?x0??证明:设x0??0,12f??????t?x0?,其中2

ξ位于t与x0之间。

命:t?x,得fxn???f?x??f??x??xn

00n?x0??21f?????xn?x0。 2??

注意到:当x??0,1?时,f???x??0,所以

fxn?f?x0??f??x0?xn?x0, ????

???1

01?1?fxndx?f?x0??f??x0??xn?x0dx?f?x0??f??x0???x0?, 0?n?1???

贰拾壹

取x0?

11n

,得到?f?x?dx?

0n?1

?1?

f??。 ?n?1?

八、设函数f?x?,g?x?在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且对任意x??a,b?都有

f??x?g?x??f?x?g??x??0,

证明:如果f?x?在(a,b)内有两个零点,则介于此两个零点之间,g?x?至少有一个零点。(本题7分)人文十

证明:设a?x1?x2?b使f?x1??0,f?x2??0。若在区间?x1,x2?内g?x?没有零点,又

f??xi?g?xi??0,故g?xi??0,i?1,2。可设H?x??

f?x?,x??x1,x2?,

gx显然,在区间?x1,x2?上H?x?满足罗尔定理的各项条件,所以至少存在一点c??x1,x2?使H??c??0,即必有f??c?g?c??f?c?g??c??0,c??x1,x2???a,b?,与题设条件矛盾,故可知必存在x0??x1,x2?使

g?x0??0。

九、设函数f?x?在闭区间?0,1?上具有连续的导数,f?1??0,且⑴ 求

?f?x?dx?1。

20

1

?xf?x?f??x?dx;

1

⑵ 证明

?

?

1

01

x2f2?x?dx??f??x??dx?

2

1

1。(本题7分)理工六 4

⑴ 解:

xf?x?f??x?dx?

1

1211121xf?x???f?x?dx??。

02022

1

1

1

⑵ 证明:令??λ??

22222???????????????????xfx?λfxdx?xfxdx?2?xfxfxdx??fxdx, ?0?0?0?0

因对任何实数λ,被积函数≥0,故?????0,所以其判别式

111222??????xf?x?f?x?dx??xf?x?dx???f??x??dx?0,

??00?0?

2

211??即?xf?x?dx???f??x??dx??xf?x?f??x?dx?。

??00?0?412

2

1

2

?2z?2z?2z

十、设二元函数z?z?x,y?具有二阶连续偏导数,证明:2?2??0可经过变量替换

?x?x?y?y2

贰拾贰

?2w

(本题6分)理工七 u?x?y,v?x?y,w?xy?z化为等式22?1?0。

?u

u?vu?vu2?v2?u?vu?v?

证明:由题意可解得x?,从而w?,y??z?,?。

42?22?2

?w1?z1?z11??z?z?

?u??????u???, ??u2?x2?y22??x?y??

?2w1??2z1?2z1?2z1?2z1?1?1??2z?2z?2z????1?2??????2????2?1?2???x2?2?x?y??y2???, ?u22??x2?x?y2?y?x2?y2??????

?2w1?2w故?,即22?1?0。 2

?u?u2

y2?2

?arctan,x?y?1且x?0,

?x,x2?y2?2y?十一、设f?x,y??? 求??f?x,y?dxdy,其中D??x

D?其它.?0,

(本题8分)

22

解:记区域D1??x,y??x?y?2y,x?0,则

??

??

D

y

f?x,y?dxdy???arctandxdy。

xD1

22

当x?0时,曲线x?y?1与x??y?1??1的交点A的坐标为:

22

?x????x?y?1,?

? ??22

??y??x??y?1??1,

??

2

2

3

,2 1.2

1

π1

在极坐标下计算,点A的极坐标为:tan???,??,r?1。

63

2

区域D1???r,???

ππ?

???,1?r?2sin??,所以 62?

π

π

??

D

2sin?y1

f?x,y?dxdy???arctandxdy?π2d??rdr?π2??4sin2??1?d?

1x266D1

11?31??1?

?????cos2??d????2??sin2??2??d?????

218248?2??4??2

6

π2π6

?

π2π6

2

贰拾叁

x2y2z2

十二、求λ的值,使两曲面:xyz?λ与2?2?2?1在第一卦限内相切,并求出在切点处两曲abc面的公共切平面方程。(本题8分)理工八

解:曲面xyz?λ在点?x,y,z?处切平面的法向量为n1??yz,zx,xy?。 x2y2z2?xyz?曲面2?2?2?1在点?x,y,z?处切平面的法向量为n2??2,2,2?。 abc?abc?

xyz令

欲使两曲面在点?x,y,z?处相切,必须1//2,即2???t。 ayzb2zxc2xy

x2y2z2

由x?0,y?0,z?0,得2?2?2?3t,即3?t?1。 a?b?c?

abcabcx2y2z21于是有2?2?2?,解得x?。 ,y?,z?;λ?abc33333

公共切平面方程为

bc?a?ac?b?ab?c?xyz?x????y????z???0,化简得???。 3?abc?3??3?3?

贰拾肆

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